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Bernoullische Ungleichung In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache aber wichtig

Bernoullische Ungleichung

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Eine Veranschaulichung der Bernoulli-Ungleichung. Hier die beiden Funktionen (roter Graph) und (blauer Graph) mit dem konkreten Wert . Der rote Graph liegt für stets oberhalb des blauen Graphen.

Für jede reelle Zahl und jede ganze Zahl gilt

Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli.

Geschichte Bearbeiten

Jakob Bernoulli veröffentlichte diese Ungleichung zuerst in seiner Arbeit Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis (Basel, 1689), in der er diese Ungleichung häufig anwandte.

Laut Joseph E. Hofmann geht die Ungleichung aber auf den Mathematiker Sluse zurück, der sie 1668 in seiner Arbeit Mesolabum veröffentlicht haben soll.

Beweis Bearbeiten

Beweis über vollständige Induktion Bearbeiten

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen. Der Induktionsanfang ist erfüllt:

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun für , und . Dann folgt wegen und der Induktionsvoraussetzung

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle .

Alternativer Beweis für nicht-negative x Bearbeiten

Für kann die Bernoulli-Ungleichung auch über den binomischen Lehrsatz bewiesen werden. Es gilt hier

Beispiel Bearbeiten

Behauptung:

für alle reellen .

Beweis: Zunächst sei definiert durch

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

also

Es ist aber

Damit ist dann auch

und letztlich

Verwandte Ungleichungen Bearbeiten

Strikte Ungleichung Bearbeiten

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen , und alle natürlichen Zahlen gilt

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.

Reelle Exponenten Bearbeiten

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle gilt

wenn , und

wenn .

Variable Faktoren Bearbeiten

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

falls für alle oder falls für alle und .

Setzt man dabei und betrachtet den Spezialfall , also , so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung

Anwendungen Bearbeiten

Exponentialfunktion Bearbeiten

Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschätzungen hilfreich. Es sei fix, dann ist für hinreichend großes . Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

Wegen

ist somit die Ungleichung

bewiesen.

Beweis von Ungleichungen mit Potenzen Bearbeiten

Um die Konvergenz für reelle Zahlen mit zu beweisen, muss unter anderem ein gefunden werden, so dass für ein beliebig vorgegebenes ist. Hierfür kann die Bernoulli-Ungleichung verwendet werden. Zunächst formt man die Zielungleichung durch Äquivalenzumformungen um:

Wegen ist . Setzen wir so ist und außerdem nach der Bernoulli-Ungleichung

Alternativ kann also auch ein gefunden werden, so dass ist. Ist nämlich dann folgt aus obiger Ungleichung , dass automatisch auch ist. Die Existenz von ist durch das archimedische Axiom gewährleistet.

Der Vorteil der obigen Vorgehensweise ist der, dass hier im Beweis nicht auf den Logarithmus zurückgegriffen werden muss, welcher am Anfang einer Analysis-Vorlesung in der Regel noch nicht zur Verfügung steht.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Bearbeiten

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel über vollständige Induktion beweisen. Es ist sogar so, dass die Bernoulli-Ungleichung äquivalent zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Bernoulli-Ungleichung – Lern- und Lehrmaterialien
Commons: Bernoullische Ungleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Yuan-Chuan Li, Cheh-Chih Yeh: Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey. In: Applied Mathematics. 04, 2013, S. 1070, doi:10.4236/am.2013.47146

