Die Hyperbelfunktionen sind die korrespondierenden Funktionen der trigonometrischen Funktionen die auch als Winkel oder Kreisfunktionen bezeichnet werden allerdings nicht am Einheitskreis x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 sondern an der Einheitshyperbel x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 Sinus hyperbolicus rot Kosinus hyperbolicus blau Tangens hyperbolicus grun Kosekans hyperbolicus rot Sekans hyperbolicus blau Kotangens hyperbolicus grun Wie eng diese Funktionen miteinander verwandt sind erschliesst sich noch deutlicher in der komplexen Zahlenebene Sie wird durch die Relation i y 2 y 2 displaystyle mathrm i y 2 y 2 vermittelt So gilt z B cos i x cosh x displaystyle cos mathrm i x cosh x Folgende Funktionen gehoren zu den Hyperbelfunktionen Hyperbelsinus oder lat Sinus hyperbolicus Formelzeichen sinh displaystyle sinh Hyperbelkosinus oder lat Cosinus hyperbolicus cosh displaystyle cosh Hyperbeltangens oder lat Tangens hyperbolicus tanh displaystyle tanh Hyperbelkotangens oder lat Cotangens hyperbolicus coth displaystyle coth Hyperbelsekans oder lat Sekans hyperbolicus sech displaystyle operatorname sech Hyperbelkosekans oder lat Kosekans hyperbolicus csch displaystyle operatorname csch In der deutschen und der hollandischen Sprache werden noch sehr haufig die lateinischen Namen verwendet mit teils eingedeutschter Schreibweise Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind fur alle komplexen Zahlen definiert und auf dem gesamten Gebiet der komplexen Zahlen holomorph Die ubrigen Hyperbelfunktionen haben Pole auf der imaginaren Achse Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Definition uber die Exponentialfunktion 1 2 Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel 2 Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen 3 Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen 3 1 Symmetrie und Periodizitat 3 2 Additionstheoreme 3 3 Zusammenhange 3 4 Ableitung 3 5 Differentialgleichung 4 Bijektivitat der komplexen Hyperbelfunktionen 4 1 sinh 4 2 cosh 5 Historische Notation 6 Alternative Namen 7 Abgeleitete Funktionen 8 Umrechnungstabelle 9 Cauchysche Reihen 10 Umkehrfunktionen 11 Literatur 12 Weblinks 13 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Eine Gerade aus dem Ursprung schneidet die Hyperbel x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp im Punkt cosh A sinh A displaystyle cosh A sinh A nbsp wobei A displaystyle A nbsp die Flache zwischen der Geraden ihrem Spiegelbild an der x displaystyle x nbsp Achse und der Hyperbel ist Definition uber die Exponentialfunktion Bearbeiten Mittels der Exponentialfunktion konnen sinh displaystyle sinh nbsp und cosh displaystyle cosh nbsp wie folgt definiert werden sinh z e z e z 2 displaystyle sinh z frac mathrm e z mathrm e z 2 nbsp cosh z e z e z 2 displaystyle cosh z frac mathrm e z mathrm e z 2 nbsp Daher sind die hyperbolischen Funktionen periodisch mit rein imaginarer Periode Die Potenzreihen von cosh displaystyle cosh nbsp und sinh displaystyle sinh nbsp lauten sinh z z z 3 3 z 5 5 z 7 7 n 0 z 2 n 1 2 n 1 cosh z 1 z 2 2 z 4 4 z 6 6 n 0 z 2 n 2 n displaystyle begin aligned sinh z amp z frac z 3 3 frac