In der Mathematik besagt die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel dass das arithmetische Mittel von n Zahlen mindestens so gross wie das geometrische Mittel ist Fur n 2 displaystyle n 2 war diese Ungleichung bereits Euklid bekannt der erste Beweis fur einen beliebigen Wert von n displaystyle n wurde 1729 von Colin Maclaurin veroffentlicht 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formale Formulierung 2 Geometrische Interpretation 3 Beweise 3 1 Beweis aus der jensenschen Ungleichung 3 2 Beweis von Polya 3 3 Induktive Beweise 3 3 1 Beweis mit Vorwarts Ruckwarts Induktion 3 3 2 Beweis mittels Hilfssatz 3 3 3 Beweis aus der Bernoulli Ungleichung 3 4 Beweis aus der Umordnungs Ungleichung 4 Sonderfalle 4 1 Zahl und ihr Kehrwert 4 2 Durch Permutationen bestimmte Bruche 5 Verallgemeinerungen 5 1 Ungleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel 5 2 Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel 5 3 Ungleichung der verallgemeinerten Mittel 6 Siehe auch 7 Literatur 8 EinzelnachweiseFormale Formulierung BearbeitenDie Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lautet fur nichtnegative Zahlen x 1 x 2 x n displaystyle x 1 x 2 ldots x n nbsp x 1 x 2 x n n x 1 x 2 x n n displaystyle sqrt n x 1 cdot x 2 cdot ldots cdot x n leq frac x 1 x 2 cdots x n n nbsp Die linke Seite der Ungleichung ist das geometrische Mittel und die rechte Seite das arithmetische Mittel Es gilt genau dann Gleichheit wenn x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp gilt Geometrische Interpretation Bearbeiten nbsp Figur 1 Ungleichung a b a b 2 displaystyle sqrt ab leq frac a b 2 nbsp Veranschaulichung im Halbkreis nbsp Figur 2 Ungleichung a b a b 2 displaystyle sqrt ab leq frac a b 2 nbsp Veranschaulichung im Quadrat Ein Rechteck mit den Seiten x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp hat den Gesamtumfang 2 x 1 2 x 2 displaystyle 2x 1 2x 2 nbsp Ein Quadrat mit dem gleichen Flacheninhalt hat den Umfang 4 x 1 x 2 displaystyle 4 sqrt x 1 cdot x 2 nbsp Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp besagt die Ungleichung x 1 x 2 2 x 1 x 2 displaystyle frac x 1 x 2 2 geq sqrt x 1 cdot x 2 nbsp also dass unter allen Rechtecken mit gleichem Inhalt A x 1 x 2 displaystyle A x 1 cdot x 2 nbsp der Umfang mindestens 2 x 1 2 x 2 4 x 1 x 2 4 A displaystyle 2x 1 2x 2 geq 4 sqrt x 1 cdot x 2 4 sqrt A nbsp betragt wobei das Quadrat diesen geringsten Umfang hat Im Falle n 3 displaystyle n 3 nbsp sagt die Ungleichung aus dass unter allen Quadern mit gleichem Volumen der Wurfel die kleinste Kantenlange insgesamt hat Die allgemeine Ungleichung erweitert diese Idee auf n displaystyle n nbsp Dimensionen Tragt man fur n 2 displaystyle n 2 nbsp die Langen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp hintereinander auf einer Geraden ab und errichtet uber den Enden der Strecke mit Lange a b displaystyle a b nbsp einen Halbkreis so entspricht der Radius von jenem dem arithmetischen Mittel Figur 1 Das geometrische Mittel ist dann die Lange des Lotes eines solchen Punktes auf dem Halbkreis auf die Strecke mit Lange a b displaystyle a b nbsp fur den das Lot durch den Ubergangspunkt der Strecken a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp geht Letzterer Zusammenhang folgt