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Exponentielles Wachstum auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wa

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht. Der Wert der Bestandsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall oder exponentielle Abnahme). Ein solcher Verlauf kann bei einer exponentiellen Zunahme durch die Verdopplungszeit und bei einer exponentiellen Abnahme durch die Halbwertszeit eindeutig angegeben werden. Anders als lineares oder polynomiales Wachstum verursacht exponentielles Wachstum auch bei anfangs nur kleinen Veränderungen im weiteren Verlauf deutlich größere, sodass ein exponentielles Wachstum ab einem bestimmten Zeitpunkt jedes lineare oder polynomiale Wachstum um Größenordnungen übersteigt. Aus diesem Grund kann die Auswirkung von exponentiellem Wachstum leicht unterschätzt werden.

Video: Veranschaulichung von exponentiellem Wachstum

Funktion des exponentiellen Wachstums Bearbeiten

Exponentielles Wachstum:
Exponentieller Zerfall:

Bei einer Wachstumsfunktion ist die Bestandsgröße abhängig von der Zeit . Sie ist von der Form

oder gleichwertig mit . Hierbei bezeichnet den Wachstumsfaktor und die Wachstumskonstante.

Wegen ist der Anfangsbestand zur Zeit .

Ist , also , so handelt es sich um eine exponentielle Zunahme. Die Verdopplungszeit (auch Doppelwertszeit und in der Biologie Generationszeit genannt) ist dann .

Bei und daher spricht man von einer exponentiellen Abnahme. Die Halbwertszeit ist dann .

Allgemein ist bei einem Vervielfältigungsfaktor die Vervielfältigungszeit . Umgekehrt berechnet sich der Vervielfältigungsfaktor zu .

Beispiel 1: Zinseszins mit einem Zinssatz von 8 % p. a. Bearbeiten

In diesem Beispiel beträgt der jährliche Zinsfaktor und die Vervielfältigungszeit . Bei einem Anfangskapital von gilt:

Durch die Substitution lässt sich die Größengleichung in eine Zahlenwertgleichung umwandeln:

Dabei bedeutet das nach Jahren angesammelte Kapital in €. Nach 9 Jahren ist das Kapital wegen

auf 199,90 € angewachsen, es hat sich also fast verdoppelt.

Bei einer vierteljährlichen Gutschrift der Zinsen wäre der jährliche Zinsfaktor bankmäßig auf das Quartal umzurechnen () und für die Zeit die Anzahl der Quartale einzusetzen (). Dies ergäbe in diesem Beispiel:

Beispiel 2: Epidemie Bearbeiten

In einem Land verdoppele sich die Zahl der Infizierten alle 3 Tage. Hat man z. B. zum Zeitpunkt 0 eine Anzahl von 1000 Infizierten, so sind es nach 3 Tagen 2000, nach 6 Tagen 4000 Infizierte usw. Die Anzahl der Infizierten wachse also (zunächst) exponentiell und kann dann durch folgende Funktion beschrieben werden:

Nach 27 Tagen sind es dann schon und nach 2 Monaten Milliarden Infizierte.

Bei ungebremstem Wachstum, aber begrenzter Population von zum Beispiel 80 Millionen, errechnen sich die Werte nach dem logistischen Wachstum zu (nur eine kleine Abweichung vom exponentiellen Wachstum) und Millionen (nahe der Gesamtpopulation).

Beispiel 3: Radioaktiver Zerfall Bearbeiten

Cäsium-137, ein Produkt der Kernspaltung, hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Seine Zerfallsfunktion lautet daher

Nach 90 Jahren gibt es wegen

immer noch der ursprünglich vorhandenen Cäsiummenge .

In den Beispielen 1 und 2 handelt es sich um eine exponentielle Zunahme und im Beispiel 3 um eine exponentielle Abnahme.

Eigenschaften Bearbeiten

Modellbeschreibung Bearbeiten

Verschiedene Arten von Wachstum
  • exponentielles Wachstum
  • lineares Wachstum
  • kubisches Wachstum

    • Nebenstehendes Bild zeigt beispielhaft, dass immer auf lange Sicht der Bestand (wie auch die Wachstumsgeschwindigkeit) eines positiven exponentiellen Prozesses größer ist als beim linearen, beim kubischen Wachstum oder allgemein bei allen Wachstumsprozessen, die sich durch ganzrationale Funktionen beschreiben lassen.

    Beim Modell des exponentiellen Wachstums ist die Änderung (diskreter Fall) bzw. (kontinuierlicher Fall) der Bestandsgröße proportional zum Bestand. Im diskreten Fall ergibt sich der neue Bestandswert bei positivem Wachstum, indem der alte Wert mit einer Konstanten größer als 1 multipliziert wird, und bei negativem Wachstum mit einer positiven Konstanten kleiner als 1 multipliziert wird.

    Bei der exponentiellen Abnahme bildet die x-Achse die Asymptote des Graphen der Wachstumsfunktion. Die Bestandsgröße nähert sich der Null an, verschwindet aber nicht. In Anwendungsbezügen wie z. B. der Biologie sind die Bestandsgrößen häufig ganzzahlig, sodass sehr kleine Werte schließlich keine Bedeutung mehr haben und der Bestand praktisch gesehen ausstirbt.