z 5 5 frac z 7 7 dots sum n 0 infty frac z 2n 1 2n 1 cosh z amp 1 frac z 2 2 frac z 4 4 frac z 6 6 dots sum n 0 infty frac z 2n 2n end aligned nbsp wobei der Ausdruck n displaystyle n nbsp fur die Fakultat von n displaystyle n nbsp das Produkt der ersten n displaystyle n nbsp naturlichen Zahlen steht Im Gegensatz zu den Potenzreihenentwicklungen von cos displaystyle cos nbsp und sin displaystyle sin nbsp haben alle Terme ein positives Vorzeichen Geometrische Definition mit Hilfe der Hyperbel Bearbeiten Wegen ihrer Verwendung zur Parametrisierung der Einheitshyperbel x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp x cosh t y sinh t displaystyle x cosh t y sinh t nbsp werden sie Hyperbelfunktionen genannt in Analogie zu den Kreisfunktionen Sinus und Kosinus die den Einheitskreis x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp parametrisieren x cos t y sin t displaystyle x cos t y sin t nbsp Die Funktionen stellen eine Verbindung her zwischen der Flache A displaystyle A nbsp die von einer vom Nullpunkt ausgehenden Geraden und ihrem Spiegelbild an der x displaystyle x nbsp Achse sowie der Hyperbel eingeschlossen wird und der Lange verschiedener Strecken Dabei ist sinh A displaystyle sinh A nbsp die positive y displaystyle y nbsp Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Hyperbel und cosh A displaystyle cosh A nbsp die dazugehorige x displaystyle x nbsp Koordinate tanh A displaystyle tanh A nbsp ist die y displaystyle y nbsp Koordinate der Geraden bei x 1 displaystyle x 1 nbsp d h die Steigung der Geraden Berechnet man die Flache durch Integration erhalt man die Darstellung mit Hilfe der Exponentialfunktion Eigenschaften der reellen Hyperbelfunktionen Bearbeiten nbsp Graph der reellen HyperbelfunktionenFur alle reellen Zahlen x displaystyle x nbsp sind auch sinh x displaystyle sinh x nbsp und cosh x displaystyle cosh x nbsp reell Die reelle Funktion sinh displaystyle sinh nbsp ist streng monoton steigend und besitzt in x 0 displaystyle x 0 nbsp ihren einzigen Wendepunkt Die reelle Funktion cosh displaystyle cosh nbsp ist auf dem Intervall 0 displaystyle infty 0 nbsp streng monoton fallend auf dem Intervall 0 displaystyle 0 infty nbsp streng monoton steigend und besitzt bei x 0 displaystyle x 0 nbsp ein globales Minimum Wegen sinh cosh R R displaystyle sinh cosh colon mathbb R mapsto mathbb R nbsp gelten alle Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen die im nachfolgenden Absatz aufgefuhrt sind auch fur die Funktionen die auf die reellen Zahlen eingeschrankt sind Eigenschaften der komplexen Hyperbelfunktionen BearbeitenFur alle komplexen Zahlen z z 1 z 2 displaystyle z z 1 z 2 nbsp gilt Symmetrie und Periodizitat Bearbeiten sinh z sinh z displaystyle sinh z sinh z nbsp d h sinh ist eine ungerade Funktion cosh z cosh z displaystyle cosh z cosh z nbsp d h cosh ist eine gerade Funktion sinh z sinh z 2 p i und cosh z cosh z 2 p i displaystyle sinh z sinh z 2 pi mathrm i quad text und quad cosh z cosh z 2 pi mathrm i nbsp d h es liegt rein imaginare Periodizitat vor mit minimaler Periodenlange 2 p displaystyle 2 pi nbsp Additionstheoreme Bearbeiten sinh z 1 z 2 sinh z 1 cosh z 2 sinh z 2 cosh z 1 displaystyle