Die Cardanischen Formeln oder auch Cardanoschen Formeln sind Formeln zur Losung kubischer Gleichungen Gleichungen 3 Grades Damit werden alle Nullstellen eines gegebenen kubischen Polynoms berechnet Die Formeln wurden zusammen mit Losungsformeln fur quartische Gleichungen Gleichungen 4 Grades erstmals 1545 von dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano in seinem Buch Ars magna veroffentlicht Entdeckt wurde die Losungsformel fur die reduzierten kubischen Gleichungen von Nicolo Tartaglia laut Cardano sogar noch fruher durch Scipione del Ferro Von Cardano selbst stammt die Methode zur Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades auf den Spezialfall dass der Koeffizient fur x 2 displaystyle x 2 Null ist Die cardanischen Formeln waren eine wichtige Motivation fur die Einfuhrung der komplexen Zahlen da man im Fall des casus irreducibilis lat fur nicht zuruckfuhrbarer Fall durch das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl zu reellen Losungen gelangt Diesen Fall zu losen schaffte erst Franciscus Vieta um 1600 mittels der Trigonometrie Die cardanischen Formeln besitzen heute fur eine rein numerische d h angenaherte Losung kubischer Gleichungen kaum noch eine praktische Bedeutung da sich die Losungen naherungsweise bequemer durch das Newton Verfahren mittels elektronischer Rechner bestimmen lassen Sie sind jedoch fur eine exakte algebraische Auflosung in Form von Radikalen von erheblicher Bedeutung Der Nachweis namlich dass es keine entsprechenden Formeln fur Gleichungen funften und hoheren Grades gibt hat die Entwicklung der Algebra entscheidend beeinflusst siehe Galoistheorie Inhaltsverzeichnis 1 Reduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades 2 Die cardanische Formel 2 1 D p 0 2 2 D 0 und p 0 2 3 D lt 0 2 4 D gt 0 casus irreducibilis 2 5 Herleitung der Diskriminante uber die Differenzialrechnung 3 Koeffizientenringe 3 1 Charakteristik 2 und 3 3 2 Andere insbesondere komplexe Koeffizienten 3 3 Anmerkung zum Begriff irreduzibel 4 Quartische Gleichungen 4 1 Faktorisation von quartischen Polynomen 4 2 Beweis der kubischen Resolvente 4 3 Beispielgleichung 5 Quintische Gleichungen 5 1 Quintisches Analogon zur Cardanoschen Formel 5 2 Quintisches Rechenbeispiel 6 Anmerkungen 7 Literatur 8 WeblinksReduzierung der allgemeinen Gleichung dritten Grades BearbeitenDie allgemeine Gleichung dritten Grades A x 3 B x 2 C x D 0 displaystyle Ax 3 Bx 2 Cx D 0 nbsp mit reellen oder komplexen Zahlen A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp C displaystyle C nbsp D displaystyle D nbsp und A 0 displaystyle A neq 0 nbsp kann durch Division durch A displaystyle A nbsp zunachst in die Normalform x 3 a x 2 b x c 0 displaystyle x 3 ax 2 bx c 0 nbsp gebracht werden mit a B A displaystyle a tfrac B A nbsp b C A displaystyle b tfrac C A nbsp und c D A displaystyle c tfrac D A nbsp Mit Hilfe der Substitution x z a 3 displaystyle x z tfrac a 3 nbsp wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt und man erhalt die reduzierte Form z 3 p z q 0 displaystyle z 3 pz q 0 nbsp mit p b a 2 3 9 A C 3 B 2 9 A 2 displaystyle p b frac a 2 3 frac 9AC 3B 2 9A 2 nbsp und q 2 a 3 27 a b 3 c 9 A B C 27 A 2 D 2 B 3 27 A 3 displaystyle q frac 2a 3 27 frac ab 3 c frac 9ABC 27A 2 D 2B 3 27A 3 nbsp Die cardanische Formel BearbeitenDie reduzierte Form wird mit Hilfe der cardanischen Formel aufgelost und anschliessend werden durch die Rucksubstitution x z B 3 A displaystyle x z tfrac B 3A nbsp die Losungen der ursprunglichen Gleichung bestimmt Dabei werden in der reduzierten Form die Koeffizienten p q displaystyle p q nbsp und in der allgemeinen Form die Koeffizienten A B C D displaystyle A B C D nbsp als reell und komplex angenommen Im Unterschied zur quadratischen Losungsformel kommen bei der kubischen Gleichung auch dann wenn alle drei Losungen reell sind nicht reelle komplexe Zahlen ins Spiel Mit z u v displaystyle z u v nbsp hat man z 3 u v 3 u 3 3 u v u v v 3 3 u v z u 3 v 3 displaystyle z 3 left u v right 3 u 3 3uv left u v right v 3 3uvz u 3 v 3 nbsp und lost nach den Setzungen 3 u v p displaystyle 3uv p nbsp und u 3 v 3 q displaystyle u 3 v 3 q nbsp genau die reduzierte Form z 3 p z q 0 displaystyle z 3 pz q 0 nbsp Es ergeben sich also fur die Unbekannten u 3 displaystyle u 3 nbsp und v 3 displaystyle