    Differentialgleichung Bearbeiten

    Differentialgleichungen (DGL) dienen der Beschreibung kontinuierlicher (stetiger) Wachstumsmodelle.

    Die DGL für den exponentiellen Prozess lautet:

    Dies ist eine lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann zum Beispiel mittels der Methode „Variablentrennung“ gelöst werden.

    Die Wachstumsgeschwindigkeit lässt sich aus der DGL herleiten: .

    Diskretes Wachstumsmodell Bearbeiten

    Zur Darstellung des diskreten Wachstumsmodells in rekursiver Form dienen aus Differenzen abgeleitete Folgen. Dabei bezeichnet die Zeitdifferenz in einer äquidistanten Folge von Zeitpunkten für ; und bedeutet die entsprechenden Bestandsgrößen.

    In rekursiver Form wird zeitdiskretes exponentielles Wachstum (Zu- und Abnahme) durch

    beschrieben. Dabei ist der Wachstumsfaktor mit jenem im zeitkontinuierlichen Fall identisch.

    Die Bestandsgröße folgt aus den Formeln für kontinuierliches Wachstum mit den Substitutionen , und zu

    Auflösung nach der Zeit Bearbeiten

    Bestimmt werden soll die Zeitspanne , in der sich ein exponentiell entwickelnder Bestand um den Faktor ändert. Die Wachstumsgleichung ist mit dem Vervielfältigungsfaktor und der Vervielfältigungszeit gegeben. Aus folgt

    Beispiel: Für nahe eins gilt näherungsweise . Eine Verdoppelung () benötigt demnach die Zeit .

    Beispiele, allgemein und näher erläutert Bearbeiten

    Naturwissenschaften Bearbeiten

    Bakterielles Wachstum bei E. coli. Die Generationszeit liegt bei ca. 20 Minuten.
    Exponentielles Anwachsen der Amplitude nach dem Einschalten eines Oszillators, bis die Begrenzung einsetzt

    Wirtschaft und Finanzen Bearbeiten

    Technik Bearbeiten

    Fünffach gefaltete Mylarfolie

    Mathematik Bearbeiten

    Musik Bearbeiten

    Die Funktion von der additiven Gruppe der Intervalle in die multiplikative Gruppe der Frequenzverhältnisse

    ist eine Exponentialfunktion. Dabei gilt

    Das Frequenzverhältnis von Intervallen wächst also exponentiell.

    Hinweis: Oktave ist eine Einheit für die Intervallgröße mit dem Frequenzverhältnis 2:1. Cent ist eine Untereinheit der Oktave, wobei Oktave = 1200 Cent.

    Beispiel
    Intervall Größe Frequenzverhältnis
    0 Oktaven (Prime) 0 01
    1 Oktave 1200 Cent 02
    2 Oktaven 2400 Cent 04
    3 Oktaven 3600 Cent 08
    4 Oktaven 4800 Cent 16
    • • •

    Bei den Intervallen handelt es sich um eine additiv geordnete Gruppe. Das Frequenzverhältnis einer Summe ist das Produkt der Frequenzverhältnisse.

    Beispiel

    Grenzen des Modells Bearbeiten

    Der Modellansatz zu exponentiellem Wachstum stößt in der Realität auf seine Grenzen –, insbesondere im wirtschaftlichen Bereich.

    „Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch“ als langfristiger Trend, so der Wirtschaftswissenschaftler Norbert Reuter. Er führt an, dass die Wachstumsraten in höher entwickelten Gesellschaften aufgrund von konjunkturellen Einflüssen zurückgehen. Indikator dafür ist das Bruttoinlandsprodukt (BIP). Mit Blick auf statistische Daten lässt sich ableiten, dass ein exponentielles Wirtschaftswachstum eher typisch für Anfangsjahre einer industriellen Volkswirtschaft ist, aber ab einem bestimmten Niveau, wenn wesentliche Entwicklungsprozesse abgeschlossen sind, in ein lineares Wachstum übergeht. Wird also ein weiteres exponentielles Wachstum extrapoliert, tritt eine Diskrepanz zwischen der Wachstumserwartung und dem tatsächlichen Verlauf auf.

    Dies betrifft unter anderem die Staatsverschuldung. Durch die rechentechnisch falsche Erwartung, dass die Staatsverschuldung durch ein Wirtschaftswachstum begrenzt werden könnte, sinkt jedoch nur die Schwelle für neue Schulden. Bleibt jedoch das erwartete Wachstum aus, entsteht ein Defizit, das die künftige Handlungsfähigkeit eines Staates einschränkt. Aufgrund der Zinsen und Zinseszinsen besteht die Gefahr, dass die Staatsverschuldung exponentiell wächst.

    Ein weiterer Aspekt ist, dass der Bedarf nicht ins Unermessliche steigt, sondern einen Sättigungseffekt erfährt, der auch nicht durch entsprechende Wirtschaftspolitik kompensiert werden kann. In die gleiche Richtung gehen Überlegungen in Bezug auf biologische Zusammenhänge beispielsweise durch Konkurrenz um Nahrung oder Platz. Bezogen auf die Weltbevölkerung thematisiert dies die Debatte um den ökologischen Fußabdruck – sprich um die Tragfähigkeit der Erde mit dem relativ kleinen Verbrauch an erneuerbare Ressourcen bezogen auf den Gesamtverbrauch an Ressourcen. Hier vernachlässigt das exponentielle Wachstumsmodell auch demographische Entwicklungen wie das Verhältnis zwischen Geburten- und Sterberate sowie das Verhältnis zwischen weiblicher und männlicher Bevölkerung.