sinh z 1 pm z 2 sinh z 1 cdot cosh z 2 pm sinh z 2 cdot cosh z 1 nbsp cosh z 1 z 2 cosh z 1 cosh z 2 sinh z 1 sinh z 2 displaystyle cosh z 1 pm z 2 cosh z 1 cdot cosh z 2 pm sinh z 1 cdot sinh z 2 nbsp tanh z 1 z 2 tanh z 1 tanh z 2 1 tanh z 1 tanh z 2 displaystyle tanh z 1 pm z 2 frac tanh z 1 pm tanh z 2 1 pm tanh z 1 tanh z 2 nbsp Zusammenhange Bearbeiten cosh 2 z sinh 2 z 1 displaystyle cosh 2 z sinh 2 z 1 nbsp cosh z sinh z e z displaystyle cosh z sinh z mathrm e z nbsp cosh z sinh z e z displaystyle cosh z sinh z mathrm e z nbsp Ableitung Bearbeiten Die Ableitung des Sinus hyperbolicus lautet d d z sinh z cosh z displaystyle frac mathrm d mathrm d z sinh z cosh z nbsp Die Ableitung des Kosinus hyperbolicus lautet d d z cosh z sinh z displaystyle frac mathrm d mathrm d z cosh z sinh z nbsp Die Ableitung des Tangens hyperbolicus lautet d d z tanh z 1 tanh 2 z 1 cosh 2 z displaystyle frac mathrm d mathrm d z tanh z 1 tanh 2 z frac 1 cosh 2 z nbsp Differentialgleichung Bearbeiten Die Funktionen sinh z displaystyle sinh z nbsp und cosh z displaystyle cosh z nbsp bilden wie e z displaystyle e z nbsp und e z displaystyle e z nbsp eine Losungsbasis Fundamentalsystem der linearen Differentialgleichung d 2 d z 2 f z f z displaystyle frac mathrm d 2 mathrm d z 2 f z f z nbsp Fordert man allgemein fur die beiden Basislosungen f i z displaystyle f i z nbsp dieser Differentialgleichung zweiter Ordnung noch f 1 0 0 displaystyle f 1 0 0 nbsp f 1 0 1 displaystyle f 1 0 1 nbsp und f 2 0 1 displaystyle f 2 0 1 nbsp f 2 0 0 displaystyle f 2 0 0 nbsp so sind sie bereits eindeutig durch sinh displaystyle sinh nbsp und cosh displaystyle cosh nbsp festgelegt Sprich diese Eigenschaft kann ebenfalls als Definition dieser beiden Hyperbelfunktionen herangezogen werden Bijektivitat der komplexen Hyperbelfunktionen Bearbeitensinh Bearbeiten Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert A z C p 2 lt Im z lt p 2 displaystyle A z in mathbb C mid pi 2 lt operatorname Im z lt pi 2 nbsp B z C Re z 0 Im z lt 1 displaystyle B z in mathbb C mid operatorname Re z neq 0 vee operatorname Im z lt 1 nbsp Dann bildet die komplexe Funktion sinh displaystyle sinh nbsp den Streifen A displaystyle A nbsp bijektiv auf B displaystyle B nbsp ab cosh Bearbeiten Es seien folgende Teilmengen der komplexen Zahlen definiert A z C 0 lt Im z lt p displaystyle A z in mathbb C mid 0 lt operatorname Im z lt pi nbsp B z C Im z 0 Re z lt 1 displaystyle B z in mathbb C mid operatorname Im z neq 0 vee operatorname Re z lt 1 nbsp Dann bildet die komplexe Funktion cosh displaystyle cosh nbsp den Streifen A displaystyle A nbsp bijektiv auf B displaystyle B nbsp ab Historische Notation BearbeitenIn deutschsprachiger Literatur wurden zur Unterscheidung von den trigonometrischen Funktionen die Hyperbelfunktionen lange Zeit in Frakturschrift dargestellt mit initialer Grossschreibung und ohne abschliessendes h 1 S i n x sinh x displaystyle mathfrak Sin x widehat sinh x nbsp C o s x cosh x displaystyle mathfrak Cos x widehat cosh x nbsp T a n x T g x tanh x tgh x displaystyle mathfrak Tan x mathfrak Tg x widehat tanh x operatorname tgh x nbsp C o t x C t g x coth x ctgh x displaystyle