Trigonometrischer Pythagoras Als trigonometrischer Pythagoras wird die IdentitätGeometrische Veranschaulichung des trigo

Trigonometrischer Pythagoras

Als „trigonometrischer Pythagoras“ wird die Identität

Geometrische Veranschaulichung des „trigonometrischen Pythagoras“

bezeichnet. Hierbei steht für und für . Die Gültigkeit dieser Identität kann am Einheitskreis gezeigt werden, mit Hilfe des Satzes von Pythagoras, der auch namensgebend für diesen häufig benutzten Satz der Trigonometrie ist.

Geometrische Herleitung Bearbeiten

Als Grundlage dient der Satz des Pythagoras. Er besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse und den Katheten und

gilt. Wird der Winkel im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewählt, dass seine Gegenkathete und seine Ankathete ist, so gilt allgemein

Einsetzen beider Gleichungen in den Satz des Pythagoras ergibt dann

Geometrische Veranschaulichung Bearbeiten

In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis, das heißt ein Kreis mit Radius 1, und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlänge 1 im Einheitskreis dargestellt. Der Satz des Pythagoras gilt hier für einen beliebigen Wert des Winkels im Einheitskreis und zeigt sofort die Gültigkeit des „trigonometrischen Pythagoras“.

Analytische Herleitung Bearbeiten

Für stumpfe und überstumpfe Winkel ist die Beweiskraft der Anschauung problematisch, da für solche (mindestens) eine Winkelfunktion negative Werte hat; was sind "negative Seiten" eines rechtwinkligen Dreiecks? Ein analytischer Beweis zeigt, dass der trigonometrische Pythagoras für beliebige reelle und komplexe Argumente der verwendeten Winkelfunktionen gilt.

Mit der imaginären Einheit und der dritten binomischen Formel lässt sich faktorisieren:

da der Cosinus eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion ist, folgt mit der Eulerschen Formel weiter:

q.e.d.

Einzelnachweise Bearbeiten

Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Springer, ISBN 978-3-8348-1749-5, S. 251 (google.com).
Hans Kreul, Harald Ziebarth: Mathematik leicht gemacht. Harri Deutsch Verlag, 2009, ISBN 978-3-8171-1836-6, S. 94 (google.com).

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Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 04:06 am

Als trigonometrischer Pythagoras wird die IdentitatGeometrische Veranschaulichung des trigonometrischen Pythagoras sin 2 a cos 2 a 1 displaystyle sin 2 alpha cos 2 alpha 1 bezeichnet 1 2 Hierbei steht sin 2 a displaystyle sin 2 alpha fur sin a 2 displaystyle sin alpha 2 und cos 2 a displaystyle cos 2 alpha fur cos a 2 displaystyle cos alpha 2 Die Gultigkeit dieser Identitat kann am Einheitskreis gezeigt werden mit Hilfe des Satzes von Pythagoras der auch namensgebend fur diesen haufig benutzten Satz der Trigonometrie ist Inhaltsverzeichnis 1 Geometrische Herleitung 1 1 Geometrische Veranschaulichung 2 Analytische Herleitung 3 EinzelnachweiseGeometrische Herleitung BearbeitenAls Grundlage dient der Satz des Pythagoras Er besagt dass in einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c displaystyle c nbsp und den Katheten a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp a 2 b 2 c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 nbsp gilt Wird der Winkel a displaystyle alpha nbsp im besagten rechtwinkligen Dreieck so gewahlt dass a displaystyle a nbsp seine Gegenkathete und b displaystyle b nbsp seine Ankathete ist so gilt allgemein a sin a c displaystyle a sin alpha cdot c nbsp b cos a c displaystyle b cos alpha cdot c nbsp Einsetzen beider Gleichungen in den Satz des Pythagoras ergibt dann sin 2 a cos 2 a c 2 c 2 displaystyle sin 2 alpha cos 2 alpha cdot c 2 c 2 nbsp sin 2 a cos 2 a 1 displaystyle sin 2 alpha cos 2 alpha 1 nbsp Geometrische Veranschaulichung Bearbeiten In der nebenstehenden Skizze sind der Einheitskreis das heisst ein Kreis mit Radius 1 und ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenusenlange 1 im Einheitskreis dargestellt Der Satz des Pythagoras gilt hier fur einen beliebigen Wert des Winkels a displaystyle alpha nbsp im Einheitskreis und zeigt sofort die Gultigkeit des trigonometrischen Pythagoras Analytische Herleitung BearbeitenFur stumpfe und uberstumpfe Winkel a displaystyle alpha nbsp ist die Beweiskraft der Anschauung problematisch da fur solche mindestens eine Winkelfunktion negative Werte hat was sind negative Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Ein analytischer Beweis zeigt dass der trigonometrische Pythagoras fur beliebige reelle und komplexe Argumente a displaystyle alpha nbsp der verwendeten Winkelfunktionen gilt Mit der imaginaren Einheit und der dritten binomischen Formel lasst sich faktorisieren cos 2 a sin 2 a cos 2 a i 2 sin 2 a cos a i sin a cos a i sin a displaystyle cos 2 alpha sin 2 alpha cos 2 alpha mathrm i 2 cdot sin 2 alpha cos alpha mathrm i cdot sin alpha cdot cos alpha mathrm i cdot sin alpha nbsp da der Cosinus eine gerade Funktion und der Sinus eine ungerade Funktion ist folgt mit der Eulerschen Formel weiter cos a i sin a cos a i sin a cos a i sin a cos a i sin a e i a e i a e 0 1 displaystyle cos alpha mathrm i cdot sin alpha cdot cos alpha mathrm i cdot sin alpha cos alpha mathrm i cdot sin alpha cdot cos alpha mathrm i cdot sin alpha mathrm e mathrm i alpha cdot mathrm e mathrm i alpha mathrm e 0 1 quad nbsp q e d Einzelnachweise Bearbeiten Lothar Papula Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 Springer ISBN 978 3 8348 1749 5 S 251 google com Hans Kreul Harald Ziebarth Mathematik leicht gemacht Harri Deutsch Verlag 2009 ISBN 978 3 8171 1836 6 S 94 google com Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trigonometrischer Pythagoras amp oldid 224393837