    Wachstumsmodelle, die den Sättigungseffekt berücksichtigen, sind das beschränkte Wachstum und das logistische Wachstum, während das Modell des vergifteten Wachstums auch wachstumshemmende Faktoren in den Prozess mit einberechnet.

    Literatur Bearbeiten

    • Joachim Engel: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion. Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende. Springer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-540-89086-7, S. 150–153.
    • Hermann Haarmann, Hans Wolpers: Mathematik zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife. Nichttechnische Fachrichtungen. 2. Auflage. Merkur Verlag, Rinteln 2012, ISBN 978-3-8120-0062-8, S. 272–274.
    • Klaus Schilling: Analysis: Qualifikationsphase: Kerncurriculum Berufliches Gymnasium. Eins Verlag, Köln 2012, ISBN 978-3-427-07770-1, S. 249–257.
    • Walter Seifritz: Wachstum, Rückkopplung und Chaos: Eine Einführung in die Welt der Nichtlinearität und des Chaos. Hansen Verlag, München 1987, ISBN 3-446-15105-2, S. 9–18.

    Weblinks Bearbeiten

    Wikibooks: Mathematik für die Schule – Exponentielles Wachstum

    Einzelnachweise Bearbeiten

    1. Diese Werte errechnen sich nach dem Modell des logistischen Wachstums mit und (siehe auch SI-Modell).
    2. M. Begon, M. Mortimer, D. J. Thompson: Populationsökologie. Spektrum, Heidelberg 1997.
    3. ↑ Stefan Keppeler: (PDF; 454 kB) (Nicht mehr online verfügbar.) 5. November 2008, S. 9, archiviert vom Original am 1. Februar 2014; abgerufen am 28. März 2013.
    4. Valeriano Ferreras Paz: (PDF; 2,0 MB) (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 2. Februar 2014; abgerufen am 31. März 2013.
    5. Hans Dresig, I. I. Vul’fson: Dynamik der Mechanismen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00361-7, S. 198 (Volltext).
    6. H. Schreier: Finanzmathematik. (PDF; 211 kB) S. 9–11, abgerufen am 10. April 2013.
    7. (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 30. August 2012; abgerufen am 2. April 2013.
    8. ↑ Roland Spinola: Exponentielles Wachstum - was ist das. (PDF; 121 kB) Abgerufen am 13. April 2013.
    9. Geschichte. Abgerufen am 23. März 2014.
    10. (Nicht mehr online verfügbar.) Archiviert vom Original am 4. Oktober 2013; abgerufen am 14. April 2013.
    11. Hier ergibt sich für die Potenz die Basis = 2, also eine Zweierpotenz, weil die Anzahl der Körner von Feld zu Feld jeweils verdoppelt wird. Die erste Verdopplung findet vom ersten auf das zweite Feld statt. Deshalb ergeben sich beim vierundsechszigten Feld 64 − 1 = 63 Verdopplungen. Daher ist der Exponent hier gleich 63. Auf dem 64. Feld würden also 2(64 − 1) = 263 = 9.223.372.036.854.775.808 ≈ 9,22 × 1018 Körner liegen.
    12. ↑ Hartmut Steiger: Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch. Abgerufen am 16. April 2013.
    13. Kai Bourcarde, Karsten Heinzmann: Normalfall exponentielles Wachstum – ein internationaler Vergleich. (PDF; 738 kB) S. 6, abgerufen am 16. April 2013.
    14. Kai Bourcarde: Lineares Wirtschaftswachstum - exponentielle Staatsverschuldung. (PDF; 345 kB) S. 4, abgerufen am 16. April 2013.
    15. Donella Meadows, Jorgen Randers, Dennis Meadows: Exponentielles Wachstum als treibende Kraft von Überschreitungen ökologischer Grenzen. (PDF) Abgerufen am 16. April 2013.
    16. Thomas Kämpe: Weltbevölkerung. (PDF; 2,4 MB) (Nicht mehr online verfügbar.) Ehemals im Original; abgerufen am 16. April 2013.@1@2Vorlage:Toter Link/www.uni-ulm.de (Seite nicht mehr abrufbar. Suche in Webarchiven.)
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    Exponentielles Wachstum auch unbegrenztes oder freies Wachstum genannt beschreibt ein mathematisches Modell fur einen Wachstumsprozess bei dem sich die Bestandsgrosse in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor vervielfacht Der Wert der Bestandsgrosse kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen exponentielle Zunahme oder abnehmen exponentieller Zerfall oder exponentielle Abnahme Ein solcher Verlauf kann bei einer exponentiellen Zunahme durch die Verdopplungszeit und bei einer exponentiellen Abnahme durch die Halbwertszeit eindeutig angegeben werden Anders als lineares oder polynomiales Wachstum verursacht exponentielles Wachstum auch bei anfangs nur kleinen Veranderungen im weiteren Verlauf