v 3 nbsp die Gleichungen u 3 v 3 q displaystyle u 3 v 3 q nbsp und u 3 v 3 p 3 3 p 3 27 displaystyle u 3 cdot v 3 left tfrac p 3 right 3 tfrac p 3 27 nbsp Nach dem Satz von Vieta sind t 1 u 3 displaystyle t 1 u 3 nbsp und t 2 v 3 displaystyle t 2 v 3 nbsp die zwei Losungen der quadratischen Gleichung t 2 q t p 3 27 0 displaystyle t 2 qt tfrac p 3 27 0 nbsp die die Lagrange Resolvente der kubischen Gleichung genannt wird Die quadratische Losungsformel ergibt t 1 2 q 2 D 2 displaystyle t 1 2 frac q 2 pm sqrt Delta 2 nbsp mit D 2 q 2 4 p 3 27 displaystyle Delta 2 frac q 2 4 frac p 3 27 nbsp als der Diskriminante der quadratischen Resolvente Als Losungen der kubischen Gleichung kommen in Frage z 1 2 3 u 1 2 3 v 1 2 3 displaystyle z 1 2 3 u 1 2 3 v 1 2 3 nbsp mit u 1 2 3 e 1 2 3 t 1 3 displaystyle u 1 2 3 varepsilon 1 2 3 cdot sqrt 3 t 1 nbsp und v 1 2 3 e 1 3 2 t 2 3 displaystyle v 1 2 3 varepsilon 1 3 2 cdot sqrt 3 t 2 nbsp mit den dritten Einheitswurzeln e 1 1 displaystyle varepsilon 1 1 nbsp e 2 1 2 1 2 i 3 displaystyle varepsilon 2 tfrac 1 2 tfrac 1 2 mathrm i sqrt 3 nbsp und e 3 e 2 2 1 2 1 2 i 3 e 2 displaystyle varepsilon 3 varepsilon 2 2 tfrac 1 2 tfrac 1 2 mathrm i sqrt 3 overline varepsilon 2 nbsp Die dritten Wurzeln u v u 1 2 3 v 1 2 3 displaystyle u v u 1 2 3 v 1 2 3 nbsp eines Paares t 1 t 2 displaystyle t 1 t 2 nbsp mussen dabei so gewahlt werden dass die Nebenbedingung u v p 3 displaystyle u cdot v tfrac p 3 nbsp erfullt ist 1 so dass es statt maximal neun Paaren u v displaystyle u v nbsp nur deren maximal drei gibt Die drei Losungen sind z 1 u e 1 v e 1 u e 1 p 3 u e 1 z 2 u e 2 v e 3 u e 2 p 3 u e 3 z 3 u e 3 v e 2 u e 3 p 3 u e 2 displaystyle begin aligned z 1 amp u varepsilon 1 v varepsilon 1 u varepsilon 1 tfrac p 3u varepsilon 1 z 2 amp u varepsilon 2 v varepsilon 3 u varepsilon 2 tfrac p 3u varepsilon 3 z 3 amp u varepsilon 3 v varepsilon 2 u varepsilon 3 tfrac p 3u varepsilon 2 end aligned nbsp Die Grosse D D 2 q 2 4 p 3 27 18 A B C D 4 A C 3 27 A 2 D 2 B 2 C 2 4 B 3 D 108 A 4 displaystyle Delta Delta 2 frac q 2 4 frac p 3 27 frac 18ABCD 4AC 3 27A 2 D 2 B 2 C 2 4B 3 D 108 A 4 nbsp ist die Diskriminante der kubischen Gleichung Sie ist ein rationalzahliges Vielfaches des Quadrats z 1 z 2 z 1 z 3 z 2 z 3 2 displaystyle bigl z 1 z 2 z 1 z 3 z 2 z 3 bigr 2 nbsp des Differenzproduktes des Produktes der Differenzen der Losungen und zwar der 108 te Teil Sie kann durch direkte Rechnung 2 oder auch durch Differentialrechnung erhalten werden siehe unten nbsp Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante D und der Anzahl der NullstellenFur die folgende Betrachtung seien die Koeffizienten p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp als reellwertig angenommen Dann hangt das Losungsverhalten entscheidend vom Vorzeichen von D displaystyle Delta nbsp ab D 0 displaystyle Delta 0 nbsp Es gibt hochstens zwei verschiedene Losungen entweder eine dreifache reelle Losung Fall A oder eine doppelte und eine einfache reelle Losung Fall B Das Differenzprodukt ist 0 D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp Es gibt genau eine reelle Losung und zwei nicht reelle Losungen Grafik Fall C Das Differenzprodukt ist rein imaginar Note 1 D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp Es gibt drei verschiedene reelle Losungen Fall D Das Differenzprodukt ist reell und ungleich 0 Das ist der so genannte casus irreducibilis Im Fall D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp ist der Graph streng monoton wachsend mit steigender Wendetangente nicht in der Grafik dargestellt oder er hat einen Wendepunkt der hinreichend weit von der x displaystyle x nbsp Achse entfernt ist was auch mit fallender Wendetangente geschehen kann Grafik Fall C D p 0 Bearbeiten Dann ist auch q 0 displaystyle q 0 nbsp In diesem Fall ist z 0 displaystyle z 0 nbsp die einzige dreifache Losung mit dem Endergebnis x 1 2 3 B 3 A displaystyle x 1 2 3 frac B 3A nbsp D 0 und p 0 Bearbeiten Dann ist auch q 0 displaystyle q neq 0 nbsp In diesem Fall wahlt man u v displaystyle u v nbsp reell Nach den obigen Formeln gibt es dann eine einfache reelle Losung z 1 2 u 4 q 3 q 3 q 2 4 3 q 3 p 3 27 3 3 q p displaystyle z 1 2u sqrt 3 4q sqrt 3 frac q 3 frac q 2 4 sqrt 3 frac q 3 frac p 3 27 frac 3q p nbsp und eine doppelte reelle