aus dem Satz des Thales und dem Hohensatz Eine weitere geometrische Veranschaulichung liefert Figur 2 2 3 Ein Quadrat mit der Seitenlange a b displaystyle a b nbsp lasst sich zerlegen in acht kongruente rechtwinklige Dreiecke mit den Kathetenlangen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp und ein Quadrat mit der Seitenlange a b displaystyle a b nbsp Hieraus ergibt sich a b 2 8 1 2 a b 4 a b a b 2 a b a b 2 a b displaystyle a b 2 geq 8 cdot frac 1 2 ab 4ab Leftrightarrow a b geq 2 sqrt ab Leftrightarrow frac a b 2 geq sqrt ab nbsp nbsp Vergleich von arithmetischem geometrischem und weiteren Mittelwerten zweier positiver reeller Zahlen x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp in dimensionsloser DarstellungBeweise BearbeitenFur den Fall dass ein x i displaystyle x i nbsp gleich Null ist ist das geometrische Mittel Null und die Ungleichung ist offensichtlich erfullt in den folgenden Beweisen kann daher x i gt 0 displaystyle x i gt 0 nbsp angenommen werden Beweis aus der jensenschen Ungleichung Bearbeiten Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lasst sich beispielsweise aus der jensenschen Ungleichung beweisen die Logarithmusfunktion ist konkav daher gilt ln l 1 x 1 l n x n l 1 ln x 1 l n ln x n displaystyle ln lambda 1 x 1 dots lambda n x n geq lambda 1 ln x 1 dots lambda n ln x n nbsp fur positive l i displaystyle lambda i nbsp mit i 1 n l i 1 displaystyle sum i 1 n lambda i 1 nbsp Durch Anwendung der Exponentialfunktion auf beide Seiten folgt l 1 x 1 l n x n i 1 n x i l i displaystyle lambda 1 x 1 dots lambda n x n geq prod i 1 n x i lambda i nbsp Fur l 1 l 2 l n 1 n displaystyle lambda 1 lambda 2 cdots lambda n 1 n nbsp ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Beweis von Polya Bearbeiten Von George Polya stammt ein Beweis der lediglich die Beziehung exp x 1 x displaystyle exp x geq 1 x nbsp der Exponentialfunktion voraussetzt Fur x i x a r i t h m 1 displaystyle x i bar x mathrm arithm 1 nbsp gilt dann exp x i x a r i t h m 1 x i x a r i t h m displaystyle exp left x i bar x mathrm arithm 1 right geq x i bar x mathrm arithm nbsp Multipliziert man diese Ungleichungen fur i 1 n displaystyle i 1 dots n nbsp so erhalt man exp i x i x a r i t h m n i x i x a r i t h m displaystyle exp left sum i x i bar x mathrm arithm n right geq prod i left x i bar x mathrm arithm right nbsp also 1 exp n n x g e o m n x a r i t h m n displaystyle 1 exp left n n right geq bar x mathrm geom n bar x mathrm arithm n nbsp und somit x a r i t h m n x g e o m n displaystyle bar x mathrm arithm n geq bar x mathrm geom n nbsp Induktive Beweise Bearbeiten Der Beweis aus der jensenschen Ungleichung und der Polya Beweis sind zwar sehr leicht verstandlich haben aber den Nachteil dass Vorwissen uber die Logarithmusfunktion beziehungsweise der Exponentialfunktion benotigt wird Fur die Untersuchung der bei der Definition der Exponentialfunktion verwendeten Folge exp x lim n 1 x n n displaystyle exp x lim n to infty left 1 x over n right n nbsp kann aber die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel hilfreich sein Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmassiger diese sind fur die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig Beweis mit Vorwarts Ruckwarts