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Trennung der Veränderlichen Die Methode der Trennung der Variablen Separationsmethode oder Separation der Variablen ist

Trennung der Veränderlichen

Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von und einer nur von abhängigen Funktion ist: Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann I Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.

Proportionale Differentialgleichung Erster Ordnung lösen durch Trennung der Veränderlichen.
Lineare Differentialgleichung lösen durch Trennung der Veränderlichen.

Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz.

Lösung des Anfangswertproblems Bearbeiten

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

für stetige (reelle) Funktionen und . Falls , so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Voraussetzungen Bearbeiten

sei ein offenes Intervall, und eine stetige Funktion mit für alle . Dann gilt nach dem Zwischenwertsatz entweder für alle , oder für alle . Also ist die Funktion

streng monoton (das folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und dem Mittelwertsatz). Das heißt, ist injektiv und es gibt die Umkehrfunktion .
Ferner sei ein offenes Intervall, und eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion

wohldefiniert und differenzierbar. Wir wollen die Lösungsmenge des Anfangswertproblems bestimmen:

Der Satz Bearbeiten

Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt:

Das heißt, im Fall hat das Anfangswertproblem genau eine Lösung – nämlich die Funktion – und andernfalls ist leer.

Beweis Bearbeiten

Sei . Wir beweisen zuerst und dann :

1.

Sei , dann gilt nach der Substitutions-Regel

für alle , also .

2.

Nun bleibt zu zeigen, dass für den Fall das einzige Element von – die Funktion – eine Lösung des Anfangswertproblems ist, also gilt: Nach der Kettenregel, der Umkehrregel und dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt

für alle . Natürlich ist .

Bemerkung Bearbeiten

und seien Teilmengen der reellen Zahlen, und stetige Funktionen, sei ein innerer Punkt von , ein innerer Punkt von und . Dann gilt:

Ist , dann gibt es wegen der Stetigkeit von ein umfassendes offenes Intervall mit für alle . Weil auf stetig ist, ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und es gilt . Deswegen gibt es ein umfassendes offenes Intervall , sodass die Abbildung

für alle Werte in hat. Das heißt, die Restriktionen und erfüllen die Bedingungen des oben formulierten Satzes.

Beispiel Bearbeiten

Gesucht sei die Lösung des Anfangswertproblems

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

Setze also

Die Umkehrfunktion lautet

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

Differentiale als anschauliche Rechenhilfe Bearbeiten

Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d. h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale und eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann):

  • Schreibe die Ableitung konsequent als .
  • Bringe alle Terme, in denen ein vorkommt – einschließlich des – auf die rechte, und alle anderen – einschließlich des – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung.
  • Es sollte dann links im Zähler ein und rechts im Zähler ein stehen.
  • Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere.
  • Löse die Gleichung gegebenenfalls nach auf.
  • Ermittle die Integrationskonstante mithilfe der Anfangsbedingung.

Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen:

mit , also .

Computerprogramm Bearbeiten

Die CAS-Software Xcas kann Trennung der Veränderlichen mit diesem Befehl machen: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

Literatur Bearbeiten

  • Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen.4. überarbeitete Auflage. Springer, 1990, ISBN 3-540-52017-1, S. 13–20
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, S. 316–333
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 6. aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 102-122