Losung z 2 3 u e 2 u e 3 u q 2 3 3 q 2 p displaystyle z 2 3 u varepsilon 2 u varepsilon 3 u sqrt 3 frac q 2 frac 3q 2p nbsp Somit erhalt man die Losungen x 1 B 3 A 3 q p B 3 4 A B C 9 A 2 D 3 A 2 C A B 2 x 2 3 B 3 A 3 q 2 p B C 9 A D 6 A C 2 B 2 displaystyle begin array lllll x 1 amp displaystyle frac B 3A frac 3q p amp displaystyle frac B 3 4ABC 9A 2 D 3A 2 C AB 2 x 2 3 amp displaystyle frac B 3A frac 3q 2p amp displaystyle frac BC 9AD 6AC 2B 2 end array nbsp D lt 0 Bearbeiten Die Quadratwurzeln D q 2 4 p 3 27 displaystyle pm sqrt Delta pm sqrt tfrac q 2 4 tfrac p 3 27 nbsp sind reell und man wahlt fur u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp jeweils die reellen dritten Wurzeln t 1 3 displaystyle sqrt 3 t 1 nbsp bzw t 2 3 displaystyle sqrt 3 t 2 nbsp Es gibt genau eine reelle und zwei konjugiert komplexe Losungen die nach den obigen Formeln durch z 1 u v z 2 3 u v 2 u v 2 i 3 displaystyle begin array ll z 1 amp u v z 2 3 amp displaystyle frac u v 2 pm displaystyle frac u v 2 mathrm i sqrt 3 end array nbsp gegeben sind Somit erhalt man die Losungen x 1 B 3 A u v x 2 3 B 3 A u v 2 u v 2 i 3 displaystyle begin array ll x 1 amp displaystyle frac B 3A u v x 2 3 amp displaystyle frac B 3A displaystyle frac u v 2 pm displaystyle frac u v 2 mathrm i sqrt 3 end array nbsp Allerdings ist das Ausziehen der Kubikwurzeln nicht immer so einfach Cardano fuhrt als Beispiel an z 3 6 z 20 z 2 z 2 2 z 10 0 displaystyle z 3 6z 20 z 2 z 2 2z 10 0 nbsp Hier ist D 20 2 2 6 3 3 108 displaystyle Delta 20 2 2 6 3 3 108 nbsp und wir wahlen u 10 108 3 1 3 displaystyle textstyle u sqrt 3 10 sqrt 108 1 sqrt 3 nbsp und v 10 108 3 1 3 displaystyle textstyle v sqrt 3 10 sqrt 108 1 sqrt 3 nbsp reell Somit ergibt sich z 1 2 displaystyle z 1 2 nbsp und z 2 3 1 3 i displaystyle z 2 3 1 pm 3 mathrm i nbsp Fur die Techniken zum Ausziehen von verschachtelten Wurzeln sei auf die Fachliteratur verwiesen D gt 0 casus irreducibilis Bearbeiten Die Quadratwurzeln D displaystyle pm sqrt Delta nbsp sind rein imaginar und die Losungen t 1 2 displaystyle t 1 2 nbsp der quadratischen Resolvente konjugiert komplex Dementsprechend konnen ja mussen auch u i e i t 1 3 displaystyle u i varepsilon i cdot sqrt 3 t 1 nbsp und v j e j t 2 3 displaystyle v j varepsilon j cdot sqrt 3 t 2 nbsp konjugiert komplex zueinander gewahlt werden was mit v i p 3 u i displaystyle v i tfrac p 3u i nbsp automatisch herauskommt so dass sich mit z i u i v i u i u i 2 Re u i displaystyle z i u i v i u i overline u i 2 operatorname Re u i nbsp drei unterschiedliche reelle Losungen ergeben Bei der Bestimmung von u displaystyle u nbsp oder v displaystyle v nbsp kommen jedoch dritte Wurzeln aus nicht reellen Zahlen vor wofur es zur Zeit von Cardano keine Losung gab und weshalb dieser Fall casus irreducibilis genannt wurde Mithilfe der trigonometrischen Funktionen konnen die Losungen jedoch auch reell berechnet werden Nach einem Additionstheorem das sich leicht mit dem Satz von de Moivre herleiten lasst gilt fur alle a displaystyle alpha nbsp die Beziehung cos 3 a cos 3 a 3 cos a 4 1 displaystyle cos 3 alpha frac cos 3 alpha 3 cos alpha 4 qquad qquad 1 nbsp Schreibt man 0 z 3 p z q displaystyle 0 z 3 p cdot z q nbsp mit Hilfe des Ansatzes z r cos a displaystyle z r cdot cos alpha nbsp um ergibt sich 0 r 3 cos 3 a p r cos a q displaystyle 0 r 3 cdot cos 3 alpha p cdot r cdot cos alpha q nbsp Setzt man hierin 1 displaystyle 1 nbsp ein dann entsteht 0 r 3 cos 3 a 3 cos a 4 p r cos a q r 3 4 cos 3 a 3 4 r 2 p r cos a q 2 4 27 p 3 cos 3 a q displaystyle begin aligned 0 amp r 3 cdot frac cos 3 alpha 3 cos alpha 4 p cdot r cdot cos alpha q amp frac r 3 4 cos 3 alpha left frac 3 4 r 2 p right cdot r cdot cos alpha q qquad quad 2 amp sqrt frac 4 27 p 3 cdot cos 3 alpha q end aligned nbsp Dabei wurde r 4 3 p displaystyle textstyle r sqrt frac 4 3 p nbsp gewahlt so dass der Klammerausdruck in 2 verschwindet Es ergibt sich cos 3 a q 2 27 p 3 a 1 3 arccos q 2 27 p 3 2 3 k p 1 3 ϕ 2 3 k p displaystyle cos 3 alpha frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 quad iff quad alpha pm frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right frac 2 3 k pi pm frac 1 3 phi frac 2 3 k pi nbsp wobei ϕ arccos q 2 27 p 3 displaystyle phi arccos Bigl tfrac q 2 cdot textstyle sqrt tfrac 27 p 3 Bigr nbsp