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Wachstumsrate Als bezeichnet man die relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum einer Periode oder auch bei Betracht

Wachstumsrate

Als Wachstumsrate bezeichnet man die relative Zunahme einer Größe in einem Zeitraum (einer Periode) oder auch, bei Betrachtung mehrerer Perioden, die mittlere relative Zunahme einer Größe pro Zeitspanne.

Oft wird hierbei ein Exponentielles Wachstum angenommen. Statt mit der Wachstumsrate wird dann meist mit dem Wachstumsfaktor gerechnet. Eine Wachstumsrate von 23 % (also ) entspricht dem Wachstumsfaktor .

Definition Bearbeiten

Die diskrete Wachstumsrate ist die Änderung einer von der Zeit abhängigen Größe zwischen zwei Zeitpunkten und relativ zu ihrem Ausgangswert :

Verkürzt man die Periode immer mehr hin zu ihrem Anfangszeitpunkt, bildet man also den Grenzwert, dann erhält man die stetige Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt. Sie ist die momentane Änderung der Größe zu einem konkreten Zeitpunkt relativ zu ihrem Wert zu diesem Zeitpunkt.

Die mittlere diskrete Wachstumsrate über mehrere Zeitspannen wird durch die allgemeine Gleichung

ausgedrückt, wobei die Anzahl der Zeitspannen zwischen und und die betrachtete Größe zum jeweiligen Zeitpunkt darstellt. Hierbei handelt es sich um die Wachstumsrate aus dem geometrischen Mittel der Wachstumsfaktoren der einzelnen Perioden.

Jährliche Wachstumsrate (Compound Annual Growth Rate) Bearbeiten

Eine spezielle Wachstumsrate ist die jährliche Wachstumsrate (engl. Compound Annual Growth Rate, abgekürzt CAGR), eine wesentliche Kennziffer zur Betrachtung von Investitionen, Marktentwicklungen, Umsätzen etc. in der Betriebswirtschaft und in der Volkswirtschaft. Die CAGR stellt das durchschnittliche jährliche Wachstum einer zu betrachtenden Größe dar.

Zur Berechnung wird der aktuelle Wert durch den Ausgangswert geteilt. Von dem Ergebnis wird die -te Wurzel gezogen, wobei die Anzahl der Jahre ist, die betrachtet werden. Die Compound Annual Growth Rate stellt also den mittleren Prozentsatz dar, um den der Anfangswert einer Zeitreihe auf hypothetische Folgewerte für die Berichtsjahre wächst, bis der tatsächliche Endwert am Ende der Berichtsperiode erreicht ist. Tatsächliche Ausschläge der Folgejahre in der Zwischenzeit wirken sich dabei nicht aus, die Wachstumsrate ist konstant.

Die Formel für die CAGR ist dieselbe wie die der Wachstumsrate, wobei bei CAGR die Größe als Anzahl von Jahren ausgedrückt wird.

Beispiel: Eine Firma erzielt im Jahr 2004 einen Umsatz von 1 Million €. Im Jahr 2006 beträgt der Umsatz 1,21 Millionen €. Die Anzahl der Zeiteinheiten beträgt 2006–2004 = 2.

Die jährliche Wachstumsrate beträgt 10 %. Wenn man daher den Ausgangswert zweimal mit dem entsprechenden Wachstumsfaktor 1,1 multipliziert, erhält man den Endwert:

Spezifische Wachstumsrate in der Biologie Bearbeiten

Bei exponentiellem Wachstum ist die Geschwindigkeit der Veränderung der Zellmasse () zu jedem Zeitpunkt proportional zur Zellmasse . Die Proportionalitätskonstante wird als spezifische Wachstumsrate bezeichnet:

Andere zur Beschreibung von Fermentationsprozessen benutzte Kenngrößen sind die spezifische Produktbildungsrate und der spezifische Substratverbrauch.