deutlich grossere sodass ein exponentielles Wachstum ab einem bestimmten Zeitpunkt jedes lineare oder polynomiale Wachstum um Grossenordnungen ubersteigt Aus diesem Grund kann die Auswirkung von exponentiellem Wachstum leicht unterschatzt werden source source source source source source source Video Veranschaulichung von exponentiellem Wachstum Inhaltsverzeichnis 1 Funktion des exponentiellen Wachstums 1 1 Beispiel 1 Zinseszins mit einem Zinssatz von 8 p a 1 2 Beispiel 2 Epidemie 1 3 Beispiel 3 Radioaktiver Zerfall 2 Eigenschaften 2 1 Modellbeschreibung 2 2 Differentialgleichung 2 3 Diskretes Wachstumsmodell 2 4 Auflosung nach der Zeit 3 Beispiele allgemein und naher erlautert 3 1 Naturwissenschaften 3 2 Wirtschaft und Finanzen 3 3 Technik 3 4 Mathematik 3 5 Musik 3 6 Grenzen des Modells 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseFunktion des exponentiellen Wachstums Bearbeiten nbsp Exponentielles Wachstum A 3 T 2 5 l ln 2 5 0 138 6 b 2 5 1 148 7 displaystyle begin aligned A amp 3 T 2 amp 5 lambda amp ln sqrt 5 2 approx 0 1386 b amp sqrt 5 2 approx 1 1487 end aligned nbsp nbsp Exponentieller Zerfall A 24 T 0 5 5 l ln 0 5 5 0 138 6 b 0 5 5 0 870 6 displaystyle begin aligned A amp 24 T 0 5 amp 5 lambda amp ln sqrt 5 0 5 approx 0 1386 b amp sqrt 5 0 5 approx 0 8706 end aligned nbsp Bei einer Wachstumsfunktion ist die Bestandsgrosse B t displaystyle B t nbsp abhangig von der Zeit t displaystyle t nbsp Sie ist von der Form B t A b t T b displaystyle B t A cdot b t T b nbsp mit der in Bezug genommenen Vervielfaltigungszeit T b displaystyle T b nbsp z B 1 Sekunde A gt 0 displaystyle A gt 0 nbsp und b gt 0 displaystyle b gt 0 nbsp oder gleichwertig B t A e l t displaystyle B t A cdot e lambda t nbsp mit l ln b T b displaystyle lambda ln b T b nbsp Hierbei bezeichnet b displaystyle b nbsp den Wachstumsfaktor und l displaystyle lambda nbsp die Wachstumskonstante Wegen B 0 A displaystyle B 0 A nbsp ist A displaystyle A nbsp der Anfangsbestand zur Zeit t 0 displaystyle t 0 nbsp Ist b gt 1 displaystyle b gt 1 nbsp also l gt 0 displaystyle lambda gt 0 nbsp so handelt es sich um eine exponentielle Zunahme Die Verdopplungszeit auch Doppelwertszeit und in der Biologie Generationszeit genannt ist dann T 2 ln 2 l displaystyle T 2 frac ln 2 lambda nbsp Bei b lt 1 displaystyle b lt 1 nbsp und daher l lt 0 displaystyle lambda lt 0 nbsp spricht man von einer exponentiellen Abnahme Die Halbwertszeit ist dann T 0 5 ln 0 5 l displaystyle T 0 5 frac ln 0 5 lambda nbsp Allgemein ist bei einem Vervielfaltigungsfaktor v displaystyle v nbsp die Vervielfaltigungszeit T v ln v l displaystyle T v frac ln v lambda nbsp Umgekehrt berechnet sich der Vervielfaltigungsfaktor zu v B t T v B t b T v T b e l T v gt 0 displaystyle v frac B t T v B t b T v T b e lambda T v gt 0 nbsp Beispiel 1 Zinseszins mit einem Zinssatz von 8 p a Bearbeiten In diesem Beispiel betragt der jahrliche Zinsfaktor b 1 08 displaystyle b 1 08 nbsp und die Vervielfaltigungszeit T b 1 Jahr displaystyle T b 1 text Jahr nbsp Bei einem Anfangskapital von A 100 displaystyle A 100 mathrm euro nbsp gilt K t A b t T b 100 1 08 t Jahr displaystyle K t A cdot b t T b 100 mathrm euro cdot 1 08 t text Jahr nbsp Durch die Substitution t t T b displaystyle tau t T b nbsp lasst sich die Grossengleichung in eine Zahlenwertgleichung umwandeln K t 100 1 08 t displaystyle K tau 100 cdot 1 08 tau nbsp Dabei bedeutet K t displaystyle K tau nbsp das nach t t Jahr displaystyle tau tfrac t text Jahr nbsp Jahren angesammelte Kapital in Nach 9 Jahren ist das Kapital wegen K 9 100 1 08 9 199 90 displaystyle K 9 100 cdot 1 08 9 199 90 nbsp auf 199 90 angewachsen es hat sich also fast verdoppelt Bei einer vierteljahrlichen Gutschrift der Zinsen ware der jahrliche Zinsfaktor bankmassig auf das Quartal umzurechnen b 1 b 1 4 displaystyle b 1 tfrac b 1 4 nbsp und fur die Zeit die Anzahl der Quartale einzusetzen t t 1 4 Jahr displaystyle tau tfrac t 1 4 text Jahr nbsp Dies ergabe in diesem Beispiel K 36 100 1 02 36 203 99 displaystyle K 36 100 cdot 1 02 36 203 99 nbsp Beispiel 2 Epidemie Bearbeiten In einem Land verdoppele sich die Zahl der Infizierten alle 3 Tage Hat man z B zum Zeitpunkt 0 eine Anzahl von 1000 Infizierten so sind es nach 3 Tagen 2000 nach 6 Tagen 4000 Infizierte usw Die Anzahl der Infizierten