und k displaystyle k nbsp eine beliebige ganze Zahl ist Die Losungen haben die Form z i r cos a i displaystyle z i r cdot cos alpha i nbsp Wegen cos 1 3 ϕ 2 3 k p cos 1 3 ϕ 2 3 k p displaystyle cos tfrac 1 3 phi tfrac 2 3 k pi cos tfrac 1 3 phi tfrac 2 3 k pi nbsp kann bei Durchlaufen aller ganzzahligen k displaystyle k nbsp das Doppelvorzeichen ohne Verkleinerung der Losungsmenge weggelassen werden Wegen cos ϕ 3 2 k 3 p 3 cos ϕ 3 2 k p 3 2 p cos ϕ 3 2 k p 3 displaystyle cos tfrac phi 3 tfrac 2 k 3 pi 3 cos tfrac phi 3 tfrac 2k pi 3 2 pi cos tfrac phi 3 tfrac 2k pi 3 nbsp sind die z i displaystyle z i nbsp fur hochstens drei aufeinander folgende k displaystyle k nbsp verschieden Da bei D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp drei verschiedene Losungen existieren sind die z i displaystyle z i nbsp fur mindestens drei solche k displaystyle k nbsp verschieden k 1 0 1 displaystyle k 1 0 1 nbsp liefert mit den Vereinfachungen cos a 2 p 3 cos 2 p 3 a cos p 2 p 3 a cos a p 3 displaystyle cos big alpha tfrac 2 pi 3 big cos big tfrac 2 pi 3 alpha big cos big pi big tfrac 2 pi 3 alpha big big cos big alpha tfrac pi 3 big nbsp und cos a 2 p 3 cos p 2 p 3 a cos p 3 a cos a p 3 displaystyle cos big alpha tfrac 2 pi 3 big cos big pi big tfrac 2 pi 3 alpha big big cos big tfrac pi 3 alpha big cos big alpha tfrac pi 3 big nbsp die folgenden drei Losungen z 2 4 3 p cos 1 3 arccos q 2 27 p 3 p 3 z 1 4 3 p cos 1 3 arccos q 2 27 p 3 z 3 4 3 p cos 1 3 arccos q 2 27 p 3 p 3 displaystyle begin aligned z 2 amp sqrt frac 4 3 p cdot cos left frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right frac pi 3 right 7em z 1 amp quad sqrt frac 4 3 p cdot cos left frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right right 7em z 3 amp sqrt frac 4 3 p cdot cos left frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right frac pi 3 right end aligned nbsp Die Gleichung A x 3 B x 2 C x D 0 displaystyle Ax 3 Bx 2 Cx D 0 nbsp hat also die folgenden drei Losungen x 2 B 3 A 4 3 p cos 1 3 arccos q 2 27 p 3 p 3 x 1 B 3 A 4 3 p cos 1 3 arccos q 2 27 p 3 x 3 B 3 A 4 3 p cos 1 3 arccos q 2 27 p 3 p 3 displaystyle begin aligned x 2 amp frac B 3A sqrt frac 4 3 p cdot cos left frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right frac pi 3 right 7em x 1 amp frac B 3A sqrt frac 4 3 p cdot cos left frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right right 7em x 3 amp frac B 3A sqrt frac 4 3 p cdot cos left frac 1 3 arccos left frac q 2 cdot sqrt frac 27 p 3 right frac pi 3 right end aligned nbsp Beispiel aus der TrigonometrieIm regularen Vierzehneck entspricht das Verhaltnis der Seite s displaystyle s nbsp zum Umkreisradius r displaystyle r nbsp dem Wert x 2 sin p 14 displaystyle x 2 sin tfrac pi 14 nbsp der die folgende kubische Gleichung erfullt x 3 x 2 2 x 1 0 displaystyle x 3 x 2 2x 1 0 nbsp Durch kubische Erganzung entsteht 3 x 1 3 21 3 x 1 7 0 displaystyle 3x 1 3 21 3x 1 7 0 nbsp Mit der Cardanoschen Formel ergibt sich im Casus irreduzibilis das folgende reelle Losungstriplett x 1 2 sin 1 14 p 1 3 2 3 7 sin 1 3 arcsin 1 14 7 0 445 041868 displaystyle x 1 2 sin tfrac 1 14 pi tfrac 1 3 tfrac 2 3 sqrt 7 sin tfrac 1 3 arcsin tfrac 1 14 sqrt 7 approx 0 445041868 nbsp x 2 2 sin 3 14 p 1 3 2 3 7 cos 1 3 arccos 1 14 7 1 246 979604 displaystyle x 2 2 sin tfrac 3 14 pi tfrac 1 3 tfrac 2 3 sqrt 7 cos tfrac 1 3 arccos tfrac 1 14 sqrt 7 approx 1 246979604 nbsp x 3 2 cos 1 7 p 1 3 2 3 7 cos 1 3 arccos 1 14 7 1 801 937736 displaystyle x 3 2 cos tfrac 1 7 pi tfrac 1 3 tfrac 2 3 sqrt 7 cos tfrac 1 3 arccos tfrac 1 14 sqrt 7 approx 1 801937736 nbsp mit x 1 displaystyle x 1 nbsp als dem s r displaystyle s r nbsp Verhaltnis im regularen Vierzehneck Herleitung der Diskriminante uber die Differenzialrechnung Bearbeiten nbsp Zusammenhang zwischen Vorzeichen der Diskriminante D und der Anzahl der NullstellenDie Diskriminante kann uber die Differenzialrechnung hergeleitet werden Wie in der Graphik zu erkennen ist kann die Gleichung nur dann genau eine reelle Losung und zwei nicht reelle Losungen besitzen wenn beide Extremstellen oberhalb oder unterhalb der x displaystyle x nbsp Achse liegen oder keine Extremstellen existieren im Falle dreier verschiedener reeller Losungen befindet sich der Hochpunkt Extremstelle Maximum oberhalb und der