Die logistische Funktion charakterisiert eine stetige eindimensionale Wahrscheinlichkeitsverteilung die logistische Verteilung und ist eine funktionelle Darstellung von Sattigungsprozessen aus der Klasse der sogenannten Sigmoidfunktionen mit unbegrenzter zeitlicher Ausdehnung Logistische Funktion fur den Fall G 1 k 1 f 0 0 5 displaystyle G 1 k 1 f 0 0 5 Der Graph der Funktion beschreibt eine S formige Kurve ein Sigmoid Heute ist der Name logistische Kurve eindeutig der S Funktion zugeordnet wohingegen noch bis ins 20 Jahrhundert gelegentlich auch der Logarithmus mit dem italienischen Namen der logistischen Kurve curva logistica belegt wurde Die Funktion wird manchmal auch mit Expit bezeichnet da die Umkehrfunktion der logistischen Funktion die Logit Funktion ist Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung 2 Anwendungen 3 Losung der Differentialgleichung 4 Berechnung des Wendepunkts 5 Weitere Darstellungen 6 Umrechnung von stetigem exponentiellem in logistisches Wachstum 6 1 1 Fall Verdopplung innerhalb des exponentiellen Wachstums 6 2 2 Fall Verdopplung ausserhalb des exponentiellen Wachstums 7 Siehe auch 8 LiteraturBeschreibung BearbeitenDie logistische Funktion wie sie sich aus der diskreten logistischen Gleichung ergibt beschreibt den Zusammenhang zwischen der verstreichenden Zeit und einem Wachstum Hierzu wird das Modell des exponentiellen Wachstums modifiziert durch eine sich mit dem Wachstum verbrauchende Ressource die eine obere Schranke darstellt Zur Anfangszeit ist der Funktionswert nicht 0 sondern es gilt f 0 gt 0 displaystyle f 0 gt 0 nbsp Es gilt Die obere Schranke G displaystyle G nbsp bildet eine Grenze fur den Funktionswert f t displaystyle f t nbsp Das Wachstum f t displaystyle f t nbsp ist proportional zu dem aktuellen Bestand f t displaystyle f t nbsp der noch vorhandenen Kapazitat G f t displaystyle G f t nbsp und einer Wachstumskonstanten k displaystyle k nbsp Diese Entwicklung wird daher durch eine Bernoullische Differentialgleichung der Form f t k f t G f t displaystyle f t k cdot f t cdot left G f t right nbsp mit einer Proportionalitatskonstanten k displaystyle k nbsp beschrieben Das Losen dieser Differentialgleichung ergibt f t G 1 1 e k G t G f 0 1 displaystyle f t G cdot frac 1 1 mathrm e k cdot G cdot t left frac G f 0 1 right nbsp Am Anfang ist das Wachstum klein da die Population und somit die Zahl der sich vermehrenden Individuen gering ist In der Mitte der Entwicklung genauer im Wendepunkt wachst die Population am starksten bis sie durch die sich erschopfenden Ressourcen gebremst wird Anwendungen Bearbeiten nbsp Beispiel einer Epidemie Krankheits und Todesfalle schwarz im Verlauf der Ebolafieber Epidemie in Westafrika bis Juli 2014 annahernd logistische Funktionen Die logistische Gleichung beschreibt einen sehr haufig auftretenden Zusammenhang wie der Beschreibung einer Population von Lebewesen beispielsweise einer idealen Bakterien population die auf einem Bakteriennahrboden begrenzter Grosse wachst Ein weiteres Beispiel ist annahernd die Verbreitung einer Infektionskrankheit mit anschliessender permanenter Immunitat bei der mit der Zeit eine abnehmende Anzahl fur die Infektionskrankheit anfallige Individuen