Beziehung zur Wachstumskonstanten λ Bearbeiten

Wird zur mathematischen Beschreibung des Exponentiellen Wachstums einer zeitabhängigen Größe eine Funktion der Form

mit einer explizit aufgeführten Zinsperiode (z. B. ) verwendet, so kann die Periodendauer in die Wachstumskonstante umgerechnet werden:

Da die Wachstumsrate und der Wachstumsfaktor dimensionslose Zahlen sind, hat die Wachstumskonstante die Dimension einer Frequenz. Die Zahl im Exponenten kann ebenfalls als Rate bezeichnet werden, da sie bei kleinen Wachstumsraten unterhalb von 10 % annähernd gleich ist:

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hans-Dieter Jakubke, Ruth Karcher (Koordinatoren): Lexikon der Chemie in drei Bänden, Spektrum Verlag, Band 3, Heidelberg 1999, ISBN 3-8274-0381-2, S. 257.
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Als Wachstumsrate bezeichnet man die relative Zunahme einer Grosse in einem Zeitraum einer Periode oder auch bei Betrachtung mehrerer Perioden die mittlere relative Zunahme einer Grosse pro Zeitspanne Oft wird hierbei ein Exponentielles Wachstum angenommen Statt mit der Wachstumsrate p displaystyle p wird dann meist mit dem Wachstumsfaktor q 1 p displaystyle q 1 p gerechnet Eine Wachstumsrate von 23 also p 0 23 displaystyle p 0 23 entspricht dem Wachstumsfaktor q 1 23 displaystyle q 1 23 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Jahrliche Wachstumsrate Compound Annual Growth Rate 3 Spezifische Wachstumsrate in der Biologie 4 Beziehung zur Wachstumskonstanten l 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie diskrete Wachstumsrate p displaystyle p nbsp ist die Anderung einer von der Zeit t displaystyle t nbsp abhangigen Grosse A t displaystyle A t nbsp zwischen zwei Zeitpunkten t 0 displaystyle t 0 nbsp und t displaystyle t nbsp relativ zu ihrem Ausgangswert A t 0 displaystyle A t 0 nbsp p A t A t 0 A t 0 displaystyle p frac A t A t 0 A t 0 nbsp Verkurzt man die Periode immer mehr hin zu ihrem Anfangszeitpunkt bildet man also den Grenzwert dann erhalt man die stetige Wachstumsrate w displaystyle w nbsp zu diesem Zeitpunkt Sie ist die momentane Anderung der Grosse A t displaystyle A t nbsp zu einem konkreten Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp relativ zu ihrem Wert A t 0 displaystyle A t 0 nbsp zu diesem Zeitpunkt w 1 A t 0 d A d t t 0 displaystyle w frac 1 A t 0 cdot frac dA dt t 0 nbsp Die mittlere diskrete Wachstumsrate uber mehrere Zeitspannen wird durch die allgemeine Gleichung Wachstumsrate t 0 t A t A t 0 1 n 1 displaystyle operatorname Wachstumsrate t 0 t left frac A t A t 0 right frac 1 n 1 nbsp ausgedruckt wobei n t t 0 displaystyle n t t 0 nbsp die Anzahl der Zeitspannen zwischen t 0 displaystyle t 0 nbsp und t displaystyle t nbsp und A t displaystyle A t nbsp die betrachtete Grosse zum jeweiligen Zeitpunkt t displaystyle t nbsp darstellt Hierbei handelt es sich um die Wachstumsrate aus dem geometrischen Mittel der Wachstumsfaktoren der einzelnen Perioden Jahrliche Wachstumsrate Compound Annual Growth Rate BearbeitenEine spezielle Wachstumsrate ist die jahrliche Wachstumsrate engl Compound Annual Growth Rate abgekurzt CAGR eine wesentliche Kennziffer zur Betrachtung von Investitionen Marktentwicklungen Umsatzen etc in der Betriebswirtschaft und in der Volkswirtschaft Die CAGR stellt das durchschnittliche jahrliche Wachstum einer zu betrachtenden Grosse dar Zur Berechnung wird der aktuelle