Tiefpunkt Extremstelle Minimum unterhalb der x displaystyle x nbsp Achse und im Falle mehrfacher reeller Nullstellen befinden sich Extremstellen auf der x displaystyle x nbsp Achse Diese sind im Falle einer doppelten Nullstelle Hoch bzw Tiefpunkte und im Falle einer dreifachen Nullstelle Sattelpunkte Extremstellen einer Funktion sind dadurch gekennzeichnet dass dort ihre Steigung null ist Die Steigung einer Funktion f displaystyle f nbsp im Punkt P x 1 f x 1 displaystyle P x 1 mid f x 1 nbsp ergibt sich aus der Gleichung f x 1 lim x 1 x 0 f x 1 f x 0 x 1 x 0 lim h 0 f x 0 h f x 0 h displaystyle f x 1 lim x 1 to x 0 frac f x 1 f x 0 x 1 x 0 lim h to 0 frac f x 0 h f x 0 h nbsp mit h x 1 x 0 displaystyle h x 1 x 0 nbsp f displaystyle f nbsp meint die erste Ableitungsfunktion f displaystyle f nbsp bezeichnet die zweite Ableitungsfunktion f 0 displaystyle f 0 nbsp gilt genau dann wenn ein Wendepunkt vorliegt Im Falle f f 0 displaystyle f f 0 nbsp liegt ein Sattelpunkt vor Schreiben wir z 3 p z q 0 displaystyle z 3 pz q 0 nbsp als Funktion f z displaystyle f z nbsp so sieht diese wie folgt aus f z z 3 p z q displaystyle f z z 3 pz q nbsp Deren erste und zweite Ableitung sind f z 3 z 2 p displaystyle f z 3z 2 p nbsp und f z 6 z displaystyle f z 6z nbsp Lost man die beiden Differenzialgleichungen Extremstellen f z E 1 E 2 3 z 2 p 0 displaystyle f z E1 E2 3z 2 p 0 nbsp und Wendepunkte f z W 6 z displaystyle f z W 6z nbsp so erhalt man z E 1 E 2 p 3 displaystyle z E1 E2 pm sqrt left dfrac p 3 right nbsp und z W 0 displaystyle z W 0 nbsp Deren Funktionswerte sind f z E 1 E 2 z E 1 E 2 3 p z E 1 E 2 q p 3 3 p p 3 q p 3 p 3 2 p q p 3 p 3 p q p 3 2 p 3 q displaystyle begin aligned f z E1 E2 amp z E1 E2 3 p cdot z E1 E2 q amp pm sqrt left dfrac p 3 right 3 p cdot pm sqrt left dfrac p 3 right q amp pm sqrt left dfrac p 3 right cdot pm sqrt left dfrac p 3 right 2 p q amp pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac p 3 right p q amp pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q end aligned nbsp und f z W z W 3 p z W q 0 3 p 0 q q displaystyle f z W z W 3 p cdot z W q 0 3 p cdot 0 q q nbsp Die erste Losung lasst sich folgendermassen umformen f z E 1 E 2 z E 1 E 2 3 p z E 1 E 2 q p 3 2 p 3 q displaystyle begin array rcl f z E1 E2 z E1 E2 3 p cdot z E1 E2 q pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q end array nbsp p 3 2 p 3 q 0 p 3 2 p 3 q p 3 2 p 3 q p 3 2 p 3 2 2 2 p 3 3 q 2 1 displaystyle pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q 0 Leftrightarrow pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q Leftrightarrow mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q Leftrightarrow left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right 2 2 2 cdot left dfrac p 3 right 3 q 2 qquad qquad 1 nbsp p 3 2 p 3 q gt 0 p 3 2 p 3 gt q p 3 2 p 3 lt q 2 displaystyle pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q gt 0 Leftrightarrow pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right gt q Leftrightarrow mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q qquad qquad 2 nbsp p 3 2 p 3 q lt 0 p 3 2 p 3 lt q p 3 2 p 3 gt q 3 displaystyle pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right q lt 0 Leftrightarrow pm sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Leftrightarrow mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right gt q qquad qquad 3 nbsp In Fall 2 und 3 darf man nicht problemlos quadrieren da sich nach der Quadrierung das Relationszeichen gemass der Inversionsregel umkehren kann q displaystyle q nbsp wiederum kann positiv oder negativ sein sodass man mit Hilfe von q displaystyle q nbsp Betrag von q vorgehen soll Insgesamt sind vier Teilfalle zu unterscheiden In den Teilfallen a und b ist jeweils die linke Seite positiv in den Teilfallen c und d ist jeweils die linke Seite negativ Zuerst der Fall 2 Linke Seite gt 0 q gt 0 p 3 2 p 3 lt q p 3 2 p 3 lt q p 3 2 p 3 2 2 2 p 3 3 lt q 2 2 a displaystyle mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Leftrightarrow sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Rightarrow left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right 2 2 2 cdot left dfrac p 3 right 3 lt q 2 qquad qquad 2a nbsp Linke Seite gt 0 q 0 p 3 2 p 3 lt q 0 lt p 3 2 p 3 lt q 0 displaystyle mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Leftrightarrow 0 lt sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q leq 0 nbsp ist eine falsche Aussage 2 b displaystyle qquad qquad 2b nbsp Linke Seite 0 q gt 0 p 3 2 p 3 lt q p 3 2 p 3 lt q p 3 2 p 3 gt q displaystyle mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Leftrightarrow sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Leftrightarrow sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right gt q nbsp ist immer wahr 2 c displaystyle qquad qquad 2c nbsp Linke Seite 0 q 0 p 3 2 p 3 lt q p 3 2 p 3 lt q 0 p 3 2 p 3 gt q 0 p 3 2 p 3 2 2 2 p 3 3 gt q 2 2 d displaystyle mp sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q Leftrightarrow sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right lt q leq 0 Leftrightarrow sqrt left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right gt q geq 0 Rightarrow left dfrac p 3 right cdot left dfrac 2p 3 right 2 2 2 cdot left dfrac p 3 right 3 gt q 2 qquad qquad 2d nbsp Der Fall 3 fuhrt zu analogen Ergebnissen nur in veranderter Reihenfolge Aus der Umformulierung der Gleichungen erst Division durch 4 danach bringt man den linken Ausdruck mit p displaystyle p nbsp auf die rechte Seite ergibt sich 2 2 p 3 3 q 2 q 2 2 p 3 3 0 1 displaystyle 2 2 cdot left dfrac p 3 right 3 q 2 Leftrightarrow left dfrac q 2 right 2 left dfrac p 3 right 3 0 qquad qquad 1 nbsp 2 2 p 3 3 gt q 2 q 2 2 p 3 3 lt 0 2 displaystyle 2 2 cdot left dfrac p 3 right 3 gt q 2 Leftrightarrow left dfrac q 2 right 2 left dfrac p 3 right 3 lt 0 qquad qquad 2 nbsp 2 2 p 3 3 lt q 2 q 2 2 p 3 3 gt 0 3 displaystyle 2 2 cdot left dfrac p 3 right 3 lt q 2 Leftrightarrow left dfrac q 2 right 2 left dfrac p 3 right 3 gt 0 qquad qquad 3 nbsp D q 2 4 p 3 27 displaystyle Delta frac q 2 4 frac p 3 27 nbsp Koeffizientenringe BearbeitenCharakteristik 2 und 3 Bearbeiten Hat der Ring R displaystyle R nbsp der Koeffizienten die Charakteristik x R 2 displaystyle chi R 2 nbsp oder x R 3 displaystyle chi R 3 nbsp dann lassen sich die angegebenen Formeln wegen der Divisionen durch x displaystyle chi nbsp nicht anwenden Naheres dazu in Kubische Gleichung Charakteristik 2 und 3 Andere insbesondere komplexe Koeffizienten Bearbeiten Fur andere Charakteristiken und fur komplexes R C displaystyle R mathbb C nbsp gilt im Prinzip die cardanische Formel Es gibt aber bei Nicht Geordnetheit von R displaystyle R nbsp nur zwei Falle D 0 displaystyle Delta 0 nbsp Dies ist auch in diesen Fallen das Kriterium fur mehrfache Nullstellen Die oben fur diesen Fall angegebenen Formeln gelten unverandert D 0 displaystyle Delta neq 0 nbsp Die oben fur den Fall D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp angegebenen Formeln gelten analog und stellen den algebraischen Weg der Auflosung durch Radikale dar wobei die beiden dritten Wurzeln wie im reellen Fall so zu wahlen sind dass ihr Produkt p 3 displaystyle tfrac p 3 nbsp ergibt 1 Der beim Fall D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp dem casus irreducibilis angegebene Weg ist ein numerischer Losungsweg der dem Ausziehen der dritten Wurzeln unter Zuhilfenahme trigonometrischer Funktionen entspricht Anmerkung zum Begriff irreduzibel Bearbeiten Im modernen Sinn irreduzible Falle gibt es bei D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp genauso wie bei D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp z B im uber Q displaystyle mathbb Q nbsp irreduziblen Polynom x 3 x 1 displaystyle x 3 x 1 nbsp Das spricht dafur dass der Begriff irreducibilis im 16 Jahrhundert etwas anders verwendet wurde als heute bspw als nicht auf reelle Wurzeln zuruckfuhrbar Quartische Gleichungen BearbeitenFaktorisation von quartischen Polynomen Bearbeiten Bei quartischen Gleichungen beziehungsweise Gleichungen vierten Grades sind die Losungen immer biquadratisch radikale Ausdrucke aus Losungen von kubischen Gleichungen Der Grund dafur besteht in der Tatsache dass alle Polynome vierten Grades als Differenz des Musters Quadrat eines quadratischen Polynoms minus Quadrat eines linearen Polynoms dargestellt werden konnen Durch das Nullsetzen des quartischen Polynoms kann auf diese Weise der Satz von Vieta verwendet werden Und diese Differenz zweier Quadrate kann dann mit der dritten binomische Formel faktorisiert werden So entstehen zwei Faktoren