ubrig bleiben Eine Anwendung findet die logistische Funktion auch im SI Modell der mathematischen Epidemiologie Die Funktion findet weit uber den Modellen aus der Biologie hinaus Anwendung Auch der Lebenszyklus eines Produktes im Markt kann mit der logistischen Funktion nachgebildet werden Weitere Anwendungsbereiche sind Wachstums und Zerfallsprozesse in der Sprache Sprachwandelgesetz Piotrowski Gesetz sowie die Entwicklung im Erwerb der Muttersprache Spracherwerbsgesetz Losung der Differentialgleichung BearbeitenSei F R R t k t G t displaystyle F colon mathbb R to mathbb R t mapsto kt G t nbsp F displaystyle F nbsp ist stetig Es gilt die Differentialgleichung d f d t t F f t displaystyle frac mathrm d f mathrm d t t F f t nbsp zu losen Die Differentialgleichung lasst sich mit dem Verfahren Trennung der Variablen losen Es gilt F t 0 displaystyle F t neq 0 nbsp fur alle t R displaystyle t in mathbb R nbsp also ist die Abbildung F t 0 t 1 F s d s displaystyle Phi t int 0 t frac 1 F s mathrm d s nbsp auf den reellen Zahlen wohldefiniert Nach der Trennung der Variablen ist die Losung f displaystyle f nbsp der obigen Differentialgleichung also identisch mit der Losung der Differentialgleichung f 0 f t 1 F s d s t displaystyle int f 0 f t frac 1 F s mathrm d s t nbsp Durch Partialbruchzerlegung ergibt sich f 0 f t 1 F s d s f 0 f t 1 k s G s d s 1 k G f 0 f t 1 s 1 G s d s displaystyle int f 0 f t frac 1 F s mathrm d s int f 0 f t frac 1 ks G s mathrm d s frac 1 kG int f 0 f t left frac 1 s frac 1 G s right mathrm d s nbsp Nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung ist das obige Integral 1 k G ln s ln G s s f 0 s f t 1 k G ln f t G f t c displaystyle left frac 1 kG bigg ln s ln G s bigg right s f 0 s f t frac 1 kG left ln left frac f t G f t right c right nbsp wobei c ln f 0 G f 0 ln G f 0 1 displaystyle c ln frac f 0 G f 0 ln left frac G f 0 1 right nbsp Es gilt also die Funktionsgleichung ln f t G f t k G t c displaystyle ln frac f t G f t kGt c nbsp zu losen solange die f t displaystyle f t nbsp zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und G displaystyle G nbsp liegen was wegen der Voraussetzung 0 lt f 0 lt G displaystyle 0 lt f 0 lt G nbsp angenommen werden kann Dabei ist ln displaystyle ln nbsp der naturliche Logarithmus Die Anwendung der Exponentialfunktion auf beiden Seiten fuhrt zu e k G t c f t G f t displaystyle mathrm e kGt c frac f t G f t nbsp und anschliessende Kehrwertbildung zu e k G t c G f t f t G f t 1 displaystyle quad quad quad mathrm e kGt c frac G f t f t frac G f t 1 nbsp Wir bringen nun die 1 displaystyle 1 nbsp auf die linke Seite bilden dann erneut den Kehrwert und erhalten schliesslich f t G 1 1 e k G t c displaystyle frac f t G frac 1 1 mathrm e kGt c nbsp und daraus f t G 1 1 e k G t c displaystyle quad quad quad f t G cdot frac 1 1 mathrm e kGt c nbsp Setzen wir die Definition von c displaystyle c nbsp in die gefundene Losung ein so kommen wir zur oben behaupteten Losung der logistischen Differentialgleichung f t G 1 1 e k G t c G 1 1 e k G t e c G 1 1 e k G t G f 0 1 displaystyle f t G cdot frac 1 1 mathrm e kGt c G cdot frac 1 1 mathrm e kGt mathrm e c G cdot frac 1 1 mathrm e kGt left frac G f 0 1 right