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? Abgerufen am 27. Januar 2022 (englisch).
  2. ↑ Trennung der Variablen: Erklärung und Beispiel. Abgerufen am 18. September 2021.
  3. How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? Abgerufen am 27. Januar 2022 (englisch).
  4. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128
  5. Bernard Parisse: Symbolic algebra and Mathematics with Xcas. Abgerufen am 23. August 2021.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Methode der Trennung der Veranderlichen Trennung der Variablen Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung losen Das sind Differentialgleichungen bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von x displaystyle x und einer nur von y displaystyle y abhangigen Funktion ist y f y g x displaystyle y f y g x Der Begriff Trennung der Veranderlichen geht auf Johann I Bernoulli zuruck der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete 4 Proportionale Differentialgleichung Erster Ordnung losen 1 durch Trennung der Veranderlichen 2 Lineare Differentialgleichung losen 3 durch Trennung der Veranderlichen 2 Ein ahnliches Verfahren fur bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz Inhaltsverzeichnis 1 Losung des Anfangswertproblems 1 1 Formulierung des Satzes 1 1 1 Voraussetzungen 1 1 2 Der Satz 1 2 Beweis 1 3 Bemerkung 2 Beispiel 3 Differentiale als anschauliche Rechenhilfe 4 Computerprogramm 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseLosung des Anfangswertproblems BearbeitenWir untersuchen das Anfangswertproblem y x f y x g x y x 0 y 0 displaystyle y x f y x g x y x 0 y 0 nbsp fur stetige reelle Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Falls f y 0 0 displaystyle f y 0 0 nbsp so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion y x y 0 displaystyle y x y 0 nbsp gelost Diese Losung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein Formulierung des Satzes Bearbeiten Voraussetzungen Bearbeiten U displaystyle U nbsp sei ein offenes Intervall y 0 U displaystyle y 0 in U nbsp und f U R displaystyle f colon U to mathbb R nbsp eine stetige Funktion mit f x 0 displaystyle f x neq 0 nbsp fur alle x U displaystyle x in U nbsp Dann gilt nach dem Zwischenwertsatz entweder f x gt 0 displaystyle f x gt 0 nbsp fur alle x U displaystyle x in U nbsp oder f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp fur alle x U displaystyle x in U nbsp Also ist die Funktion F U R y y 0 y 1 f s d s displaystyle begin aligned Phi colon U amp to mathbb R y amp mapsto int y 0 y frac 1 f s rm d s end aligned nbsp streng monoton das folgt aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung und dem Mittelwertsatz Das heisst F displaystyle Phi nbsp ist injektiv und es gibt die Umkehrfunktion F 1 F U U displaystyle Phi 1 colon Phi U to U nbsp Ferner sei V displaystyle V nbsp ein offenes Intervall x 0 V displaystyle x 0 in V nbsp und g V R displaystyle g colon V to mathbb R nbsp eine stetige Funktion Dann ist die Funktion h V R x x 0 x g s d s displaystyle begin aligned h colon V amp to mathbb R x amp mapsto int x 0 x g s rm d s end aligned nbsp wohldefiniert und differenzierbar Wir wollen die Losungsmenge M displaystyle M nbsp des Anfangswertproblems bestimmen M u C 1 V U u x 0 y 0 und u f u g displaystyle M u in C 1 V U u x 0 y 0 text und u f circ u cdot g nbsp Der Satz Bearbeiten Unter den oben genannten Voraussetzungen gilt M u C 1 V U F u h displaystyle M u in C 1 V U Phi circ u h nbsp Das heisst im Fall h V F U displaystyle h V subset Phi U nbsp hat das Anfangswertproblem genau eine Losung namlich die Funktion F 1 h displaystyle Phi 1 circ h nbsp und andernfalls ist M displaystyle M nbsp leer Beweis Bearbeiten Sei N u C 1 V U F u h displaystyle N u in C 1 V U Phi circ u h nbsp Wir beweisen zuerst M N displaystyle M subset N nbsp und dann N M displaystyle N subset M nbsp 1 Sei u M displaystyle u in M nbsp dann gilt nach der Substitutions Regel h x x 0 x g s d s x 0 x u s f u s d s u x 0 u x 1 f y d y y 0 u x 1 f y d y F u x F U displaystyle h x int x 0 x g s rm d s int x 0 x frac u s f u s rm d s int u x 0 u x frac 1 f y rm d y int y 0 u x frac 1 f y rm d y Phi u x in Phi U nbsp fur alle x V displaystyle x in V nbsp also F u h displaystyle Phi circ u h nbsp 2 Nun bleibt zu zeigen dass fur den Fall h V F U displaystyle h V subset Phi U nbsp das einzige Element von N displaystyle N nbsp die Funktion F 1 h displaystyle Phi 1 circ h nbsp eine Losung des Anfangswertproblems ist also F 1 h M displaystyle Phi 1 circ h in M nbsp gilt Nach der Kettenregel der Umkehrregel und dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung gilt F 1 h x F 1 h x h x 1 F F 1 h x h x 1 F u x h x f u x g x displaystyle Phi 1 circ h x Phi 1 h x h x frac 1 Phi Phi 1 h x h x frac 1 Phi u x h x f u x g x nbsp fur alle x V displaystyle x in V nbsp Naturlich ist u x 0 y 0 displaystyle u x 0 y 0 nbsp Bemerkung Bearbeiten D displaystyle D nbsp und D displaystyle D nbsp seien Teilmengen der reellen Zahlen f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp und g D R displaystyle g colon D to mathbb R nbsp stetige Funktionen x 0 displaystyle x 0 nbsp sei ein innerer Punkt von D displaystyle D nbsp y 0 displaystyle y 0 nbsp ein innerer Punkt von D displaystyle D nbsp und f y 0 0 displaystyle f y 0 neq 0 nbsp Dann gilt Ist f y 0 gt 0 displaystyle f y 0 gt 0 nbsp f y 0 lt 0 displaystyle f y 0 lt 0 nbsp dann gibt es wegen der Stetigkeit von f displaystyle f nbsp ein y 0 displaystyle y 0 nbsp umfassendes offenes Intervall U R displaystyle U subset mathbb R nbsp mit f y gt 0 displaystyle f y gt 0 nbsp f y lt 0 displaystyle f y lt 0 nbsp fur alle y U displaystyle y in U nbsp Weil F displaystyle Phi nbsp auf U displaystyle U nbsp stetig ist ist F U displaystyle Phi U nbsp nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall und es gilt h x 0 0 F y 0 displaystyle h x 0 0 Phi y 0 nbsp Deswegen gibt es ein x 0 displaystyle x 0 nbsp umfassendes offenes Intervall V R displaystyle V subset mathbb R nbsp sodass die Abbildung x x 0 x g s d s displaystyle x mapsto int x 0 x g s rm d s nbsp fur alle x V displaystyle x in V nbsp Werte in F U displaystyle Phi U nbsp hat Das heisst die Restriktionen f U displaystyle f U nbsp und g V displaystyle g V nbsp erfullen die Bedingungen des oben formulierten Satzes Beispiel BearbeitenGesucht sei die Losung y displaystyle y nbsp des Anfangswertproblems y x y 2 x y 0 1 displaystyle y xy 2 x y 0 1 nbsp Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen y x y 2 1 displaystyle y x y 2 1 nbsp Setze also F y 1 y 1 1 s 2 d s arctan y arctan 1 arctan y p 4 displaystyle Phi y int 1 y frac 1 1 s 2 rm d s arctan y arctan 1 arctan y frac pi 4 nbsp Die Umkehrfunktion lautet F 1 y tan y p 4 displaystyle Phi 1 y tan left y frac pi 4 right nbsp Also ist die Losung des Anfangswertproblems gegeben durch y x tan 0 x s d s p 4 tan x 2 2 p 4 displaystyle y x tan left int 0 x s rm d s frac pi 4 right tan left frac x 2 2 frac pi 4 right nbsp Differentiale als anschauliche Rechenhilfe BearbeitenAnschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veranderlichen dass das folgende Vorgehen erlaubt ist d h zu richtigen Ergebnissen fuhrt obwohl die Differentiale d x displaystyle mathrm d x nbsp und d y displaystyle mathrm d y nbsp eigentlich nur Symbole sind mit denen man streng genommen nicht rechnen kann Schreibe die Ableitung konsequent als d y d x displaystyle tfrac mathrm d y mathrm d x nbsp Bringe alle Terme in denen ein x displaystyle x nbsp vorkommt einschliesslich des d x displaystyle mathrm d x nbsp auf die rechte und alle anderen einschliesslich des d y displaystyle mathrm d y nbsp auf die linke Seite unter Anwendung gewohnlicher Bruchrechnung Es sollte dann links im Zahler ein d y displaystyle mathrm d y nbsp und rechts im Zahler ein d x displaystyle mathrm d x nbsp stehen Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere Lose die Gleichung gegebenenfalls nach y displaystyle y nbsp auf Ermittle die Integrationskonstante C displaystyle C nbsp mithilfe der Anfangsbedingung Die Rechnung fur das obige Beispiel wurde dann auf folgende Weise ablaufen d y d x x y 2 x d y 1 y 2 x d x arctan y x 2 2 C y tan x 2 2 C displaystyle frac mathrm d y mathrm d x xy 2 x Longrightarrow int frac mathrm d y 1 y 2 int x mathrm d x Longrightarrow arctan y frac x 2 2 C Longrightarrow y tan left frac x 2 2 C right nbsp mit 1 y 0 tan C displaystyle 1 y 0 tan C nbsp also C arctan 1 p 4 displaystyle C arctan 1 frac pi 4 nbsp Computerprogramm BearbeitenDie CAS Software Xcas kann Trennung der Veranderlichen mit diesem Befehl 5 machen split x 1 y 2 x y x 1 y 2 Literatur BearbeitenWolfgang Walter Gewohnliche Differentialgleichungen 4 uberarbeitete Auflage Springer 1990 ISBN 3 540 52017 1 S 13 20 Kurt Endl Wolfgang Luh Analysis I 9 Auflage Aula Verlag Wiesbaden 1989 ISBN 3 89104 498 4 S 316 333 Harro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Einfuhrung in Lehre und Gebrauch 6 aktualisierte Auflage Vieweg Teubner 2009 ISBN 978 3 8348 0705 2 S 102 122Weblinks BearbeitenJochen Merker Differentialgleichungen PDF 602 kB Skript Sommersemester 2011 Uni Rostock insbesondere S 12 14 Eric W Weisstein Separation of Variables In MathWorld englisch Separation of Variables Paul s Online Math Notes Lamar University Ron Larson Separation of Variables PDF 200 kB freies Buchkapitel aus Calculus Applied approach Einzelnachweise Bearbeiten How do you solve this differential equation using the separation of variables dy dx y 2 x Abgerufen am 27 Januar 2022 englisch a b Trennung der Variablen Erklarung und Beispiel Abgerufen am 18 September 2021 How do you solve this differential equation using the separation of variables dy dx y 2 x Abgerufen am 27 Januar 2022 englisch Harro Heuser Gewohnliche Differentialgleichungen Einfuhrung in Lehre und Gebrauch 2 Auflage Teubner Stuttgart 1991 ISBN 3 519 12227 8 S 128 Bernard Parisse Symbolic algebra and Mathematics with Xcas Abgerufen am 23 August 2021 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trennung der Veranderlichen amp oldid 230785022