von jeweils zweitem Grade Diese konnen dann mit der Mitternachtsformel aufgelost werden Fur die Bestimmung der Koeffizienten von diesen beiden Polynomfaktoren ist die Auflosung eines kubischen Gleichungssystems erforderlich Dies wird im nun Folgenden gezeigt Gegeben sei ein quartisches Polynom welches faktorisiert werden soll x 4 A x 3 B x 2 C x D x 2 1 2 A x u 2 v x w 2 displaystyle x 4 Ax 3 Bx 2 Cx D x 2 tfrac 1 2 Ax u 2 vx w 2 nbsp Eine kubische Resolventengleichung fuhrt hierbei zur Ermittlung von u A 2 4 B 8 u u 2 D A u C 2 displaystyle A 2 4B 8u u 2 D Au C 2 nbsp Sukzessiv konnen dann v und w ermittelt werden Nach anschliessender Faktorisation der dritten binomischen Formel fuhrt das Losen von quadratischen Faktoren zur x Losung Beweis der kubischen Resolvente Bearbeiten Durch Eliminierung der unbekannten v und w kann eine kubische Gleichung fur u in Abhangigkeit der gegebenen Koeffizienten A B C und D aufgestellt werden x 4 A x 3 B x 2 C x D x 2 1 2 A x u 2 v x w 2 displaystyle x 4 Ax 3 Bx 2 Cx D x 2 tfrac 1 2 Ax u 2 vx w 2 nbsp Die Bilanz der Koeffizienten des quadratischen Glieds ergibt folgende Gleichung I 4 v 2 A 2 4 B 8 u displaystyle 4v 2 A 2 4B 8u nbsp Die Bilanz der Koeffizienten des linearen Glieds ergibt nachfolgende Gleichung II 2 v w A u C displaystyle 2vw Au C nbsp Und die Bilanz der Koeffizienten des absoluten Glieds ergibt die nun folgende Gleichung III w 2 u 2 D displaystyle w 2 u 2 D nbsp Durch das Gleichsetzungsverfahren mit dem Muster I III II ergibt sich folgende kubische Gleichung A 2 4 B 8 u u 2 D A u C 2 displaystyle A 2 4B 8u u 2 D Au C 2 nbsp Diese Gleichung kann dann nach u aufgelost werden Beispielgleichung Bearbeiten Nach der positiven reellen Losung soll folgende Gleichung aufgelost werden x 4 x 1 0 displaystyle color blue x 4 x 1 0 nbsp Gegeben ist die genannte Form x 4 A x 3 B x 2 C x D x 2 1 2 A x u 2 v x w 2 displaystyle x 4 Ax 3 Bx 2 Cx D x 2 tfrac 1 2 Ax u 2 vx w 2 nbsp Nach dieser Form gelten die Werte A 0 B 0 C 1 displaystyle A 0 B 0 C 1 nbsp und D 1 displaystyle D 1 nbsp Die genannte kubische Resolvente lautet dann fur diese Beispielgleichung so 8 u u 2 1 1 displaystyle 8u u 2 1 1 nbsp Nach der Formel von Gerolamo Cardano lautet die reelle Losung fur u displaystyle u nbsp wie folgt u 1 12 12 3 849 9 3 849 9 3 2 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 displaystyle u tfrac 1 12 sqrt 3 12 bigl sqrt 3 sqrt 849 9 sqrt 3 sqrt 849 9 bigr tfrac 2 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr nbsp 3 Genannt waren ebenso die Gleichungen 4 v 2 A 2 4 B 8 u displaystyle 4v 2 A 2 4B 8u nbsp 2 v w A u C displaystyle 2vw Au C nbsp In dieser Beispielgleichung lauten sie so 4 v 2 8 u displaystyle 4v 2 8u nbsp 2 v w 1 displaystyle 2vw 1 nbsp So entstehen v displaystyle v nbsp und w displaystyle w nbsp v 2 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 displaystyle v tfrac 2 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr nbsp w 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 displaystyle w tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr nbsp Also gilt x 4 x 1 x 2 2 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 2 2 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 x 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 2 displaystyle x 4 x 1 bigl x 2 tfrac 2 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr 2 bigl tfrac 2 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr x tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr 2 nbsp Nach dem Satz von Vieta kann dann so das quadratische Polynom mit den beiden reellen Losungen herauskristallisiert werden x 2 2 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 2 2 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 x 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 2 0 displaystyle bigl x 2 tfrac 2 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr 2 bigl tfrac 2 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr x tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr 2 0 nbsp x 2 2 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 2 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 x 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 0 displaystyle bigl x 2 tfrac 2 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr bigl tfrac 2 