wachse also zunachst exponentiell und kann dann durch folgende Funktion beschrieben werden I t 1000 b t displaystyle I tau 1000 cdot b tau nbsp mit b 2 3 displaystyle b sqrt 3 2 nbsp und Anzahl der Tage t t Tag displaystyle tau tfrac t text Tag nbsp Nach 27 Tagen sind es dann schon I 27 1000 2 3 27 512 000 displaystyle I 27 1000 cdot sqrt 3 2 27 512 000 nbsp und nach 2 Monaten I 61 1000 2 3 61 1 3 displaystyle I 61 1000 cdot sqrt 3 2 61 1 3 nbsp Milliarden Infizierte Bei ungebremstem Wachstum aber begrenzter Population von zum Beispiel 80 Millionen errechnen sich die Werte nach dem logistischen Wachstum zu I 27 509 000 displaystyle I 27 509 000 nbsp nur eine kleine Abweichung vom exponentiellen Wachstum und I 61 75 displaystyle I 61 75 nbsp Millionen nahe der Gesamtpopulation 1 Beispiel 3 Radioaktiver Zerfall Bearbeiten Casium 137 ein Produkt der Kernspaltung hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren Seine Zerfallsfunktion lautet daher C t A b t displaystyle C tau A cdot b tau nbsp mit b 2 1 30 displaystyle b 2 frac 1 30 nbsp und Anzahl der Jahre t t Jahr displaystyle tau tfrac t text Jahr nbsp Nach 90 Jahren gibt es wegen C 90 A 2 1 30 90 A 8 displaystyle C 90 A cdot 2 frac 1 30 90 frac A 8 nbsp immer noch 1 8 12 5 displaystyle 1 8 12 5 nbsp der ursprunglich vorhandenen Casiummenge A C 0 displaystyle A C 0 nbsp In den Beispielen 1 und 2 handelt es sich um eine exponentielle Zunahme und im Beispiel 3 um eine exponentielle Abnahme Eigenschaften BearbeitenModellbeschreibung Bearbeiten nbsp Verschiedene Arten von Wachstumexponentielles Wachstum lineares Wachstum kubisches WachstumNebenstehendes Bild zeigt beispielhaft dass immer auf lange Sicht der Bestand wie auch die Wachstumsgeschwindigkeit eines positiven exponentiellen Prozesses grosser ist als beim linearen beim kubischen Wachstum oder allgemein bei allen Wachstumsprozessen die sich durch ganzrationale Funktionen beschreiben lassen Beim Modell des exponentiellen Wachstums ist die Anderung B n 1 B n displaystyle B n 1 B n nbsp diskreter Fall bzw B t displaystyle B t nbsp kontinuierlicher Fall der Bestandsgrosse proportional zum Bestand Im diskreten Fall ergibt sich der neue Bestandswert bei positivem Wachstum indem der alte Wert mit einer Konstanten grosser als 1 multipliziert wird und bei negativem Wachstum mit einer positiven Konstanten kleiner als 1 multipliziert wird Bei der exponentiellen Abnahme bildet die x Achse die Asymptote des Graphen der Wachstumsfunktion Die Bestandsgrosse nahert sich der Null an verschwindet aber nicht In Anwendungsbezugen wie z B der Biologie sind die Bestandsgrossen haufig ganzzahlig sodass sehr kleine Werte schliesslich keine Bedeutung mehr haben und der Bestand praktisch gesehen ausstirbt Differentialgleichung Bearbeiten Differentialgleichungen DGL dienen der Beschreibung kontinuierlicher stetiger Wachstumsmodelle Die DGL fur den exponentiellen Prozess lautet B t d B d t l B t displaystyle B t frac mathrm d B mathrm d t lambda cdot B t nbsp Dies ist eine lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann zum Beispiel mittels der Methode Variablentrennung gelost werden Die Wachstumsgeschwindigkeit lasst sich aus der DGL herleiten B t l B t l B 0 e l t displaystyle B t lambda cdot B t lambda cdot B 0 cdot mathrm e lambda t nbsp Diskretes Wachstumsmodell Bearbeiten Zur Darstellung des diskreten Wachstumsmodells in rekursiver Form dienen aus Differenzen abgeleitete Folgen Dabei bezeichnet D t displaystyle Delta t nbsp die Zeitdifferenz in einer aquidistanten Folge von Zeitpunkten t n n D t displaystyle t n n Delta t nbsp fur n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 dotsc nbsp und B n displaystyle B n nbsp bedeutet die entsprechenden Bestandsgrossen In rekursiver Form wird zeitdiskretes exponentielles Wachstum Zu und Abnahme durch B n 1 B n b displaystyle B n 1 B n cdot b nbsp beschrieben Dabei ist der Wachstumsfaktor b 1 p displaystyle b 1 p nbsp mit jenem im zeitkontinuierlichen Fall identisch Die Bestandsgrosse B n displaystyle B n nbsp folgt aus den Formeln fur kontinuierliches Wachstum mit den Substitutionen t n D t displaystyle t n Delta t nbsp T b D t displaystyle T b Delta t nbsp und l ln b D t displaystyle lambda frac ln b Delta t nbsp zu B n B 0 b n B 0 e n ln b displaystyle B n B 0 b n B 0 