nbsp An dieser Funktionsgleichung liest man leicht ab dass die Werte immer zwischen 0 displaystyle 0 nbsp und G displaystyle G nbsp liegen weshalb die Losung fur alle lt t lt displaystyle infty lt t lt infty nbsp gilt Das kann man im Nachhinein naturlich auch durch Einsetzen in die Differentialgleichung bestatigen Berechnung des Wendepunkts BearbeitenZur Bestimmung des Wendepunktes der Losungsfunktion f displaystyle f nbsp bestimmen wir zunachst mittels Produktregel die Ableitungen f t k f t G f t f t k f t G f t k f t f t k f t G f t f t k f t G 2 f t displaystyle begin aligned f t amp k cdot f t cdot G f t f t amp k cdot f t cdot G f t k cdot f t cdot f t amp k cdot f t cdot G f t f t k cdot f t cdot G 2 cdot f t end aligned nbsp und bestimmen die Nullstelle t W displaystyle t mathrm W nbsp der zweiten Ableitung f t W k f t W G 2 f t W 0 displaystyle f t mathrm W k cdot f t mathrm W cdot G 2 cdot f t mathrm W 0 nbsp G 2 f t W 0 displaystyle G 2 cdot f t mathrm W 0 nbsp G 2 f t W displaystyle G 2 cdot f t mathrm W nbsp f t W G 2 displaystyle f t mathrm W tfrac G 2 nbsp Damit kennen wir den Funktionswert im Wendepunkt und stellen fest dass die Population im Wendepunkt gerade die halbe Sattigungsgrenze uberschreitet Zur Bestimmung von t W displaystyle t mathrm W nbsp verwenden wir fur f t W G 2 displaystyle f t mathrm W tfrac G 2 nbsp die Losungsformel und rechnen wie folgt G 1 1 e k G t W e c G 2 displaystyle G cdot frac 1 1 mathrm e k cdot G cdot t mathrm W cdot mathrm e c frac G 2 nbsp 1 e k G t W e c 2 displaystyle 1 mathrm e k cdot G cdot t mathrm W cdot mathrm e c 2 nbsp e k G t W e c 1 e 0 displaystyle mathrm e k cdot G cdot t mathrm W cdot mathrm e c 1 mathrm e 0 nbsp k G t W c 0 displaystyle k cdot G cdot t mathrm W c 0 nbsp t W c k G displaystyle t mathrm W frac c k cdot G nbsp Fur G gt f 0 displaystyle textstyle G gt f 0 nbsp folgt mit e c G f 0 1 c ln G f 0 1 displaystyle textstyle mathrm e c frac G f 0 1 Rightarrow c ln left frac G f 0 1 right nbsp weiter t W ln G f 0 1 k G displaystyle t mathrm W frac ln left frac G f 0 1 right k cdot G nbsp Damit ist der Wendepunkt vollstandig bestimmt und es gibt nur diesen einen Durch Einsetzen von f t W G 2 displaystyle f t mathrm W tfrac G 2 nbsp in die erste Ableitung erhalt man die maximale Wachstumsgeschwindigkeit f t W k G 2 G G 2 k G 2 G 2 displaystyle f t mathrm W k cdot frac G 2 cdot left G frac G 2 right k cdot frac G 2 cdot frac G 2 nbsp f t W k G 2 4 displaystyle f t mathrm W frac k cdot G 2 4 nbsp Weitere Darstellungen BearbeitenAus f t G 1 1 e k G t G f 0 1 displaystyle f t G cdot frac 1 1 mathrm e k cdot G cdot t left frac G f 0 1 right nbsp folgt f t G 1 1 e k G t G f 0 e k G t f 0 f 0 G f 0 f 0 e k G t G e k G t f 0 displaystyle f t G cdot frac 1 1 mathrm e k cdot G cdot t cdot frac G f 0 mathrm e k cdot G cdot t cdot frac f 0 f 0 frac G cdot f 0 f 0 mathrm e k cdot G cdot t cdot G mathrm e k cdot G cdot t cdot f 0 nbsp G f 0 f 0 G f 0 e k G t displaystyle frac G cdot f 0 f 0 left G f 0 right cdot mathrm e k cdot G cdot t nbsp oder auch f t G 2 tanh k G 2 t t W 1 displaystyle f t frac G 2 cdot left tanh left frac kG 2 t t mathrm W right 1 right nbsp wobei t W displaystyle t mathrm W nbsp