Quellen und Bemerkungen Bearbeiten

  1. In der Tat gilt die Ungleichung sogar für und ungerade , allerdings lässt sich dies nicht mehr so direkt mit vollständiger Induktion, sondern z. B. durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass für negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für und positiv ist. In diesem Fall hat ein lokales Maximum in . Für gerades gilt die Ungleichung sogar für alle reellen , da hier für die linke Seite der Ungleichung stets positiv bleibt, während die rechte sicher negativ ist.
  2. ↑ Für den Fall und muss vereinbart werden.
  3. ↑ Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1. B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17
  4. ↑ History of Science and Mathematics.
  5. Über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci. (1963), Seite 177.
  6. http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/
  7. Adam Kertesz und Eric Weisstein: Weierstrass Product Inequality. In: MathWorld (englisch).
  8. http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml
  9. Yuan-Chuan Li, Cheh-Chih Yeh: Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey. In: Applied Mathematics. 04, 2013, S. 1070, doi:10.4236/am.2013.47146.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache aber wichtige Ungleichung mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschatzen lasst Eine Veranschaulichung der Bernoulli Ungleichung Hier die beiden Funktionen f x 1 x n displaystyle f x 1 x n roter Graph und g x 1 n x displaystyle g x 1 n cdot x blauer Graph mit dem konkreten Wert n 3 displaystyle n 3 Der rote Graph liegt fur x 1 displaystyle x geq 1 stets oberhalb des blauen Graphen Fur jede reelle Zahl x 1 displaystyle x geq 1 1 und jede ganze Zahl n 0 displaystyle n geq 0 gilt 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n geq 1 nx 2 Benannt ist die Ungleichung nach dem Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli 3 Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Beweis 2 1 Beweis uber vollstandige Induktion 2 2 Alternativer Beweis fur nicht negative x 3 Beispiel 4 Verwandte Ungleichungen 4 1 Strikte Ungleichung 4 2 Reelle Exponenten 4 3 Variable Faktoren 5 Anwendungen 5 1 Exponentialfunktion 5 2 Beweis von Ungleichungen mit Potenzen 5 3 Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel 6 Weblinks 7 Quellen und BemerkungenGeschichte BearbeitenJakob Bernoulli veroffentlichte diese Ungleichung zuerst in seiner Arbeit Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis Basel 1689 in der er diese Ungleichung haufig anwandte 4 Laut Joseph E Hofmann geht die Ungleichung aber auf den Mathematiker Sluse zuruck der sie 1668 in seiner Arbeit Mesolabum veroffentlicht haben soll 5 4 Beweis BearbeitenBeweis uber vollstandige Induktion Bearbeiten Die bernoullische Ungleichung lasst sich mit vollstandiger Induktion beweisen 6 Der Induktionsanfang n 0 displaystyle n 0 nbsp ist erfullt 1 x 0 1 1 1 0 x displaystyle 1 x 0 1 geq 1 1 0x nbsp 2 Als Induktionsvoraussetzung gelte nun 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n geq 1 nx nbsp fur n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp x R displaystyle x in mathbb R nbsp und x 1 displaystyle x geq 1 nbsp Dann folgt wegen 1 x 0 displaystyle 1 x geq 0 nbsp und der Induktionsvoraussetzung 1 x n 1 1 x n 1 x I V 1 n x 1 x 1 x n x n x 2 1 x n x 1 n 1 x displaystyle begin array lcl 1 x n 1 amp amp 1 x n cdot 1 x amp stackrel mathrm I V geq amp 1 nx cdot 1 x amp amp 1 x nx nx 2 amp geq amp 1 x nx amp amp 1 n 1 x end array nbsp Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Alternativer Beweis fur nicht negative x Bearbeiten Fur x 0 displaystyle x geq 0 nbsp kann die Bernoulli Ungleichung auch uber den binomischen Lehrsatz bewiesen werden Es