mathrm e n ln b nbsp Auflosung nach der Zeit Bearbeiten Bestimmt werden soll die Zeitspanne t f displaystyle t f nbsp in der sich ein exponentiell entwickelnder Bestand um den Faktor f B t f B 0 displaystyle f B t f B 0 nbsp andert Die Wachstumsgleichung ist mit dem Vervielfaltigungsfaktor b displaystyle b nbsp und der Vervielfaltigungszeit T b displaystyle T b nbsp gegeben Aus b t f T b f displaystyle b frac t f T b f nbsp folgt t f T b log b f ln f ln b displaystyle frac t f T b log b f frac ln f ln b nbsp Beispiel Fur b 1 p displaystyle b 1 p nbsp nahe eins gilt naherungsweise ln b p displaystyle ln b p nbsp Eine Verdoppelung f 2 displaystyle f 2 nbsp benotigt demnach die Zeit t f T b 0 7 p displaystyle t f approx T b frac 0 7 p nbsp Beispiele allgemein und naher erlautert BearbeitenNaturwissenschaften Bearbeiten nbsp Bakterielles Wachstum bei E coli Die Generationszeit liegt bei ca 20 Minuten Wachstum von Populationen Das Wachstum von Mikroorganismen wie beispielsweise Bakterien und Viren Krebszellen und auch der Weltbevolkerung kann ohne begrenzende Faktoren z B Konkurrenten Fress Feinde oder Krankheitserreger endliche Nahrungsquellen theoretisch exponentiell steigen 2 Das ist allerdings in der Regel nur ein theoretisches Beispiel Das Wachstum z B von Bakterien wird normalerweise von einer logistischen Funktion beschrieben die allerdings am Anfang einer Exponentialfunktion stark ahnelt Radioaktiver Zerfall Die Anzahl der Kernzerfalle in einer radioaktiven Materialmenge nimmt zeitlich annahernd exponentiell ab siehe auch Zerfallsgesetz In gleich langen Zeitintervallen zerfallt stets derselbe Bruchteil der zu Beginn des Intervalls noch vorhandenen Menge 3 Kettenreaktion Bei der Kernspaltung werden Neutronen freigesetzt die ihrerseits weitere Atomkerne zum Zerfall anregen konnen Die Kettenreaktion tritt ein wenn die kritische Menge uberschritten wird Eine Kernwaffe wird auf moglichst schnellen und hohen Anstieg der Reaktionsrate hin konstruiert Die Kettenreaktion wird im Normalbetrieb eines Kernreaktors mittels Absorbern so gesteuert dass die Reaktionsrate konstant bleibt Lambert Beersches Gesetz Legt ein monochromatischer einfarbiger Lichtstrahl mit einer bestimmten einfallenden Intensitat durch ein absorbierendes homogenes Medium z B Farbstoff einer bestimmten Schichtdicke darin einen Weg zuruck so lasst sich die Intensitat des austretenden Strahls durch einen exponentiellen Zerfallsprozess darstellen Die Intensitat des austretenden Strahls ist proportional zur Intensitat des einfallenden Strahls 3 Dies steht in engem Zusammenhang mit dem sogenannten Absorptionsgesetz fur beispielsweise Rontgenstrahlung 4 nbsp Exponentielles Anwachsen der Amplitude nach dem Einschalten eines Oszillators bis die Begrenzung einsetztAnfachen eines Oszillators Die zeitlich lineare Amplitudenanderung beim Anschwingen eines Oszillators entspricht einem zeitlich exponentiellen Amplitudenzuwachs eines realen Schwingers bei Parameterresonanz 5 Wirtschaft und Finanzen Bearbeiten Zinseszins Die Zinsen werden hier einem Kapital K displaystyle K nbsp uber einen gewissen Zeitraum zugeschlagen und mit verzinst 6 Dies fuhrt zu einem exponentiellen Wachstum des Kapitals 7 8 Die Zinseszinsformel lautet K t K 0 1 i t T i displaystyle K t K 0 cdot 1 i t T i nbsp wobei i displaystyle i nbsp der Zinssatz pro Zinsperiode T i displaystyle T i nbsp und K 0 displaystyle K 0 nbsp das Anfangskapital darstellen siehe auch Zinsrechnung Zinseszins Josephspfennig hier wird ein Penny im Jahre Null angelegt Bei einem Sparbuch mit 5 Zinsen pro Jahr liegt die Verdopplungszeit nach obenstehender Faustformel bei 70 5 14 Jahren displaystyle tfrac 70 5 approx text 14 Jahren nbsp Schneeballsystem Dies sind Geschaftsmodelle bei denen die Anzahl der Teilnehmer exponentiell wachst Jeder Mitarbeiter hat hier eine bestimmte Anzahl weiterer Mitarbeiter zu rekrutieren die dann wiederum diese Anzahl anwerben sollen und so weiter Nach dem gleichen Prinzip funktionieren auch Schenkkreise und Kettenbriefe Technik Bearbeiten nbsp Funffach gefaltete MylarfolieFalten Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie 8 Auf diese Weise lassen sich dunne Folien mit einem einfachen Messschieber ausmessen Die Mylarfolie auf dem Bild besteht nach funffachem Falten aus 25 32 Lagen Folie die