die oben berechnete Wendestelle ist t W ln G f 0 1 k G displaystyle t mathrm W frac ln left frac G f 0 1 right k cdot G nbsp Umrechnung von stetigem exponentiellem in logistisches Wachstum BearbeitenOft werden Prognosen auf Basis von stetigem exponentiellem Wachstum angegeben Wirtschaftswachstum Infektionszahlen Vermehrung Diese Prognosen erweisen sich stets als unzutreffend sobald der betrachtete Prozess in die Phase der Sattigung kommt Spatestens dann ist es gunstiger das Modell exponentielles Wachstum der Form y t A e l t displaystyle y t A cdot e lambda cdot t nbsp durch das Modell logistisches Wachstum zu ersetzen Die Wachstumsfaktoren k displaystyle k nbsp der logistischen Funktion und l displaystyle lambda nbsp der e Funktion unterscheiden sich hier betrachtlich In allen Fallen werden zwei Punkte innerhalb der vermeintlichen exponentiellen Wachstumsphase benotigt Hier wird davon ausgegangen dass der erste Punkt bei A f t 0 displaystyle A f t 0 nbsp liegt Da der zweite Punkt P T Y displaystyle P T Y nbsp in der exponentiellen Wachstumsphase liegt gilt G Y G Y 1 G Y 1 G Y displaystyle G gg Y Rightarrow frac G Y gg 1 Rightarrow frac G Y 1 approx frac G Y nbsp Damit gilt aus den ug Formeln fur l displaystyle lambda nbsp und k displaystyle k nbsp naherungsweise l G A k k l G A displaystyle lambda approx frac G A cdot k Leftrightarrow k approx frac lambda frac G A nbsp 1 Fall Verdopplung innerhalb des exponentiellen Wachstums Bearbeiten Liegt die Verdopplung des Anfangsbestandes in der Phase des exponentiellen Wachstums vereinfacht das die Rechnung erheblich Hier wird der wahre Anfangsbestand A displaystyle A nbsp normiert f 0 1 A displaystyle f 0 1 A nbsp ebenso wird die Zeitachse auf den Verdopplungszeitraum t D displaystyle t D nbsp normiert f 1 t D 2 A displaystyle f 1 t D 2 A nbsp Es ergibt sich eine Wachstumsfunktion mit l ln f t D A 1 ln 2 0 693 displaystyle lambda ln frac f t D A 1 ln left 2 right approx 0 693 nbsp y t t D A e ln 2 t l ln 2 displaystyle y t t D A e ln left 2 right cdot t lambda ln left 2 right nbsp Als nachstes wird eine Obergrenze G A displaystyle G A nbsp als Vielfaches des Anfangsbestandes A displaystyle A nbsp festgelegt und der Verdopplungspunkt eingesetzt f t t D A 2 A G 1 1 e k G 1 t D G A 1 1 e k G G 2 A 1 1 G 1 k ln G 2 1 G 1 G displaystyle begin aligned f t t D A 2 A amp G cdot frac 1 1 e k cdot G cdot 1 t D cdot left frac G A 1 1 right Leftrightarrow e k cdot G amp frac frac G 2 A 1 1 G 1 Leftrightarrow k amp frac ln left frac frac G 2 1 G 1 right G end aligned nbsp Beispiel Obergrenze G 100 A n f a n g s b e s t a n d displaystyle G 100 cdot Anfangsbestand nbsp l ln 2 0 696 3 k ln 49 99 100 0 007 033 l k 0 696 3 0 007 033 98 556 G A displaystyle begin aligned lambda amp ln 2 amp approx 0 6963 k amp frac ln frac 49 99 100 amp approx 0 007033 frac lambda k amp frac 0 6963 0 007033 98 556 amp approx G A end aligned nbsp 2 Fall Verdopplung ausserhalb des exponentiellen Wachstums Bearbeiten Nur unwesentlich schwieriger wird der Fall wenn die Verdopplungszeit schon ausserhalb des exponentiellen Wachstums liegt beispielsweise kann G 2 displaystyle G 2 nbsp sein Damit ist der zweite Referenzpunkt P T Y displaystyle P T Y nbsp