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Potenzfunktion Als en bezeichnet man elementare mathematische Funktionen der FormGraphen einiger en f x a x r a r R disp

Potenzfunktion

Als Potenzfunktionen bezeichnet man elementare mathematische Funktionen der Form

Graphen einiger Potenzfunktionen

Wenn man nur natürliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet, schreibt man für den Exponenten meistens :

Ist der Exponent eine natürliche Zahl, so ist der Funktionsterm ein Monom.

Spezialfälle Bearbeiten

Definitions- und Wertemenge Bearbeiten

Die maximal mögliche Definitionsmenge hängt vom Exponenten ab. Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulässt, dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden:

r > 0 r < 0

Bei den Wertemengen muss man zusätzlich noch das Vorzeichen von beachten; wenn ist, kommt es außerdem auch noch darauf an, ob eine gerade oder ungerade Zahl ist:

r > 0 r < 0
r gerade
oder 		r ungerade r gerade
oder 		r ungerade
a > 0
a < 0

Graphen Bearbeiten

Die Graphen der Potenzfunktionen mit natürlichen heißen Parabeln -ter Ordnung, die mit ganzzahligen negativen Hyperbeln -ter Ordnung. Der Parameter drückt eine Streckung des Graphen bezüglich der -Achse um den Faktor und außerdem Spiegelung an der -Achse aus, falls ist.

Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge , dann besteht ihr Graph aus zwei Ästen, ansonsten gibt es nur einen Ast.

Symmetrie Bearbeiten

Nur die Graphen von Potenzfunktionen mit sind symmetrisch; genauer: sie sind gerade für gerade und ungerade für ungerade . Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur -Achse, im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung.

Verhalten für x → ±∞ und x → 0 Bearbeiten

Alle Potenzfunktionen mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei , steigen (aber immer langsamer als die Exponentialfunktion ) und gehen gegen für . Für ergibt sich das Verhalten für aus der Symmetrie.

Alle Potenzfunktionen mit negativen Exponenten gehen gegen für . Sie fallen und gehen gegen für .

Stetigkeit, Ableitung und Integration Bearbeiten

Jede Potenzfunktion ist stetig auf ihrer Definitionsmenge.

Die zugehörige Ableitungsfunktion ist (siehe Potenzregel)

Diese Formel gilt für alle und alle , wenn nur an der Stelle definiert ist. Sie gilt auch an der Stelle , wenn ist. Für ist die Funktion stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle .

Zum Beispiel ist gültig in ganz (bzw. sogar in ganz , wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt – siehe unten).

Für eine beliebige nicht negative rationale Zahl ist die Formel

für alle Intervalle, die Teilmengen der Definitionsmenge sind, gültig. Für gilt

Zum Beispiel gilt:

Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen Bearbeiten

In diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet, bei denen der Nenner des gekürzten Exponenten ungerade ist, und es wird erklärt, wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann. Im Folgenden wird dann erläutert, welche der oben erwähnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geändert werden.

Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen Bearbeiten

(→ Siehe auch Potenz)

In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbüchern übliche Konvention verwendet, dass Wurzeln nur für nicht-negative Radikanden definiert sind. Man kann jedoch auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen. Für ungerades und beliebiges definiert man, analog zur bekannten Definition für positive Radikanden:

ist diejenige (eindeutige) reelle Zahl , für die gilt.

Beispielsweise wäre nach dieser Definition die Lösung der Gleichung gegeben durch (wohingegen man nach der üblichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen schreiben müsste).

Definitions- und Wertemenge Bearbeiten

Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwähnten Eigenschaften kann man nun den Definitionsbereich auf negative erweitern : Sei mit , , dabei ungerade, und seien und teilerfremd, dann gilt:

(Anmerkung: Ist , dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten.)

Für ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich , für ist sie gleich .

Für die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von beachten. Außerdem kommt es nun auch noch darauf an, ob eine der Zahlen oder gerade ist (d. h. das Produkt gerade ist) oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind (d. h. das Produkt ungerade ist):

n > 0 n < 0
gerade ungerade gerade ungerade
a > 0
a < 0

Symmetrie und Verhalten für x → ±∞ und x → 0 Bearbeiten

Für die Symmetrie gilt ähnliches wie bei ganzzahligen Exponenten: die Funktion ist gerade für gerade und ungerade für ungerade . Ihr Verhalten für und für ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert.