gemeinsam eine Dicke von 480 µm haben Eine Folie ist also ca 15 µm stark Nach zehnfachem Falten ware die Lage bereits 15 mm dick nach weiteren 10 Faltungen mehr als 15 7 m Da sich auch die Stapelflache exponentiell verringert lasst sich Papier in einem handelsublichen Papierformat kaum mehr als sieben Mal zusammenschlagen Mathematik Bearbeiten Schachbrett mit einem Weizenkorn Der Anekdote zufolge soll der Brahmane Sissa ibn Dahir ein Spiel das heute unter dem Namen Schach bekannt ist fur den indischen Herrscher Shihram erfunden haben um ihm seine tyrannische Herrschaft die das Volk in Elend und Not sturzte zu verdeutlichen und ihn zu unterhalten Ihm wurde dafur ein freier Wunsch gewahrt Sissa wunschte sich Folgendes Auf das erste Feld eines Schachbretts wollte er ein Weizenkorn je nach Literatur auch ein Reiskorn 9 10 auf das zweite Feld das Doppelte also zwei Korner auf das dritte wiederum die doppelte Menge also vier und so weiter Der Konig lachte und gewahrte ihm einen Sack des Getreides Darauf hin bat er den Herrscher die genaue Menge durch seine Mathematiker ermitteln zulassen da ein Sack nicht ganz ausreiche Die Berechnung ergab Auf dem letzten 64 Feld wurden so am Ende 263 9 22 1018 Korner also mehr als 9 Trillionen Korner liegen 11 Mehr als alles Getreide der Welt Das Anwachsen der Kornerzahl lasst sich als exponentielles Wachstum unter Nutzung einer Exponentialfunktion der Basis 2 auffassen Musik Bearbeiten Die Funktion von der additiven Gruppe der Intervalle I displaystyle I nbsp in die multiplikative Gruppe Q displaystyle Q nbsp der Frequenzverhaltnisse f I Q displaystyle f colon I to Q nbsp ist eine Exponentialfunktion Dabei gilt f displaystyle f nbsp Oktave 2 und f displaystyle f nbsp n Oktaven 2 n displaystyle 2 n nbsp fur n N displaystyle n in N nbsp Das Frequenzverhaltnis von Intervallen wachst also exponentiell Hinweis Oktave ist eine Einheit fur die Intervallgrosse mit dem Frequenzverhaltnis 2 1 Cent ist eine Untereinheit der Oktave wobei Oktave 1200 Cent Beispiel Intervall Grosse Frequenzverhaltnis0 Oktaven Prime 0 0 11 Oktave 1200 Cent 0 22 Oktaven 2400 Cent 0 43 Oktaven 3600 Cent 0 84 Oktaven 4800 Cent 16 Bei den Intervallen handelt es sich um eine additiv geordnete Gruppe Das Frequenzverhaltnis einer Summe ist das Produkt der Frequenzverhaltnisse Beispiel Quinte 702 Cent Frequenzverhaltnis 3 2 Quarte 498 Cent Frequenzverhaltnis 4 3 Quinte Quarte 702 Cent 498 Cent 1200 Cent Oktave Frequenzverhaltnis 3 2 4 3 2 Grenzen des Modells Bearbeiten Der Modellansatz zu exponentiellem Wachstum stosst in der Realitat auf seine Grenzen insbesondere im wirtschaftlichen Bereich Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch als langfristiger Trend so der Wirtschaftswissenschaftler Norbert Reuter Er fuhrt an dass die Wachstumsraten in hoher entwickelten Gesellschaften aufgrund von konjunkturellen Einflussen zuruckgehen 12 Indikator dafur ist das Bruttoinlandsprodukt BIP Mit Blick auf statistische Daten lasst sich ableiten dass ein exponentielles Wirtschaftswachstum eher typisch fur Anfangsjahre einer industriellen Volkswirtschaft ist aber ab einem bestimmten Niveau wenn wesentliche Entwicklungsprozesse abgeschlossen sind in ein lineares Wachstum ubergeht 13 Wird also ein weiteres exponentielles Wachstum extrapoliert tritt eine Diskrepanz zwischen der Wachstumserwartung und dem tatsachlichen Verlauf auf Dies betrifft unter anderem die Staatsverschuldung Durch die rechentechnisch falsche Erwartung dass die Staatsverschuldung durch ein Wirtschaftswachstum begrenzt werden konnte sinkt jedoch nur die Schwelle fur neue Schulden Bleibt jedoch das erwartete Wachstum aus entsteht ein Defizit das die kunftige Handlungsfahigkeit eines Staates einschrankt Aufgrund der Zinsen und Zinseszinsen besteht die Gefahr dass die Staatsverschuldung exponentiell wachst 14 Ein weiterer Aspekt ist dass der Bedarf nicht ins Unermessliche steigt sondern einen Sattigungseffekt erfahrt der auch nicht durch entsprechende Wirtschaftspolitik kompensiert werden kann 12 In die gleiche Richtung gehen Uberlegungen in Bezug auf biologische Zusammenhange beispielsweise durch Konkurrenz um Nahrung oder Platz Bezogen auf die Weltbevolkerung thematisiert dies die Debatte um den okologischen Fussabdruck sprich um die Tragfahigkeit der Erde mit dem