mathfrak Cot x mathfrak Ctg x widehat coth x operatorname ctgh x nbsp S e c x sech x displaystyle mathfrak Sec x widehat operatorname sech x nbsp C s c x csch x displaystyle mathfrak Csc x widehat operatorname csch x nbsp Alternative Namen BearbeitenFur die Hyperbelfunktionen ist auch der Name hyperbolische Funktionen gebrauchlich Fur sinh displaystyle sinh nbsp sind auch die Namen hsin Hyperbelsinus und Sinus hyperbolicus gebrauchlich Fur cosh displaystyle cosh nbsp sind auch die Namen hcos Hyperbelcosinus und Cosinus hyperbolicus gebrauchlich Der Graph entspricht der Kettenlinie Katenoide Abgeleitete Funktionen BearbeitenTangens hyperbolicus tanh x sinh x cosh x displaystyle tanh x frac sinh x cosh x nbsp Cotangens hyperbolicus coth x 1 tanh x cosh x sinh x displaystyle coth x frac 1 tanh x frac cosh x sinh x nbsp Secans hyperbolicus sech x 1 cosh x displaystyle operatorname sech x frac 1 cosh x nbsp Kosecans hyperbolicus csch x 1 sinh x displaystyle operatorname csch x frac 1 sinh x nbsp Umrechnungstabelle BearbeitenFunktion sinh displaystyle sinh nbsp cosh displaystyle cosh nbsp tanh displaystyle tanh nbsp coth displaystyle coth nbsp sech displaystyle operatorname sech nbsp csch displaystyle operatorname csch nbsp sinh x displaystyle sinh x nbsp sinh x displaystyle sinh x nbsp sgn x cosh 2 x 1 displaystyle operatorname sgn x sqrt cosh 2 x 1 nbsp tanh x 1 tanh 2 x displaystyle frac tanh x sqrt 1 tanh 2 x nbsp sgn x coth 2 x 1 displaystyle frac operatorname sgn x sqrt coth 2 x 1 nbsp sgn x 1 sech 2 x sech x displaystyle operatorname sgn x frac sqrt 1 operatorname sech 2 x operatorname sech x nbsp 1 csch x displaystyle frac 1 operatorname csch x nbsp cosh x displaystyle cosh x nbsp 1 sinh 2 x displaystyle sqrt 1 sinh 2 x nbsp cosh x displaystyle cosh x nbsp 1 1 tanh 2 x displaystyle frac 1 sqrt 1 tanh 2 x nbsp coth x coth 2 x 1 displaystyle frac left coth x right sqrt coth 2 x 1 nbsp 1 sech x displaystyle frac 1 operatorname sech x nbsp 1 csch 2 x csch x displaystyle frac sqrt 1 operatorname csch 2 x left operatorname csch x right nbsp tanh x displaystyle tanh x nbsp sinh x 1 sinh 2 x displaystyle frac sinh x sqrt 1 sinh 2 x nbsp sgn x cosh 2 x 1 cosh x displaystyle operatorname sgn x frac sqrt cosh 2 x 1 cosh x nbsp tanh x displaystyle tanh x nbsp 1 coth x displaystyle frac 1 coth x nbsp sgn x 1 sech 2 x displaystyle operatorname sgn x sqrt 1 operatorname sech 2 x nbsp sgn x 1 csch 2 x displaystyle frac operatorname sgn x sqrt 1 operatorname csch 2 x nbsp coth x displaystyle coth x nbsp 1 sinh 2 x sinh x displaystyle frac sqrt 1 sinh 2 x sinh x nbsp sgn x cosh x cosh 2 x 1 displaystyle operatorname sgn x frac cosh x sqrt cosh 2 x 1 nbsp 1 tanh x displaystyle frac 1 tanh x nbsp coth x displaystyle coth x nbsp sgn x 1 sech 2 x displaystyle frac operatorname sgn x sqrt 1 operatorname sech 2 x nbsp sgn x 1 csch 2 x displaystyle operatorname sgn x sqrt 1 operatorname csch 2 x nbsp sech x displaystyle operatorname sech x nbsp 1 1 sinh 2 x displaystyle frac 1 sqrt 1 sinh 2 x nbsp 1 cosh x displaystyle frac 1 cosh x nbsp 1 tanh 2 x displaystyle sqrt 1 tanh 2 x nbsp coth 2 x 1 coth x displaystyle frac sqrt coth 2 x 1 left coth x right