Induktion Bearbeiten Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel kann mit einer so genannten Vorwarts Ruckwarts Induktion gefuhrt werden Der Vorwartsschritt leitet aus der Gultigkeit der Ungleichung fur n displaystyle n nbsp diejenige fur 2 n displaystyle 2n nbsp ab und gehorcht dem Schema der gewohnlichen vollstandigen Induktion Im sog Ruckwartsschritt wird aus der Gultigkeit der Ungleichung fur m displaystyle m nbsp die Gultigkeit fur n lt m displaystyle n lt m nbsp hergeleitet Herleitung Fall 2 n 2 displaystyle n 2 nbsp Fur zwei Elemente x y displaystyle x y nbsp gilt x y 2 2 x y 1 4 x 2 2 x y y 2 x y 1 4 x 2 2 x y y 2 x y 2 2 displaystyle begin aligned Bigl frac x y 2 Bigr 2 xy amp frac 1 4 x 2 2xy y 2 xy amp frac 1 4 x 2 2xy y 2 amp Bigl frac x y 2 Bigr 2 end aligned nbsp Sind sie verschieden dann ist x y 2 2 x y x y 2 2 gt 0 displaystyle Bigl frac x y 2 Bigr 2 xy Bigl frac x y 2 Bigr 2 gt 0 nbsp und x y 2 gt x y 2 displaystyle frac x y 2 qquad quad gt sqrt xy qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad mathsf 2 nbsp Fall A n 1 displaystyle n geq 1 nbsp ist eine Zweierpotenz Dieser aufsteigende Vorwarts Induktionsschritt sei etwas allgemeiner bewiesen Gilt die Induktionsvoraussetzung x a r i t h m x 1 x 2 x n n x 1 x 2 x n n x g e o m A displaystyle bar x mathrm arithm frac x 1 x 2 cdots x n n geq sqrt n x 1 cdot x 2 cdot ldots cdot x n bar x mathrm geom qquad mathsf A nbsp fur n 1 displaystyle n geq 1 nbsp Elemente dann gilt z a r i t h m z 1 z 2 z 2 n 2 n z 1 z 2 z 2 n 2 n z g e o m displaystyle bar z mathrm arithm frac z 1 z 2 cdots z 2n 2n geq sqrt 2n z 1 cdot z 2 cdot ldots cdot z 2n bar z mathrm geom nbsp fur 2 n displaystyle 2n nbsp Elemente Beweis Fur i n displaystyle i leq n nbsp sei x i z i displaystyle x i z i nbsp und fur i gt n displaystyle i gt n nbsp sei y i n z i displaystyle y i n z i nbsp gesetzt Dann ist z a r i t h m x a r i t h m 2 y a r i t h m 2 x a r i t h m y a r i t h m 2 A x g e o m y g e o m 2 2 x g e o m y g e o m z g e o m displaystyle begin aligned bar z mathrm arithm amp frac bar x mathrm arithm 2 frac bar y mathrm arithm 2 frac bar x mathrm arithm bar y mathrm arithm 2 amp underset mathsf A geq frac bar x mathrm geom bar y mathrm geom 2 underset mathsf 2 geq sqrt bar x mathrm geom bar y mathrm geom bar z mathrm geom end aligned nbsp Die Gleichheit z a r i t h m z g e o m displaystyle bar z mathrm arithm bar z mathrm geom nbsp erfordert x a r i t h m x g e o m displaystyle bar x mathrm arithm bar x mathrm geom nbsp und y a r i t h m y g e o m displaystyle bar y mathrm arithm bar y mathrm geom nbsp also gleiche x i x g e o m displaystyle x i bar x mathrm geom nbsp und gleiche y i y g e o m displaystyle y i bar y mathrm geom nbsp sowie x g e o m y g e o m displaystyle bar x mathrm geom bar y mathrm geom nbsp Zusammengenommen ergibt das alle z i displaystyle z i nbsp sind gleich Fall B n displaystyle n nbsp ist keine Zweierpotenz Dieser Teil des Beweises firmiert als Ruckwarts Induktionsschritt Zu jedem n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt es ein k N displaystyle k in mathbb N nbsp mit n lt 2 k displaystyle n lt 2 k nbsp Zur Abkurzung sei m 2 k displaystyle m 2 k nbsp und z x 1 x 2 x n n displaystyle z frac x 1 x 2 cdots x n n nbsp