nicht mehr y t t D 2 A displaystyle y t t D 2 A nbsp Y A 1 A e l T l ln Y A 1 T ln Y T displaystyle begin aligned Y A amp 1 A cdot e lambda cdot T Leftrightarrow lambda amp frac ln frac Y A 1 T frac ln Y T end aligned nbsp Y A G 1 1 e k G T G 1 e k G T G Y 1 G 1 k ln G Y 1 G 1 G T displaystyle begin aligned Y A amp G cdot frac 1 1 e k cdot G cdot T cdot left G 1 right Leftrightarrow e k cdot G cdot T amp frac frac G Y 1 G 1 Leftrightarrow k amp frac ln left frac frac G Y 1 G 1 right G cdot T end aligned nbsp Zahlenbeispiel extra krumme Zahlen Ein Kunde der FNORD Bank legt einen Betrag von ln 2 displaystyle ln 2 nbsp OGE ortliche Geld Einheiten an Er bekommt einen Kontoauszug der nach e displaystyle e nbsp NERD Zeiteinheiten einen Bestand von 2 displaystyle sqrt 2 nbsp OGE ausweist a wie hoch ist der Faktor l displaystyle lambda nbsp bei stetiger Verzinsung b aus ethischen Grunden setzt die FNORD Bank eine Obergrenze von 4 p displaystyle 4 cdot pi nbsp OGE je Konto und setzt die Verzinsung logistisch Wie hoch ist jetzt der Faktor k displaystyle k nbsp der logistischen Funktion Losung Der Kontostand zum Zeitpunkt T betragt 2 ln 2 2 04028 A displaystyle frac sqrt 2 ln 2 approx 2 04028 A nbsp a l ln 2 040 28 e 1 0 262 330 Y t ln 2 e 0 262 330 t 0 693 147 e 0 262 330 t displaystyle begin aligned lambda amp frac ln 2 04028 e 1 amp approx 0 262330 Rightarrow Y t amp ln 2 cdot e 0 262330 cdot t amp approx 0 693147 cdot e 0 262330 cdot t end aligned nbsp b Die Obergrenze betragt 4 p ln 2 18 129 4 A displaystyle frac 4 cdot pi ln 2 approx 18 1294 cdot A nbsp k ln 18 129 4 2 04028 1 18 129 4 1 18 129 4 e 1 0 015 7412 Y t 4 p 1 1 e 0 015 7412 4 p t 4 p l n 2 1 12 566 44 1 1 e 0 015 7412 12 566 44 t 17 129 4 displaystyle begin aligned k amp frac ln left frac frac 18 1294 2 04028 1 18 1294 1 right 18 1294 cdot e 1 amp approx 0 0157412 Rightarrow Y t amp 4 pi cdot frac 1 1 e 0 0157412 cdot 4 pi cdot t cdot left frac 4 pi ln 2 1 right amp approx 12 56644 cdot frac 1 1 e 0 0157412 cdot 12 56644 cdot t cdot left 17 1294 right end aligned nbsp l k 0 262 330 0 015 7412 16 665 2 18 129 4 4 p ln 2 G A displaystyle begin aligned frac lambda k amp frac 0 262330 0 0157412 16 6652 amp approx 18 1294 approx frac 4 cdot pi ln 2 amp frac G A end aligned nbsp Siehe auch BearbeitenLogistische Regression SI ModellLiteratur BearbeitenNicholas F Britton Essential Mathematical Biology 3 printing Springer London u a 2005 ISBN 1 85233 536 X Springer undergraduate mathematics series Norman R Draper Harry Smith Applied Regression Analysis 3rd Edition Wiley Interscience New York NY u a 1998 ISBN 0 471 17082 8 Wiley Series in Probability and Statistics Texts and References Section Volker Oppitz Volker Nollau Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung Quantitative Methoden der okonomischen Analyse Carl Hanser Verlag Munchen u a 2004 ISBN 3 446 22463 7 Volker Oppitz Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsrechnung Mit Anwendersoftware fur Praxis und Studium Gabler Verlag Wiesbaden 1995 ISBN 3 409 19951 9 Peter Schonfeld Methoden der Okonometrie 2 Bande Vahlen Berlin u a 1969 1971 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Logistische Funktion amp oldid 237872661