gilt hier 1 x n k 0 n n k x k 1 n x n n 1 2 x 2 0 wegen x 0 1 n x displaystyle begin aligned 1 x n amp sum k 0 n binom n k x k amp 1 n cdot x underbrace frac n n 1 2 x 2 ldots geq 0 text wegen x geq 0 amp geq 1 n cdot x end aligned nbsp Beispiel BearbeitenBehauptung lim n a n 1 displaystyle lim n to infty sqrt n a 1 nbsp fur alle reellen a 1 displaystyle a geq 1 nbsp Beweis Zunachst sei x n 0 displaystyle x n geq 0 nbsp definiert durch a n 1 x n displaystyle sqrt n a 1 x n nbsp Dann gilt nach der Bernoulli Ungleichung a 1 x n n 1 n x n displaystyle a 1 x n n geq 1 nx n nbsp also a 1 n x n 0 displaystyle frac a 1 n geq x n geq 0 nbsp Es ist aber lim n a 1 n 0 displaystyle lim n to infty frac a 1 n 0 nbsp Damit ist dann auch lim n x n 0 displaystyle lim n to infty x n 0 nbsp und letztlich lim n a n 1 lim n x n 1 0 1 displaystyle lim n to infty sqrt n a 1 lim n to infty x n 1 0 1 nbsp Verwandte Ungleichungen BearbeitenStrikte Ungleichung Bearbeiten Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet die ein strikt grosser statt eines grosser gleich verwendet Fur alle reellen Zahlen x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp x 0 displaystyle x neq 0 nbsp und alle naturlichen Zahlen n 2 displaystyle n geq 2 nbsp gilt 1 x n gt 1 n x displaystyle 1 x n gt 1 nx nbsp Der Beweis lasst sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis fur die Formulierung mit grosser gleich durchfuhren 3 Reelle Exponenten Bearbeiten Fur reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen Fur alle x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp gilt 1 x r 1 r x displaystyle 1 x r geq 1 rx nbsp wenn r 1 displaystyle r geq 1 nbsp und 1 x r 1 r x displaystyle 1 x r leq 1 rx nbsp wenn 0 r 1 displaystyle 0 leq r leq 1 nbsp Variable Faktoren Bearbeiten Betrachtet man keine Potenz sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren so lasst sich folgende Verallgemeinerung mittels vollstandiger Induktion zeigen i 1 n 1 x i gt 1 i 1 n x i displaystyle prod i 1 n 1 x i gt 1 sum i 1 n x i nbsp falls 1 lt x i lt 0 displaystyle 1 lt x i lt 0 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp oder falls x i gt 0 displaystyle x i gt 0 nbsp fur alle i displaystyle i nbsp und n 2 displaystyle n geq 2 nbsp 3 Setzt man dabei u i x i displaystyle u i x i nbsp und betrachtet den Spezialfall 1 x i 0 displaystyle 1 leq x i leq 0 nbsp also 0 u i 1 displaystyle 0 leq u i leq 1 nbsp so erhalt man die sogenannte Weierstrass Produkt Ungleichung 7 8 i 1 n 1 u i 1 i 1 n u i displaystyle prod i 1 n 1 u i geq 1 sum i 1 n u i nbsp Anwendungen BearbeitenExponentialfunktion Bearbeiten Die bernoullische Ungleichung ist bei vielen Abschatzungen hilfreich Es sei x R displaystyle x in mathbb R nbsp fix dann ist x n 1 displaystyle frac x n geq 1 nbsp fur hinreichend grosses n displaystyle n nbsp Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher 1 x n n 1 n x n 1 x displaystyle left 1 frac x n right n geq 1 n cdot frac x n 1 x nbsp fur hinreichend grosses n displaystyle n nbsp Wegen e x lim n 1 x n n displaystyle e x lim n to infty left 1 frac x n right n nbsp ist somit die Ungleichung 1 x e x displaystyle 1 x leq e x nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp bewiesen Beweis von Ungleichungen mit Potenzen Bearbeiten Um die Konvergenz lim n q n 0 displaystyle lim n rightarrow infty q n 0 nbsp fur reelle Zahlen q displaystyle q nbsp mit 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp zu beweisen muss unter anderem ein N N displaystyle N in mathbb N nbsp gefunden werden so dass q N lt ϵ displaystyle q N lt epsilon nbsp fur ein beliebig vorgegebenes ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp ist Hierfur kann die Bernoulli Ungleichung verwendet werden Zunachst formt man die