Umkehrregel Die manchmal auch Inversenregel genannt ist eine Regel der Differentialrechnung Sie besagt dass für eine umk

Umkehrregel

Die Umkehrregel (manchmal auch Inversenregel genannt) ist eine Regel der Differentialrechnung. Sie besagt, dass für eine umkehrbare (das heißt bijektive) reelle Funktion ,

die an der Stelle differenzierbar ist und
dort keine waagerechte Tangente besitzt, d. h. für die gilt,

auch ihre Umkehrfunktion an der Stelle differenzierbar ist mit Ableitung

Die Gültigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen: Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten und . Die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind also zueinander symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung . Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehörigen Tangente, also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenüber der Waagrechten. Damit erhält man:

Beweisskizzen Bearbeiten

Die Umkehrregel kann direkt gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient

dahingehend umformt, dass er zu

wird, um anschließend mit zu substituieren. Beim Grenzübergang für und damit auch (man beachte, dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind) folgt:

und somit

Alternativ ergibt unter Nutzung der Kettenregel die Eigenschaft

der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel (mit ):

Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von an der Stelle schon vorausgesetzt, während sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird.

Ganz ähnlich erhält man auch einen Ausdruck für die 2. Ableitung der Umkehrfunktion , indem man die letzte Gleichung erneut nach differenziert unter Anwendung der Produktregel (wieder ist bzw. ):

Beispiele Bearbeiten

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus

Wegen gilt also

Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. So gilt z. B. für die Ableitung des Arkussinus für wegen

Stellt man den trigonometrischen Pythagoras nach dem Kosinus um, erhält man

Wegen folgt daraus:

Analoges gilt für die Ableitungen des Arkuskosinus und des Arkustangens.

Alternative Formulierungen und Verallgemeinerungen Bearbeiten

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von , so genügt bereits die Voraussetzung , da daraus direkt auf einem kleinen Bereich um und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von auf diesem kleinen Bereich folgt (man betrachte dazu die Monotonie von !). Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der inversen Abbildung, aus.

Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen Naturwissenschaften Bearbeiten

In der Physik und anderen Naturwissenschaften wird manchmal die leibnizsche Schreibweise mit Differentialen benutzt. Die Umkehrregel nimmt dann die folgende Gestalt an:

Literatur Bearbeiten

Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. durchgesehene Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-40371-X, (Springer-Lehrbuch).

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Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 01:09 am

