www.wikidata.de-de.nina.az

Änderungsrate Die einer zeitabhängigen Größe G displaystyle G beschreibt das Ausmaß der Veränderung von G displaystyle G

Änderungsrate

Die Änderungsrate einer zeitabhängigen Größe beschreibt das Ausmaß der Veränderung von über einen bestimmten Zeitraum im Verhältnis zur Dauer dieses Zeitraums, man spricht auch ungenau von der Änderungsgeschwindigkeit von . Anschaulich gesprochen, ist sie ein Maß dafür, wie schnell sich die Größe ändert. Durch den Bezug auf die Zeitdauer enthält die Maßeinheit im Nenner eine Zeiteinheit; im Zähler steht eine Einheit von . Wird die Änderung auch auf die Größe selbst bezogen, spricht man von einer relativen Änderungs- oder Wachstumsrate.

Man unterscheidet zudem zwischen der mittleren Änderungsrate zwischen zwei Messungen und der momentanen Änderungsrate als abstrakte Größe einer Modellvorstellung.

Berechnung und Verwendung Bearbeiten

Mittlere Änderungsrate Bearbeiten

Die mittlere Änderungsrate ist die durchschnittliche Änderung einer zeitabhängigen Größe zwischen zwei Zeitpunkten und , also im Zeitraum . Berechnet wird sie als Differenzenquotient

Hierbei wird also die Veränderung der zeitabhängigen Größe ins Verhältnis gesetzt zum Zeitraum, in dem diese Veränderung passiert. Im Zeit-Größen-Diagramm (Funktionsgraph, Schaubild) von ist die mittlere Änderungsrate zwischen und die Steigung der Sekante durch die Punkte und im Diagramm.

Momentane Änderungsrate Bearbeiten

Die momentane Änderungsrate ist die Änderungsrate einer Messgröße zu einem gegebenen Zeitpunkt . Sie entspricht dem Grenzwert der mittleren Änderungsrate im Zeitintervall , wenn gegen Null strebt. Das ist die Definition der zeitlichen Ableitung der Funktion :

Diese Behandlung setzt voraus, dass die Messgröße sich wenigstens differenzierbar mit der Zeit ändert. In den meisten Fällen ist diese Bedingung auch erfüllt, jedoch nicht immer. So ist beispielsweise die momentane Stromstärke (also die Änderungsrate der Ladungsmenge) in dem Moment nicht definiert, in dem ein Schalter geöffnet oder geschlossen wird.

Im Schaubild der Funktion kann man die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente an den Funktionsgraph im Zeitpunkt ablesen.

Für zeitlineare Änderungen ist die momentane Änderungsrate konstant und damit stets gleich der mittleren Änderungsrate in jedem Zeitintervall.

Änderungsraten in weiterem Sinn Bearbeiten

Werden die Begriffe im übertragenen Sinn für Größen verwendet, die von einem anderen Parameter als der Zeit abhängen, so ist

  • die mittlere Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Differenzenquotienten ;
  • die momentane Änderungsrate gleichbedeutend mit dem Differentialquotienten . (Falls eine Ortskoordinate ist, spricht man eher von der lokalen Änderungsrate und meint dasselbe).

Ist der Parameter eine vektorielle Größe, so wird statt des Begriffs „Rate“ auch der Begriff „Gradient“ verwendet, etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient.

Beispiele Bearbeiten

  • Bei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit die momentane Änderungsrate der Zeit-Ort-Funktion . Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt Definition der Geschwindigkeit den Unterschied von mittlerer und momentaner Änderungsrate deutlich.
  • Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt die maximale Steiggeschwindigkeit an.