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr x tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr 0 nbsp Nach der dritten binomischen Formel gilt a 2 b 2 a b a b displaystyle a 2 b 2 a b a b nbsp Anschliessend wird weiter umgeformt x 2 2 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 x 2 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 0 displaystyle x 2 tfrac 2 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr x tfrac 2 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr 0 nbsp x 1 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 2 1 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 0 displaystyle bigl x tfrac 1 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr bigr 2 tfrac 1 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr 0 nbsp x 1 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 1 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 1 220 7440846 displaystyle color green x tfrac 1 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr sqrt tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr tfrac 1 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr approx 1 2207440846 nbsp Quintische Gleichungen BearbeitenQuintisches Analogon zur Cardanoschen Formel Bearbeiten Nach dem Satz von Abel Ruffini ist das Analogon der Cardanoschen Formel fur quintische Gleichungen nicht elementar darstellbar Jedoch kann bei diesem quintischen Analogon die reelle Losung dann in einem quintisch radikalen Ausdruck dargestellt werden wenn ein elliptischer Schlussel ausgedruckt uber die Thetafunktionen auf der Grundlage der Elliptischen Nomenfunktion q k exp p K k K k displaystyle q k exp pi K k K k nbsp oder uber die Jacobischen Amplitudenfunktionen angewendet wird Die Mathematiker John Stuart Glashan George Paxton Young 4 und Carl Runge 5 fanden den quintisch radikalen Ausdruck fur die Bring Jerrard Form heraus und beschrieben diesen Losungsausdruck in ihrem Werk Der Wert fur den zugehorigen elliptischen Modul 6 beziehungsweise die zugehorige numerische Exzentrizitat in Abhangigkeit vom Koeffizienten des absoluten Gliedes in der Bring Jerrard Form wurde durch Charles Hermite entdeckt und ermittelt Und fur die standardisierte Bring Jerrard Normalform der quintischen Gleichung wird im Folgenden das Analogon zur kubischen Formel nach Cardano aufgestellt x 5 x w displaystyle x 5 x w nbsp x 2 5 y 1 4 10 15 y 10 y 2 4 cosh 1 5 arcosh 5 5 5 y 2 1 2 y 4 6 y 4 y 2 2 5 y 1 4 10 15 y 10 y 2 4 sinh 1 5 arsinh 5 y 5 5 y 2 2 y 4 6 y 4 y 2 displaystyle begin array lll x amp amp frac 2 5 y 1 4 sqrt 4 10 15y 10y 2 cosh biggl frac 1 5 operatorname arcosh biggl frac 5 sqrt 5 5y 2 1 2y sqrt 4 6y 4y 2 biggr biggr amp amp frac 2 5 y 1 4 sqrt 4 10 15y 10y 2 sinh biggl frac 1 5 operatorname arsinh biggl frac 5y sqrt 5 5y 2 2 y sqrt 4 6y 4y 2 biggr biggr end array nbsp Elliptischer Schlussel y 5 ϑ 00 q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 5 2 2 ϑ 00 q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 2 1 2 displaystyle y frac 5 vartheta 00 bigl langle q bigl text ctlh bigl tfrac 1 2 operatorname aclh tfrac 5 4 sqrt 4 5 w bigr 2 bigr 5 bigr rangle 2 2 vartheta 00 bigl langle q bigl text ctlh bigl tfrac 1 2 operatorname aclh tfrac 5 4 sqrt 4 5 w bigr 2 bigr bigr rangle 2 frac 1 2 nbsp Wichtiger Rechenhinweis uber die genannten hyperbolisch lemniskatischen Funktionen ctlh 1 2 aclh s 2 2 s 2 2 2 s 4 1 1 2 s 4 1 1 s displaystyle text ctlh bigl tfrac 1 2 operatorname aclh s bigr 2 biggl 2s 2 2 2 sqrt s 4 1 biggr 1 2 biggl sqrt sqrt s 4 1 1 s biggr nbsp Alternativ wird die genannte quintische Bring Jerrard Gleichung auch ohne elliptischen Schlussel mit einem direkten Ausdruck fur dieselbe reelle Losung so gelost x 5 x w displaystyle x 5 x w nbsp x S q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 2 R q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 2 S q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 2 1 R q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 2 S q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 R q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 2 2 ϑ 00 q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 5 ϑ 00 q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 1 5 2 5 ϑ 00 q ctlh 1 2 aclh 5 4 5 4 w 2 5 3 2 20 4 sl 1 2 2 aclh 5 4 5 4 w ϑ 00 q