sowie x n 1 x n 2 x m z displaystyle x n 1 x n 2 cdots x m z nbsp gesetzt In Fall A wurde die Ungleichung fur m 2 k displaystyle m 2 k nbsp Elemente bereits bewiesen woraus folgt x 1 x 2 x 2 k 2 k x 1 x 2 x 2 k 2 k B displaystyle frac x 1 x 2 cdots x 2 k 2 k geq sqrt 2 k x 1 x 2 cdots x 2 k qquad qquad qquad qquad qquad quad mathsf B nbsp Somit folgt fur n lt 2 k m displaystyle n lt 2 k m nbsp z x 1 x 2 x n n m n x 1 x 2 x n m x 1 x 2 x n m n n x 1 x 2 x n m x 1 x 2 x n m n z m x 1 x 2 x n x n 1 x m m B x 1 x 2 x n x n 1 x m m x 1 x 2 x n z m n m displaystyle begin aligned z amp frac x 1 x 2 cdots x n n amp frac frac m n left x 1 x 2 cdots x n right m amp frac x 1 x 2 cdots x n frac m n n left x 1 x 2 cdots x n right m amp frac x 1 x 2 cdots x n left m n right z m amp frac x 1 x 2 cdots x n x n 1 cdots x m m 8 5pt amp underset mathsf B geq sqrt m x 1 x 2 cdots x n x n 1 cdots x m 5pt amp sqrt m x 1 x 2 cdots x n z m n end aligned nbsp woraus z m x 1 x 2 x n z m n displaystyle z m geq x 1 x 2 cdots x n z m n nbsp und z n x 1 x 2 x n displaystyle z n geq x 1 x 2 cdots x n nbsp und z x 1 x 2 x n n displaystyle z geq sqrt n x 1 x 2 cdots x n nbsp folgt Gemass Fall A gilt Gleichheit nur wenn alle Elemente gleich sind Dieser Beweis findet sich bereits bei Augustin Louis Cauchy 4 Beweis mittels Hilfssatz Bearbeiten Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz dass fur u i gt 0 displaystyle u i gt 0 nbsp und i 1 n u i 1 displaystyle textstyle prod i 1 n u i 1 nbsp folgt dass i 1 n u i n displaystyle textstyle sum i 1 n u i geq n nbsp Dieser Beweis stammt von G Ehlers 5 Der Hilfssatz kann beispielsweise mit vollstandiger Induktion bewiesen werden Betrachtet man das Produkt p i 1 n x i displaystyle textstyle p prod i 1 n x i nbsp und setzt u i x i p n displaystyle u i tfrac x i sqrt n p nbsp so erfullen die so definierten u i displaystyle textstyle u i nbsp namlich die Voraussetzung i 1 n u i 1 displaystyle textstyle prod i 1 n u i 1 nbsp des Hilfssatzes Aus dem Hilfssatz folgt n i 1 n u i i 1 n x i p n displaystyle n leq sum i 1 n u i sum i 1 n frac x i sqrt n p nbsp also p n 1 n i 1 n x i displaystyle sqrt n p leq frac 1 n sum i 1 n x i nbsp Einsetzen von p i 1 n x i displaystyle textstyle p prod i 1 n x i nbsp liefert dann die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Beweis aus der Bernoulli Ungleichung Bearbeiten Ein direkter induktiver Beweis ist mit Hilfe der bernoullischen Ungleichung moglich Sei o B d A x n 1 displaystyle x n 1 nbsp das maximale Element von x 1 x n x n 1 displaystyle x 1 dots x n x n 1 nbsp und x a r i t h m displaystyle bar x mathrm arithm nbsp das arithmetische Mittel von x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp Dann gilt x n 1 x a r i t h m 0 displaystyle x n 1 bar x mathrm arithm geq 0 nbsp und aus der bernoullischen Ungleichung folgt wenn man die Summanden mit den Indizes 1 bis n displaystyle n nbsp von dem Summanden mit dem Index n 1 displaystyle n 1 nbsp trennt dass x 1 x n 1 n 1 x a r i t h m n 1 1 x n 1 x a r i t h m n 1 x a r i t h m n 1 1 x n 1 x a r i t h m x a r i t h m x n 1 x a r i t h m displaystyle left frac x 1 dots x n 1 n 1 bar x mathrm arithm right n 1 left 1 frac x n 1 bar x mathrm arithm n 1 bar x mathrm arithm right n 1 geq 1 frac x n 