Literatur Bearbeiten

  • Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2.
  • Christian Gerthsen, Hans O. Kneser, Helmut Vogel: Physik: ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen. 16. Auflage. Springer-Verlag, 1992, ISBN 3-540-51196-2.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Helga Lohöfer: Tabelle der üblichen Änderungsbegriffe für Variable und Funktionen. Skript zur Übung Mathematische und statistische Methoden für Pharmazeuten, Universität Marburg. 2006.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Anderungsrate einer zeitabhangigen Grosse G displaystyle G beschreibt das Ausmass der Veranderung von G displaystyle G uber einen bestimmten Zeitraum im Verhaltnis zur Dauer dieses Zeitraums man spricht auch ungenau von der Anderungsgeschwindigkeit von G displaystyle G Anschaulich gesprochen ist sie ein Mass dafur wie schnell sich die Grosse G displaystyle G andert Durch den Bezug auf die Zeitdauer enthalt die Masseinheit im Nenner eine Zeiteinheit im Zahler steht eine Einheit von G displaystyle G Wird die Anderung auch auf die Grosse selbst bezogen spricht man von einer relativen Anderungs oder Wachstumsrate Man unterscheidet zudem zwischen der mittleren Anderungsrate zwischen zwei Messungen und der momentanen Anderungsrate als abstrakte Grosse einer Modellvorstellung Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung und Verwendung 1 1 Mittlere Anderungsrate 1 2 Momentane Anderungsrate 1 3 Anderungsraten in weiterem Sinn 2 Beispiele 3 Literatur 4 AnmerkungenBerechnung und Verwendung BearbeitenMittlere Anderungsrate Bearbeiten Die mittlere Anderungsrate ist die durchschnittliche Anderung einer zeitabhangigen Grosse G displaystyle G nbsp zwischen zwei Zeitpunkten t 1 displaystyle t 1 nbsp und t 2 displaystyle t 2 nbsp also im Zeitraum D t t 2 t 1 displaystyle Delta t t 2 t 1 nbsp Berechnet wird sie als Differenzenquotient D G D t G t 2 G t 1 t 2 t 1 displaystyle frac Delta G Delta t frac G t 2 G t 1 t 2 t 1 nbsp Hierbei wird also die Veranderung der zeitabhangigen Grosse ins Verhaltnis gesetzt zum Zeitraum in dem diese Veranderung passiert Im Zeit Grossen Diagramm Funktionsgraph Schaubild von G t displaystyle G t nbsp ist die mittlere Anderungsrate zwischen t 1 displaystyle t 1 nbsp und t 2 displaystyle t 2 nbsp die Steigung der Sekante durch die Punkte t 1 G t 1 displaystyle t 1 G t 1 nbsp und t 2 G t 2 displaystyle t 2 G t 2 nbsp im Diagramm Momentane Anderungsrate Bearbeiten Siehe auch Differentialrechnung Die momentane Anderungsrate ist die Anderungsrate einer Messgrosse G displaystyle G nbsp zu einem gegebenen Zeitpunkt t displaystyle t nbsp Sie entspricht dem Grenzwert der mittleren Anderungsrate im Zeitintervall D t displaystyle Delta t nbsp wenn D t displaystyle Delta t nbsp gegen Null strebt Das ist die Definition der zeitlichen Ableitung der Funktion G t displaystyle G t nbsp G t lim D t 0 D G D t lim D t 0 G t D t G t D t d G d t displaystyle dot G t lim Delta t to 0 frac Delta G Delta t lim Delta t to 0 frac G t Delta t G t Delta t frac mathrm d G mathrm d t nbsp Diese Behandlung setzt voraus dass die Messgrosse sich wenigstens differenzierbar mit der Zeit andert In den meisten Fallen ist diese Bedingung auch erfullt jedoch nicht immer So ist beispielsweise die momentane Stromstarke I t d Q d t displaystyle I t frac mathrm d Q mathrm d t nbsp also die Anderungsrate der Ladungsmenge in dem Moment nicht definiert in dem ein Schalter geoffnet oder geschlossen wird Im Schaubild der Funktion G t displaystyle G t nbsp kann man die momentane Anderungsrate G t displaystyle dot G t nbsp als Steigung der Tangente an den Funktionsgraph im Zeitpunkt t displaystyle t nbsp ablesen Fur zeitlineare Anderungen ist die momentane Anderungsrate konstant und damit stets gleich der mittleren Anderungsrate in jedem Zeitintervall Anderungsraten in weiterem Sinn Bearbeiten Werden die Begriffe im ubertragenen Sinn fur Grossen G q displaystyle G q nbsp verwendet die von einem anderen Parameter q displaystyle q nbsp als der Zeit abhangen so ist 1 die mittlere Anderungsrate gleichbedeutend mit dem Differenzenquotienten D G D q displaystyle tfrac Delta G Delta q nbsp die momentane Anderungsrate gleichbedeutend mit dem Differentialquotienten d G d q displaystyle tfrac mathrm d G mathrm d q nbsp Falls q displaystyle q nbsp eine Ortskoordinate ist spricht man eher von der lokalen Anderungsrate und meint dasselbe Ist der Parameter q displaystyle q nbsp eine vektorielle Grosse so wird statt des Begriffs Rate auch der Begriff Gradient verwendet etwa Temperaturgradient oder Luftdruckgradient Beispiele BearbeitenBei einer geradlinigen Bewegung ist die Geschwindigkeit v t displaystyle v t nbsp die momentane Anderungsrate der Zeit Ort Funktion x t displaystyle x t nbsp Der Artikel Geschwindigkeit macht im Abschnitt Definition der Geschwindigkeit den Unterschied von mittlerer und momentaner Anderungsrate deutlich Die Steigleistung eines Luftfahrzeuges gibt die maximale Steiggeschwindigkeit an Literatur BearbeitenHarro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 5 Auflage Teubner Verlag 1988 ISBN 3 519 42221 2 Christian Gerthsen Hans O Kneser Helmut Vogel Physik ein Lehrbuch zum Gebrauch neben Vorlesungen 16 Auflage Springer Verlag 1992 ISBN 3 540 51196 2 Anmerkungen Bearbeiten Helga Lohofer Tabelle der ublichen Anderungsbegriffe fur Variable und Funktionen Skript zur Ubung Mathematische und statistische Methoden fur Pharmazeuten Universitat Marburg 2006 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Anderungsrate amp oldid 237333771