Anwendungen Bearbeiten

Potenzfunktionen haben vielfältige Anwendungen in Wirtschaft, Natur und Technik:

Literatur Bearbeiten

  • Karl-Heinz Pfeffer: Analysis für Fachoberschulen. Vieweg+teubner 2005, ISBN 3-528-54006-0, S. 104 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
  • Wolfgang Brauch, Hans-Joachim Dreyer, Wolfhart Haacke: Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2006, ISBN 3-8351-0073-4, S. 104 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)
  • Horst Stöcker: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Harri Deutsch Verlag 2009, ISBN 978-3-8171-1812-0, S. 146 (eingeschränkte Online-Kopie in der Google-Buchsuche)

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Als Potenzfunktionen bezeichnet man elementare mathematische Funktionen der FormGraphen einiger Potenzfunktionen f x a x r a r R displaystyle f colon x mapsto ax r qquad a r in mathbb R Wenn man nur naturliche oder ganzzahlige Exponenten betrachtet schreibt man fur den Exponenten meistens n displaystyle n f x a x n n Z displaystyle f colon x mapsto ax n qquad n in mathbb Z Ist der Exponent n displaystyle n eine naturliche Zahl so ist der Funktionsterm a x n displaystyle ax n ein Monom Inhaltsverzeichnis 1 Spezialfalle 2 Definitions und Wertemenge 3 Graphen 4 Symmetrie 5 Verhalten fur x und x 0 6 Stetigkeit Ableitung und Integration 7 Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen 7 1 Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen 7 2 Definitions und Wertemenge 7 3 Symmetrie und Verhalten fur x und x 0 8 Anwendungen 9 Literatur 10 WeblinksSpezialfalle Bearbeitenkonstante Funktion f x a displaystyle f colon x mapsto a nbsp fur r 0 displaystyle r 0 nbsp homogene lineare Funktion Proportionalitat f x a x displaystyle f colon x mapsto ax nbsp fur r 1 displaystyle r 1 nbsp Quadratfunktion und Vielfache davon f x a x 2 displaystyle f colon x mapsto ax 2 nbsp fur r 2 displaystyle r 2 nbsp Aus den Potenzfunktionen mit naturlichem Exponenten r displaystyle r nbsp werden die ganzrationalen Funktionen zusammengesetzt aus denen mit ganzzahligem Exponenten die rationalen Funktionen Fur r 1 n displaystyle r 1 n nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp ergeben sich Wurzelfunktionen Definitions und Wertemenge BearbeitenDie maximal mogliche Definitionsmenge hangt vom Exponenten ab Wenn man Wurzeln aus negativen Zahlen nicht zulasst dann kann sie mit der folgenden Tabelle angegeben werden r gt 0 r lt 0r Z displaystyle r in mathbb Z nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp r Z displaystyle r notin mathbb Z nbsp R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp Bei den Wertemengen muss man zusatzlich noch das Vorzeichen von a displaystyle a nbsp beachten wenn r Z displaystyle r in mathbb Z nbsp ist kommt es ausserdem auch noch darauf an ob r displaystyle r nbsp eine gerade oder ungerade Zahl ist r gt 0 r lt 0r gerade oder Z displaystyle notin mathbb Z nbsp r ungerade r gerade oder Z displaystyle notin mathbb Z nbsp r ungeradea gt 0 R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp a lt 0 R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp Graphen BearbeitenDie Graphen der Potenzfunktionen mit naturlichen n displaystyle n nbsp heissen Parabeln n displaystyle n nbsp ter Ordnung die mit ganzzahligen negativen n displaystyle n nbsp Hyperbeln n displaystyle n nbsp ter Ordnung Der Parameter a displaystyle a nbsp druckt eine Streckung des Graphen bezuglich der y displaystyle y nbsp Achse um den Faktor a displaystyle a nbsp und ausserdem Spiegelung an der x displaystyle x nbsp Achse aus falls a lt 0 displaystyle a lt 0 nbsp ist Hat eine Potenzfunktion die Definitionsmenge R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp dann besteht ihr Graph aus zwei Asten ansonsten gibt es nur einen Ast Symmetrie BearbeitenNur die Graphen von Potenzfunktionen mit r Z displaystyle r in mathbb Z nbsp sind symmetrisch genauer sie sind gerade fur gerade r displaystyle r nbsp und ungerade fur ungerade r displaystyle r nbsp Im ersten Fall ist ihr Graph achsensymmetrisch zur y displaystyle y nbsp Achse im zweiten ist er punktsymmetrisch zum Ursprung Verhalten fur x und x 0 BearbeitenAlle Potenzfunktionen x r displaystyle x r