nbsp sech x displaystyle operatorname sech x nbsp csch x 1 csch 2 x displaystyle frac left operatorname csch x right sqrt 1 operatorname csch 2 x nbsp csch x displaystyle operatorname csch x nbsp 1 sinh x displaystyle frac 1 sinh x nbsp sgn x cosh 2 x 1 displaystyle frac operatorname sgn x sqrt cosh 2 x 1 nbsp 1 tanh 2 x tanh x displaystyle frac sqrt 1 tanh 2 x tanh x nbsp sgn x coth 2 x 1 displaystyle operatorname sgn x sqrt coth 2 x 1 nbsp sgn x sech x 1 sech 2 x displaystyle operatorname sgn x frac operatorname sech x sqrt 1 operatorname sech 2 x nbsp csch x displaystyle operatorname csch x nbsp Cauchysche Reihen BearbeitenAnalog zum Eulerschen Beweis des Basler Problems konnen unendliche Produktreihen fur den Sinus Hyperbolicus und den Cosinus Hyperbolicus aufgestellt werden 1 x sinh x n 1 1 x 2 n 2 p 2 displaystyle frac 1 x sinh x prod n 1 infty biggl 1 frac x 2 n 2 pi 2 biggr nbsp cosh x n 1 1 4 x 2 2 n 1 2 p 2 displaystyle cosh x prod n 1 infty biggl 1 frac 4x 2 2n 1 2 pi 2 biggr nbsp Die erste gezeigte Funktion stellt die nicht normierte Variante des Hyperbolischen Kardinalsinus dar Die Summen der diskreten Cauchy Verteilung ergeben die Hyperbelfunktionen tanh x n 1 8 x 2 n 1 2 p 2 4 x 2 displaystyle tanh x sum n 1 infty frac 8x 2n 1 2 pi 2 4x 2 nbsp L x coth x 1 x n 1 2 x n 2 p 2 x 2 displaystyle L x coth x frac 1 x sum n 1 infty frac 2x n 2 pi 2 x 2 nbsp sech x n 1 1 n 1 8 n 4 p 2 n 1 2 p 2 4 x 2 displaystyle operatorname sech x sum n 1 infty frac 1 n 1 8n 4 pi 2n 1 2 pi 2 4x 2 nbsp 1 x csch x n 1 1 n 1 2 x n 2 p 2 x 2 displaystyle frac 1 x operatorname csch x sum n 1 infty frac 1 n 1 2x n 2 pi 2 x 2 nbsp Alle sechs nun gezeigten Reihen sind fur alle reellen Werte x displaystyle x nbsp konvergent Der Buchstabe L steht fur die Langevin Funktion welche in der Elektrodynamik bei der Beschreibung des Paramagnetismus und in der statistischen Thermodynamik bei der Beschreibung der Warmeenergie eine essentielle Rolle spielt und einen Spezialfall der Brillouin Funktionen bildet Und generell gilt fur alle reellen Zahlen a b und c mit dem Kriterium 4 a c b 2 gt 0 displaystyle 4ac b 2 gt 0 nbsp folgende Formel n 1 a n 2 b n c 2 p sinh 1 a 4 a c b 2 p 4 a c b 2 cosh 1 a 4 a c b 2 p cos b a p displaystyle sum n infty infty frac 1 a n 2 b n c frac 2 pi sinh bigl tfrac 1 a sqrt 4ac b 2 pi bigr sqrt 4ac b 2 bigl cosh bigl tfrac 1 a sqrt 4ac b 2 pi bigr cos bigl tfrac b a pi bigr bigr nbsp Umkehrfunktionen BearbeitenDie Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heissen Area Funktionen Siehe auch Zusammenhang mit den KreisfunktionenLiteratur BearbeitenIlja N Bronstein Taschenbuch der Mathematik Deutsch Harri Nickos Papadatos The characteristic function of the discrete Cauchy distribution Department of Mathematics National and Kapodistrian University of Athens Panepistemiopolis 157 84 Athens Greece 2022Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Hyperbolic functions Sammlung von Bildern Videos und AudiodateienEinzelnachweise Bearbeiten Stefan Hildebrandt Analysis Springer 2002 ISBN 978 3 540 42838 1 S 243 doi 10 1007 978 3 662 05694 3 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperbelfunktion amp oldid 238935060