1 bar x mathrm arithm bar x mathrm arithm frac x n 1 bar x mathrm arithm nbsp Multiplikation mit x a r i t h m n 1 displaystyle bar x mathrm arithm n 1 nbsp liefert x 1 x n 1 n 1 n 1 x a r i t h m n 1 x n 1 x a r i t h m x a r i t h m n x n 1 x 1 x n x n 1 displaystyle left frac x 1 dots x n 1 n 1 right n 1 geq bar x mathrm arithm n 1 frac x n 1 bar x mathrm arithm bar x mathrm arithm n x n 1 geq x 1 cdots x n x n 1 nbsp wobei die letzte Ungleichung nach Induktionsvoraussetzung gilt Das Ziehen der n 1 displaystyle n 1 nbsp ten Wurzel beendet den Induktionsbeweis Dieser Beweis findet sich beispielsweise im Lehrbuch der Analysis von H Heuser Teil 1 Kapitel 12 2 Beweis aus der Umordnungs Ungleichung Bearbeiten Ein nicht induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel der ohne Logarithmusfunktion auskommt lasst sich mit Hilfe der Umordnungs Ungleichung durchfuhren Aus der Umordnungs Ungleichung folgt namlich dass fur positive Zahlen a 1 a n displaystyle a 1 dots a n nbsp und jede beliebige Permutation a s 1 a s n displaystyle a sigma 1 dots a sigma n nbsp die Beziehung a s 1 a 1 a s n a n n displaystyle frac a sigma 1 a 1 cdots frac a sigma n a n geq n nbsp gelten muss Setzt man speziell a 1 x 1 x g e o m a 2 x 1 x 2 x g e o m 2 a n x 1 x 2 x n x g e o m n 1 displaystyle a 1 frac x 1 bar x mathrm geom a 2 frac x 1 x 2 bar x mathrm geom 2 dots a n frac x 1 x 2 cdots x n bar x mathrm geom n 1 nbsp so folgt also n a 2 a 1 a 3 a 2 a n a n 1 a 1 a n x 2 x g e o m x 3 x g e o m x n x g e o m x 1 x g e o m displaystyle n leq frac a 2 a 1 frac a 3 a 2 dots frac a n a n 1 frac a 1 a n frac x 2 bar x mathrm geom frac x 3 bar x mathrm geom cdots frac x n bar x mathrm geom frac x 1 bar x mathrm geom nbsp woraus unmittelbar die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel folgt Sonderfalle BearbeitenZahl und ihr Kehrwert Bearbeiten nbsp Beweisfigur zu der verscharften UngleichungFur n 2 displaystyle n 2 nbsp x 1 x displaystyle x 1 x nbsp und x 2 1 x displaystyle x 2 tfrac 1 x nbsp ergibt sich x 1 x 1 2 x 1 x displaystyle sqrt x cdot tfrac 1 x leq tfrac 1 2 left x tfrac 1 x right nbsp 1 1 2 x 1 x displaystyle 1 leq tfrac 1 2 left x tfrac 1 x right nbsp und damit 2 x 1 x displaystyle 2 leq x tfrac 1 x nbsp Diese Aussage lasst sich direkt beweisen Die Multiplikation mit x displaystyle x nbsp ergibt x 1 x 2 x 2 1 2 x x 2 2 x 1 0 x 1 2 0 displaystyle x frac 1 x geq 2 Leftrightarrow x 2 1 geq 2x Leftrightarrow x 2 2x 1 geq 0 Leftrightarrow x 1 2 geq 0 nbsp was offensichtlich richtig ist Die Ungleichung lasst sich verscharfen zu x 1 x 1 2 x 1 x 2 2 displaystyle x frac 1 x geq frac 1 2 left sqrt x frac 1 sqrt x right 2 geq 2 nbsp Beweis Der linke Teil der Ungleichung ergibt sich aus dem Garfield Trapez durch Langenvergleich der nicht parallelen Trapezseiten siehe Beweisfigur 2 x 1 x x 1 x displaystyle sqrt 2 left x frac 1 x right geq sqrt x frac 1 sqrt x nbsp dd Hieraus folgt nach elementaren algebraischen Umformungen x 1 x 1 2 x 1 x 2 displaystyle x frac 1 x geq frac 1 2 left sqrt x frac 1 sqrt x right 2 nbsp dd Der rechte Teil der Ungleichung folgt ausx 1 x 2 displaystyle x frac 1 x geq 2 nbsp dd wenn man x displaystyle x nbsp durch x displaystyle sqrt x nbsp ersetzt Dann gilt x 1 x 2 x 1 x 2 4 1 2 x 1 x 2 