nbsp mit positiven Exponenten haben eine Nullstelle bei x 0 displaystyle x 0 nbsp steigen aber immer langsamer als die Exponentialfunktion e x displaystyle e x nbsp und gehen gegen displaystyle infty nbsp fur x displaystyle x to infty nbsp Fur r Z displaystyle r in mathbb Z nbsp ergibt sich das Verhalten fur x displaystyle x to infty nbsp aus der Symmetrie Alle Potenzfunktionen x r displaystyle x r nbsp mit negativen Exponenten gehen gegen displaystyle infty nbsp fur x 0 x gt 0 displaystyle x to 0 x gt 0 nbsp Sie fallen und gehen gegen 0 displaystyle 0 nbsp fur x displaystyle x to infty nbsp Stetigkeit Ableitung und Integration BearbeitenJede Potenzfunktion f x a x r displaystyle f colon x mapsto ax r nbsp ist stetig auf ihrer Definitionsmenge Die zugehorige Ableitungsfunktion ist siehe Potenzregel f x a r x r 1 displaystyle f colon x mapsto arx r 1 nbsp Diese Formel gilt fur alle x 0 displaystyle x neq 0 nbsp und alle r displaystyle r nbsp wenn x r displaystyle x r nbsp nur an der Stelle x displaystyle x nbsp definiert ist Sie gilt auch an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp wenn r 1 displaystyle r geq 1 nbsp ist Fur 0 lt r lt 1 displaystyle 0 lt r lt 1 nbsp ist die Funktion x a x r displaystyle x mapsto a x r nbsp stetig aber nicht differenzierbar an der Stelle x 0 displaystyle x 0 nbsp Zum Beispiel ist x x 2 3 5 3 x 2 3 displaystyle x sqrt 3 x 2 tfrac 5 3 sqrt 3 x 2 nbsp gultig in ganz R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp bzw sogar in ganz R displaystyle mathbb R nbsp wenn man ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulasst siehe unten Fur eine beliebige nicht negative rationale Zahl r 1 displaystyle r neq 1 nbsp ist die Formel x r d x x r 1 r 1 C displaystyle int x r dx frac x r 1 r 1 C nbsp fur alle Intervalle die Teilmengen der Definitionsmenge sind gultig Fur r 1 displaystyle r 1 nbsp gilt x 1 d x 1 x d x ln x C displaystyle int x 1 dx int frac 1 x dx ln x C nbsp Zum Beispiel gilt x x 2 3 d x x 5 3 d x 3 8 x 8 3 C 3 8 x 2 x 2 3 C displaystyle int x sqrt 3 x 2 dx int x 5 3 dx 3 8 x 8 3 C 3 8 x 2 sqrt 3 x 2 C nbsp Potenzfunktionen mit Wurzeln aus negativen Zahlen BearbeitenIn diesem Abschnitt werden nur Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten betrachtet bei denen der Nenner des gekurzten Exponenten ungerade ist und es wird erklart wie man deren Definitionsmenge auf negative Zahlen erweitern kann Im Folgenden wird dann erlautert welche der oben erwahnten Eigenschaften der Funktionen dadurch geandert werden Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen Bearbeiten Siehe auch Potenz In den bisherigen Abschnitten wurde die in vielen Schulbuchern ubliche Konvention verwendet dass Wurzeln nur fur nicht negative Radikanden definiert sind Man kann jedoch auch ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen zulassen Fur ungerades n displaystyle n nbsp und beliebiges x R displaystyle x in mathbb R nbsp definiert man analog zur bekannten Definition fur positive Radikanden x n displaystyle sqrt n x nbsp ist diejenige eindeutige reelle Zahl y displaystyle y nbsp fur die y n x displaystyle y n x nbsp gilt Beispielsweise ware nach dieser Definition die Losung der Gleichung x 3 8 displaystyle x 3 8 nbsp gegeben durch x 8 3 2 displaystyle x sqrt 3 8 2 nbsp wohingegen man nach der ublichen Definition ohne Wurzeln aus negativen Zahlen x 8 3 2 displaystyle x sqrt 3 8 2 nbsp schreiben musste Definitions und Wertemenge Bearbeiten Bei Potenzfunktionen mit den eingangs erwahnten Eigenschaften kann man nun den Definitionsbereich auf negative x displaystyle x nbsp erweitern Sei r n m displaystyle r n m nbsp mit n Z displaystyle n in mathbb Z nbsp m N displaystyle m in mathbb N nbsp m displaystyle m nbsp dabei ungerade und seien m displaystyle m nbsp und n displaystyle n nbsp teilerfremd dann gilt x r x n m displaystyle x r sqrt m x n nbsp displaystyle qquad nbsp oder was aquivalent ist displaystyle quad nbsp x r x m n displaystyle x r sqrt m x n nbsp Anmerkung Ist m 1 displaystyle m 1 nbsp dann ergibt dies wieder eine Potenzfunktion mit einem ganzzahligen Exponenten Fur n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp ist die Definitionsmenge dieser Funktion dann gleich R displaystyle