relativ kleinen Verbrauch an erneuerbare Ressourcen bezogen auf den Gesamtverbrauch an Ressourcen 15 Hier vernachlassigt das exponentielle Wachstumsmodell auch demographische Entwicklungen wie das Verhaltnis zwischen Geburten und Sterberate sowie das Verhaltnis zwischen weiblicher und mannlicher Bevolkerung 16 Wachstumsmodelle die den Sattigungseffekt berucksichtigen sind das beschrankte Wachstum und das logistische Wachstum wahrend das Modell des vergifteten Wachstums auch wachstumshemmende Faktoren in den Prozess mit einberechnet Literatur BearbeitenJoachim Engel Anwendungsorientierte Mathematik Von Daten zur Funktion Eine Einfuhrung in die mathematische Modellbildung fur Lehramtsstudierende Springer Verlag Heidelberg 2010 ISBN 978 3 540 89086 7 S 150 153 Hermann Haarmann Hans Wolpers Mathematik zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife Nichttechnische Fachrichtungen 2 Auflage Merkur Verlag Rinteln 2012 ISBN 978 3 8120 0062 8 S 272 274 Klaus Schilling Analysis Qualifikationsphase Kerncurriculum Berufliches Gymnasium Eins Verlag Koln 2012 ISBN 978 3 427 07770 1 S 249 257 Walter Seifritz Wachstum Ruckkopplung und Chaos Eine Einfuhrung in die Welt der Nichtlinearitat und des Chaos Hansen Verlag Munchen 1987 ISBN 3 446 15105 2 S 9 18 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks M A T H E m a T R i x displaystyle color BlueViolet begin smallmatrix mathbf MATHE mu alpha T mathbb R ix end smallmatrix nbsp Mathematik fur die Schule Exponentielles Wachstum Eric W Weisstein Exponential Growth In MathWorld englisch Exponentielles Wachstum verstehen Das Prinzip Seerose ZDF 3Sat 2021 Video 43 Min Einzelnachweise Bearbeiten Diese Werte errechnen sich nach dem Modell des logistischen Wachstums f t G 1 1 e k G t G f 0 1 displaystyle f t G cdot frac 1 1 e k cdot G cdot t left frac G f 0 1 right nbsp mit f 0 1000 displaystyle f 0 1000 nbsp G 80 Mio displaystyle G 80 text Mio nbsp und k ln 2 240 Mio displaystyle k approx ln 2 240 text Mio nbsp siehe auch SI Modell M Begon M Mortimer D J Thompson Populationsokologie Spektrum Heidelberg 1997 a b Stefan Keppeler Mathematik 1 fur Biologen Geowissenschaftler und Geookologen Exponentialfunktionen und Logarithmus PDF 454 kB Nicht mehr online verfugbar 5 November 2008 S 9 archiviert vom Original am 1 Februar 2014 abgerufen am 28 Marz 2013 Valeriano Ferreras Paz Rontgenabsorption PDF 2 0 MB Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 2 Februar 2014 abgerufen am 31 Marz 2013 Hans Dresig I I Vul fson Dynamik der Mechanismen VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1989 ISBN 3 326 00361 7 S 198 Volltext H Schreier Finanzmathematik PDF 211 kB S 9 11 abgerufen am 10 April 2013 Zinseszins und exponentielles Wachstum Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 30 August 2012 abgerufen am 2 April 2013 a b Roland Spinola Exponentielles Wachstum was ist das PDF 121 kB Abgerufen am 13 April 2013 Geschichte Abgerufen am 23 Marz 2014 Das Schachbrett und die Reiskorner Nicht mehr online verfugbar Archiviert vom Original am 4 Oktober 2013 abgerufen am 14 April 2013 Hier ergibt sich fur die Potenz die Basis 2 also eine Zweierpotenz weil die Anzahl der Korner von Feld zu Feld jeweils verdoppelt wird Die erste Verdopplung findet vom ersten auf das zweite Feld statt Deshalb ergeben sich beim vierundsechszigten Feld 64 1 63 Verdopplungen Daher ist der Exponent hier gleich 63 Auf dem 64 Feld wurden also 2 64 1 263 9 223 372 036 854 775 808 9 22 1018 Korner liegen a b Hartmut Steiger Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch Abgerufen am 16 April 2013 Kai Bourcarde Karsten Heinzmann Normalfall exponentielles Wachstum ein internationaler Vergleich PDF 738 kB S 6 abgerufen am 16 April 2013 Kai Bourcarde Lineares Wirtschaftswachstum exponentielle Staatsverschuldung PDF 345 kB S 4 abgerufen am 16 April 2013 Donella Meadows Jorgen Randers Dennis Meadows Exponentielles Wachstum als treibende Kraft von Uberschreitungen okologischer Grenzen PDF Abgerufen am 16 April 2013 Thomas Kampe Weltbevolkerung PDF 2 4 MB Nicht mehr online verfugbar Ehemals im Original abgerufen am 16 April 2013 1 2 Vorlage Toter Link www uni ulm de Seite nicht mehr abrufbar Suche in Webarchiven Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Exponentielles Wachstum amp oldid 236575735