2 displaystyle sqrt x frac 1 sqrt x geq 2 Leftrightarrow left sqrt x frac 1 sqrt x right 2 geq 4 Leftrightarrow frac 1 2 left sqrt x frac 1 sqrt x right 2 geq 2 nbsp dd Damit sind beide Teile der Ungleichung bewiesen 6 Durch Permutationen bestimmte Bruche Bearbeiten Fur jede Permutation b 1 b 2 b n displaystyle b 1 b 2 b n nbsp der positiven reellen Zahlen a 1 a 2 a n displaystyle a 1 a 2 a n nbsp gilt i 1 n a i b i n displaystyle sum i 1 n frac a i b i geq n nbsp Beweis 1 n i 1 n a i b i i 1 n a i b i 1 n i 1 n a i i 1 n b i 1 n 1 i 1 n a i b i n displaystyle frac 1 n sum i 1 n frac a i b i geq left prod i 1 n frac a i b i right frac 1 n left frac prod i 1 n a i prod i 1 n b i right frac 1 n 1 Leftrightarrow sum i 1 n frac a i b i geq n nbsp 7 8 Verallgemeinerungen BearbeitenUngleichung vom gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel Bearbeiten Fur ein gegebenes positives Gewichtstupel w w 1 w n displaystyle mathbf w w 1 dots w n nbsp mit w i gt 0 displaystyle w i gt 0 nbsp und Summe w i 1 n w i displaystyle textstyle w sum i 1 n w i nbsp wird mit x a r i t h m i 1 n w i x i w displaystyle bar x mathrm arithm frac sum i 1 n w i cdot x i w nbsp das gewichtete arithmetische Mittel und mit x g e o m i 1 n x i w i w displaystyle bar x mathrm geom sqrt w prod i 1 n x i w i nbsp das gewichtete geometrische Mittel bezeichnet Auch fur diese gewichteten Mittel gilt die die Ungleichung x g e o m x a r i t h m displaystyle bar x mathrm geom leq bar x mathrm arithm nbsp Der Beweis dafur folgt direkt aus obigem Beweis mit der jensenschen Ungleichung Fur n 2 displaystyle n 2 nbsp w 1 1 p displaystyle w 1 tfrac 1 p nbsp w 2 1 q displaystyle w 2 tfrac 1 q nbsp mit w 1 p 1 q 1 displaystyle w tfrac 1 p tfrac 1 q 1 nbsp und x 1 a p displaystyle x 1 a p nbsp x 2 b q displaystyle x 2 b q nbsp mit a b 0 displaystyle a b geq 0 nbsp erhalt man die youngsche Ungleichung a b 1 p a p 1 q b q displaystyle ab leq frac 1 p a p frac 1 q b q nbsp Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel Bearbeiten Fordert man x i displaystyle x i nbsp echt grosser Null und ersetzt in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel x i displaystyle x i nbsp durch 1 x i displaystyle 1 x i nbsp so erhalt man die Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel n i 1 n 1 x i i 1 n x i n displaystyle frac n sum i 1 n frac 1 x i leq sqrt n prod i 1 n x i nbsp Diese Ungleichung gilt ebenfalls fur die gewichteten Mittel w i 1 n w i x i i 1 n x i w i w displaystyle frac w sum i 1 n frac w i x i leq sqrt w prod i 1 n x i w i nbsp Ungleichung der verallgemeinerten Mittel Bearbeiten Als Holder Mittel mit Exponent k displaystyle k nbsp bezeichnet man den Ausdruck x k 1 n i 1 n x i k k displaystyle bar x k sqrt k frac 1 n sum i 1 n x i k nbsp Fur k 1 displaystyle k 1 nbsp erhalt man das arithmetische Mittel Der Grenzwert k 0 displaystyle k to 0 nbsp ergibt das geometrische Mittel Fur k 1 displaystyle k 1 nbsp erhalt man das harmonische Mittel Allgemein gilt fur s t displaystyle infty leq s leq t leq infty nbsp die verallgemeinerte Mittelwertungleichung x s x t displaystyle bar x s leq bar x t nbsp Diese Ungleichung lasst sich z B beweisen indem man u i x i s v i 1 displaystyle u i x i s v i 1 nbsp setzt und u i displaystyle u