Wert durch den Ausgangswert geteilt Von dem Ergebnis wird die n displaystyle n nbsp te Wurzel gezogen wobei n displaystyle n nbsp die Anzahl der Jahre ist die betrachtet werden Die Compound Annual Growth Rate stellt also den mittleren Prozentsatz dar um den der Anfangswert einer Zeitreihe auf hypothetische Folgewerte fur die Berichtsjahre wachst bis der tatsachliche Endwert am Ende der Berichtsperiode erreicht ist Tatsachliche Ausschlage der Folgejahre in der Zwischenzeit wirken sich dabei nicht aus die Wachstumsrate ist konstant Die Formel fur die CAGR ist dieselbe wie die der Wachstumsrate wobei bei CAGR die Grosse n displaystyle n nbsp als Anzahl von Jahren ausgedruckt wird Beispiel Eine Firma erzielt im Jahr 2004 einen Umsatz von 1 Million Im Jahr 2006 betragt der Umsatz 1 21 Millionen Die Anzahl der Zeiteinheiten n displaystyle n nbsp betragt 2006 2004 2 CAGR 2004 2006 1 210 000 1 000 000 1 2 1 0 1 10 displaystyle operatorname CAGR 2004 2006 left frac 1 210 000 1 000 000 right frac 1 2 1 0 1 10 nbsp Die jahrliche Wachstumsrate betragt 10 Wenn man daher den Ausgangswert zweimal mit dem entsprechenden Wachstumsfaktor 1 1 multipliziert erhalt man den Endwert 1 000 000 1 1 1 1 1 210 000 displaystyle 1 000 000 cdot 1 1 cdot 1 1 1 210 000 nbsp Spezifische Wachstumsrate in der Biologie BearbeitenBei exponentiellem Wachstum ist die Geschwindigkeit der Veranderung der Zellmasse d X d t displaystyle tfrac dX dt nbsp zu jedem Zeitpunkt proportional zur Zellmasse X displaystyle X nbsp Die Proportionalitatskonstante wird als spezifische Wachstumsrate m displaystyle mu nbsp bezeichnet 1 d X d t m X displaystyle frac dX dt mu X nbsp Andere zur Beschreibung von Fermentationsprozessen benutzte Kenngrossen sind die spezifische Produktbildungsrate und der spezifische Substratverbrauch Beziehung zur Wachstumskonstanten l BearbeitenWird zur mathematischen Beschreibung des Exponentiellen Wachstums einer zeitabhangigen Grosse A t displaystyle A t nbsp eine Funktion der Form A t A 0 1 p t T A 0 q t T A 0 e r t T displaystyle A t A 0 cdot left 1 p right t T A 0 cdot q t T A 0 cdot e rt T nbsp mit einer explizit aufgefuhrten Zinsperiode z B T 1 Jahr displaystyle T 1 text Jahr nbsp verwendet so kann die Periodendauer T displaystyle T nbsp in die Wachstumskonstante l displaystyle lambda nbsp umgerechnet werden A t A 0 e l t mit l r T ln q T ln 1 p T displaystyle A t A 0 cdot e lambda t quad text mit quad lambda frac r T frac ln q T frac ln 1 p T nbsp Da die Wachstumsrate p displaystyle p nbsp und der Wachstumsfaktor q displaystyle q nbsp dimensionslose Zahlen sind hat die Wachstumskonstante l displaystyle lambda nbsp die Dimension einer Frequenz Die Zahl r ln q ln 1 p displaystyle r ln q ln 1 p nbsp im Exponenten kann ebenfalls als Rate bezeichnet werden da sie bei kleinen Wachstumsraten unterhalb von 10 annahernd gleich p displaystyle p nbsp ist r ln 1 p p falls p lt 0 1 displaystyle r ln 1 p approx p quad text falls quad p lt 0 1 nbsp Weblinks BearbeitenUdo Kamps Wachstumsrate In Gabler Wirtschaftslexikon Abgerufen am 26 September 2014 Wachstumsraten Prof Rolf Hupen PDF 56 3 kB Einzelnachweise Bearbeiten Hans Dieter Jakubke Ruth Karcher Koordinatoren Lexikon der Chemie in drei Banden Spektrum Verlag Band 3 Heidelberg 1999 ISBN 3 8274 0381 2 S 257 Normdaten Sachbegriff GND 4188804 2 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Wachstumsrate amp oldid 229675463