Die Umkehrregel manchmal auch Inversenregel genannt ist eine Regel der Differentialrechnung Sie besagt dass fur eine umkehrbare das heisst bijektive reelle Funktion f displaystyle f die an der Stelle x displaystyle x differenzierbar ist und dort keine waagerechte Tangente besitzt d h fur die f x 0 displaystyle f x neq 0 gilt tan a tan 90 b 1 tan b displaystyle tan alpha tan 90 circ beta frac 1 tan beta f x 1 f 1 f x displaystyle color Periwinkle f x frac 1 color Salmon f 1 color Blue f x f x 0 1 4 displaystyle color Periwinkle f x 0 frac 1 4 f 1 f x 0 4 displaystyle color Salmon f 1 color Blue f x 0 4 auch ihre Umkehrfunktion f 1 displaystyle f 1 an der Stelle y f x displaystyle y f x differenzierbar ist mit Ableitung f 1 y 1 f f 1 y 1 f x displaystyle f 1 y frac 1 f f 1 y frac 1 f x Die Gultigkeit dieser Gleichung kann man sich gut an einer Skizze verdeutlichen Die Bildung der Umkehrfunktion entspricht einer Vertauschung der Koordinaten x displaystyle x und y displaystyle y Die Graphen der Funktion f displaystyle f und ihrer Umkehrfunktion f 1 displaystyle f 1 sind also zueinander symmetrisch bezuglich der Winkelhalbierenden des I und III Quadranten mit der Gleichung y x displaystyle y x Die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle entspricht der Steigung der zugehorigen Tangente also gleich dem Tangens des Neigungswinkels gegenuber der Waagrechten Damit erhalt man f x tan a tan 90 b 1 tan b 1 f 1 f x displaystyle f x tan alpha tan 90 circ beta frac 1 tan beta frac 1 f 1 f x Inhaltsverzeichnis 1 Beweisskizzen 2 Beispiele 3 Alternative Formulierungen und Verallgemeinerungen 3 1 Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen Naturwissenschaften 4 LiteraturBeweisskizzen BearbeitenDie Umkehrregel kann direkt gezeigt werden indem man den Differenzenquotient f x f x h f x h displaystyle f x approx frac f x h f x h nbsp dahingehend umformt dass er zu f x 1 f 1 f x h f 1 f x f x h f x displaystyle f x approx frac 1 frac f 1 f x h f 1 f x f x h f x nbsp wird um anschliessend mit t f x h f x displaystyle t f x h f x nbsp zu substituieren Beim Grenzubergang fur h 0 displaystyle h to 0 nbsp und damit auch t 0 displaystyle t to 0 nbsp man beachte dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind folgt f x 1 f 1 f x t f 1 f x t 1 f 1 f x displaystyle f x approx frac 1 frac f 1 f x t f 1 f x t frac 1 f 1 f x nbsp und somit 1 f x f 1 f x displaystyle frac 1 f x approx f 1 f x nbsp Alternativ ergibt unter Nutzung der Kettenregel die Eigenschaft f f 1 y y displaystyle f left f 1 y right y nbsp der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach y displaystyle y nbsp auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel mit f 1 y x displaystyle f 1 y x nbsp f f 1 y f 1 y 1 displaystyle f left f 1 y right cdot left f 1 right y 1 nbsp Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von f 1 displaystyle f 1 nbsp an der Stelle y displaystyle y nbsp schon vorausgesetzt wahrend sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird Ganz ahnlich erhalt man auch einen Ausdruck fur die 2 Ableitung der Umkehrfunktion f 1 y displaystyle left f 1 right y nbsp indem man die letzte Gleichung erneut nach y displaystyle y nbsp differenziert unter Anwendung der Produktregel wieder ist f 1 y x displaystyle f 1 y x nbsp bzw f x y displaystyle f x y nbsp f 1 y f x f x 3 displaystyle left f 1 right y frac f x left f x right 3 nbsp Beispiele BearbeitenDie Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y f x e x displaystyle y f x e x nbsp ist der naturliche Logarithmus f 1 y ln y displaystyle f 1 y ln y nbsp Wegen f x e x displaystyle f x e x nbsp gilt also ln y 1 e ln y 1 y displaystyle ln y frac 1 e ln y frac 1 y nbsp Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen So gilt z B fur die Ableitung des Arkussinus fur 1 lt y lt 1 displaystyle 1 lt y lt 1 nbsp wegen sin cos displaystyle sin cos nbsp arcsin y 1 cos arcsin y displaystyle arcsin y frac 1 cos left arcsin y right nbsp Stellt man den trigonometrischen Pythagoras nach dem Kosinus um erhalt man cos y 1 sin 2 y displaystyle cos y sqrt 1 sin 2 y nbsp Wegen f f 1 y y displaystyle f f 1 y y nbsp folgt daraus arcsin y 1 1 sin 2 arcsin y 1 1 y 2 displaystyle arcsin y frac 1 sqrt 1 sin 2 left arcsin y right frac 1 sqrt 1 y 2 nbsp Analoges gilt fur die Ableitungen des Arkuskosinus und des Arkustangens Alternative Formulierungen und Verallgemeinerungen BearbeitenFordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von f displaystyle f nbsp so genugt bereits die Voraussetzung f x 0 displaystyle f x neq 0 nbsp da daraus direkt f 0 displaystyle f neq 0 nbsp auf einem kleinen Bereich um x displaystyle x nbsp und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von f displaystyle f nbsp auf diesem kleinen Bereich folgt man betrachte dazu die Monotonie von f displaystyle f nbsp Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel dem Satz von der inversen Abbildung aus Abweichende Schreibweisen in der Physik und anderen Naturwissenschaften Bearbeiten In der Physik und anderen Naturwissenschaften wird manchmal die leibnizsche Schreibweise mit Differentialen benutzt Die Umkehrregel nimmt dann die folgende Gestalt an d y d x 1 d x d y displaystyle frac mathrm d y mathrm d x frac 1 frac mathrm d x mathrm d y nbsp Literatur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 6 durchgesehene Auflage Springer Berlin u a 2004 ISBN 3 540 40371 X Springer Lehrbuch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Umkehrregel amp oldid 224241076