i nbsp und v i displaystyle v i nbsp in die Holder Ungleichung mit p t s displaystyle p t s nbsp einsetzt oder indem man die jensensche Ungleichung fur die konvexe Funktion f x x t s displaystyle f x x t s nbsp auf die Werte x i s displaystyle x i s nbsp anwendet Auch diese Ungleichung gilt ebenfalls fur die gewichteten Mittel Sei x w k 1 w i 1 n w i x i k k displaystyle bar x mathbf w k sqrt k frac 1 w sum i 1 n w i x i k nbsp das mit w displaystyle mathbf w nbsp gewichtete Mittel mit Exponent k displaystyle k nbsp der Zahlen x i displaystyle x i nbsp so gilt fur s t displaystyle infty leq s leq t leq infty nbsp die Ungleichung x w s x w t displaystyle bar x mathbf w s leq bar x mathbf w t nbsp Diese Ungleichung lasst sich ebenfalls aus der Holder Ungleichung beweisen indem man u i w i s t x i s v i w i 1 s t displaystyle u i w i s t x i s v i w i 1 s t nbsp sowie p t s displaystyle p t s nbsp setzt oder ebenfalls indem man die jensensche Ungleichung fur die konvexe Funktion f x x t s displaystyle f x x t s nbsp auf die Werte x i s displaystyle x i s nbsp anwendet Ubertragen auf Integrale uber den Massraum W A m displaystyle Omega mathcal A mu nbsp mit einem endlichen Mass m W lt displaystyle mu Omega lt infty nbsp nimmt die Ungleichung der verallgemeinerten Mittel die Form 1 m W W f x s d m x s 1 m W W f x t d m x t displaystyle sqrt s frac 1 mu Omega int Omega f x s d mu x leq sqrt t frac 1 mu Omega int Omega f x t d mu x nbsp an insbesondere folgt daraus L t W A m L s W A m displaystyle L t Omega mathcal A mu subseteq L s Omega mathcal A mu nbsp fur diese Lp Raume Siehe auch BearbeitenEine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead Ungleichung Aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel lasst sich die Cauchy Schwarz Ungleichung ableiten Literatur BearbeitenPavel P Korowkin Ungleichungen Hochschulbucher fur Mathematik Kleine Erganzungsreihe 4 Mathematische Schulerbucherei 9 ISSN 0076 5449 6 Auflage Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1970 Einzelnachweise Bearbeiten Paul J Nahin When Least is Best Princeton University Press Princeton N J 2004 ISBN 0 691 07078 4 S 331 333 Appendix A The AM GM Inequality Roger B Nelsen Beweise ohne Worte Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald Springer Spektrum Springer Verlag Berlin Heidelberg 2016 ISBN 978 3 662 50330 0 Seite 138 Mathematics and Computer Education vol 31 no 2 Spring 1997 S 191 Cauchy Augustin Louis Analyse algebrique Der Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist auf Seite 457 ff Eine Titulierung a la Vorwarts Ruckwarts Induktion findet sich in dem Artikel nicht W D Hayes Colloquium on linear equations Office of Naval Research Technical Report ONRL 35 54 1954 PDF 2 0 MB Claudi Alsina Roger B Nelsen Perlen der Mathematik 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte fur mathematische Erkundungsreisen Springer Spektrum Springer Verlag GmbH Berlin 2015 ISBN 978 3 662 45460 2 Seiten 28 und 264 Ross Honsberger Gitter Reste Wurfel Friedrich Vieweg amp Sohn Verlagsgesellschaft mbH Braunschweig 1984 ISBN 978 3 528 08476 9 S 210 B H Bissinger Julius Vogel Problem E 1468 American Mathematical Monthly 1962 S 59 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel amp oldid 231674848