Zielungleichung q N lt ϵ displaystyle q N lt epsilon nbsp durch Aquivalenzumformungen um q N lt ϵ 1 q N gt 1 ϵ displaystyle begin array lrl amp q N amp lt epsilon iff amp left tfrac 1 q right N amp gt tfrac 1 epsilon end array nbsp Wegen 0 lt q lt 1 displaystyle 0 lt q lt 1 nbsp ist 1 q gt 1 displaystyle tfrac 1 q gt 1 nbsp Setzen wir 1 x 1 q displaystyle 1 x tfrac 1 q nbsp so ist x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp und ausserdem nach der Bernoulli Ungleichung 1 q N 1 x N 1 N x displaystyle left tfrac 1 q right N 1 x N geq 1 N cdot x nbsp Alternativ kann also auch ein N N displaystyle N in mathbb N nbsp gefunden werden so dass 1 N x gt 1 ϵ displaystyle 1 N cdot x gt tfrac 1 epsilon nbsp ist Ist namlich 1 N x gt 1 ϵ displaystyle 1 N cdot x gt tfrac 1 epsilon nbsp dann folgt aus obiger Ungleichung 1 q N 1 N x displaystyle left tfrac 1 q right N geq 1 N cdot x nbsp dass automatisch auch 1 q N gt 1 ϵ displaystyle left tfrac 1 q right N gt tfrac 1 epsilon nbsp ist Die Existenz von N displaystyle N nbsp ist durch das archimedische Axiom gewahrleistet Der Vorteil der obigen Vorgehensweise ist der dass hier im Beweis nicht auf den Logarithmus zuruckgegriffen werden muss welcher am Anfang einer Analysis Vorlesung in der Regel noch nicht zur Verfugung steht Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Bearbeiten Hauptartikel Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel Unter Verwendung einer Abschatzung mit der bernoullischen Ungleichung lasst sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel uber vollstandige Induktion beweisen Es ist sogar so dass die Bernoulli Ungleichung aquivalent zur Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist 9 Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Bernoulli Ungleichung Lern und Lehrmaterialien nbsp Commons Bernoullische Ungleichung Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Yuan Chuan Li Cheh Chih Yeh Some Equivalent Forms of Bernoulli s Inequality A Survey In Applied Mathematics 04 2013 S 1070 doi 10 4236 am 2013 47146Quellen und Bemerkungen Bearbeiten In der Tat gilt die Ungleichung sogar fur x 2 displaystyle x geq 2 nbsp und ungerade n 3 displaystyle n geq 3 nbsp allerdings lasst sich dies nicht mehr so direkt mit vollstandiger Induktion sondern z B durch Vergleich der Ableitungen zeigen Dazu zeigt man dass f x 1 x n 1 n x displaystyle f x 1 x n 1 nx nbsp fur 2 lt x lt 1 displaystyle 2 lt x lt 1 nbsp negative Ableitung und damit keine Extrema hat wahrend der Wert fur x 2 displaystyle x 2 nbsp und x 1 displaystyle x 1 nbsp positiv ist In diesem Fall hat f displaystyle f nbsp ein lokales Maximum in x 2 displaystyle x 2 nbsp Fur gerades n 2 displaystyle n geq 2 nbsp gilt die Ungleichung sogar fur alle reellen x displaystyle x nbsp da hier fur x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp die linke Seite der Ungleichung stets positiv bleibt wahrend die rechte sicher negativ ist a b Fur den Fall x 1 displaystyle x 1 nbsp und n 0 displaystyle n 0 nbsp muss 0 0 1 displaystyle 0 0 1 nbsp vereinbart werden a b c Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 B G Teubner Stuttgart 1984 ISBN 3 519 22221 3 S 61 Kapitel 7 9 und S 68 Aufgabe 7 17 a b History of Science and Mathematics Uber die Exercitatio Geometrica des M A Ricci 1963 Seite 177 http mo mathematik uni stuttgart de inhalt erlaeuterung erlaeuterung39 Adam Kertesz und Eric Weisstein Weierstrass Product Inequality In MathWorld englisch http www cut the knot org Generalization wineq shtml Yuan Chuan Li Cheh Chih Yeh Some Equivalent Forms of Bernoulli s Inequality A Survey In Applied Mathematics 04 2013 S 1070 doi 10 4236 am 2013 47146 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bernoullische Ungleichung amp oldid 233147213