mathbb R nbsp fur n lt 0 displaystyle n lt 0 nbsp ist sie gleich R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp Fur die Wertemenge muss man wieder das Vorzeichen von a displaystyle a nbsp beachten Ausserdem kommt es nun auch noch darauf an ob eine der Zahlen m displaystyle m nbsp oder n displaystyle n nbsp gerade ist d h das Produkt m n displaystyle mn nbsp gerade ist oder ob diese beiden Zahlen ungerade sind d h das Produkt m n displaystyle mn nbsp ungerade ist n gt 0 n lt 0m n displaystyle mn nbsp gerade m n displaystyle mn nbsp ungerade m n displaystyle mn nbsp gerade m n displaystyle mn nbsp ungeradea gt 0 R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp a lt 0 R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R displaystyle mathbb R nbsp R 0 displaystyle mathbb R setminus 0 nbsp Symmetrie und Verhalten fur x und x 0 Bearbeiten Fur die Symmetrie gilt ahnliches wie bei ganzzahligen Exponenten die Funktion ist gerade fur gerade n displaystyle n nbsp und ungerade fur ungerade n displaystyle n nbsp Ihr Verhalten fur x 0 x lt 0 displaystyle x to 0 x lt 0 nbsp und fur x displaystyle x to infty nbsp ist dann von ihren Symmetrieeigenschaften und von ihrem Verhalten auf der rechten Halbachse definiert Anwendungen BearbeitenPotenzfunktionen haben vielfaltige Anwendungen in Wirtschaft Natur und Technik Proportionalitaten r 1 displaystyle r 1 nbsp tauchen in vielen Zusammenhangen auf Kosten und Warenmenge ohne Mengenrabatt Umrechnung zwischen Wahrungen Kreisumfang und Radius Masse und Volumen bei konstanter Dichte vergangene Zeit und zuruckgelegte Wegstrecke bei konstanter Geschwindigkeit gefahrene Wegstrecke und verbrauchte Kraftstoffmenge bei konstantem Verbrauch Kraft und Beschleunigung bei konstanter Masse Dehnung eines Korpers und angreifende Kraft in gewissen Grenzen siehe Hookesches Gesetz Praktisch genauso haufig kommen reziproke Proportionalitaten r 1 displaystyle r 1 nbsp vor auch indirekte oder Anti Proportionalitat genannt Arbeiterzahl und Arbeitszeit benotigte Zeit fur eine Wegstrecke und konstanter Geschwindigkeit benotigte Kraft und Lange eines Hebels Hebelgesetz Masse und benotigte Kraft fur gegebene Beschleunigung Viele Grossen in Geometrie und Physik hangen quadratisch voneinander ab r 2 displaystyle r 2 nbsp Flacheninhalt eines Quadrats und seine Seitenlange Flacheninhalt eines Kreises und sein Radius Spannenergie und Dehnung eines Korpers Bewegungsenergie und Geschwindigkeit zuruckgelegte Wegstrecke und Zeit bei gleichmassiger Beschleunigung elektrische Leistung und Stromstarke bei gegebenem Widerstand Luftwiderstandskraft und Geschwindigkeit bei turbulenter Stromung Die dritte Potenz r 3 displaystyle r 3 nbsp tritt beispielsweise in der Geometrie haufig auf Radius und Volumen einer Kugel Seitenlange und Volumen eines Wurfels Einige physikalische Grossen hangen in der vierten Potenz miteinander zusammen r 4 displaystyle r 4 nbsp Strahlungsleistung eines schwarzen Korpers und seine absolute Temperatur Stefan Boltzmann Gesetz Streuquerschnitt fur Lichtstreuung und Lichtfrequenz die u a fur die blaue Farbe des Himmels verantwortliche Rayleigh Streuung Volumenstrom durch ein dunnes Rohr und Rohrradius Gesetz von Hagen Poiseuille Auch nicht ganzzahlige Potenzen kommen in vielen Zusammenhangen vor Zusammenhang zwischen Druck Volumen und absoluter Temperatur bei adiabatischen Zustandsanderungen siehe auch Adiabatenexponent Zusammenhang zwischen grosser Halbachse a displaystyle a nbsp und Umlaufzeit T displaystyle T nbsp von Planeten bzw Monden 3 Kepler Gesetz Skalengesetze beispielsweise bei Phasenubergangen aber auch in der Biologie In der Geometrie gilt fur den Zusammenhang zwischen Oberflacheninhalt und Rauminhalt eines Wurfels V O 6 3 2 displaystyle V O 6 3 2 nbsp eine ahnliche Formel ergibt sich bei einer Kugel Bei einem Universum das mit einer homogenen Substanz erfullt ist die eine Zustandsgleichung der Form p w r displaystyle p w rho nbsp erfullt ergibt sich fur die Zeitabhangigkeit des Skalenfaktors aus den Friedmann Gleichungen a t t 2 3 1 w displaystyle a t sim t 2 3 1 w nbsp Literatur BearbeitenKarl Heinz Pfeffer Analysis fur Fachoberschulen Vieweg teubner 2005 ISBN 3 528 54006 0 S 104 eingeschrankte Online Kopie in der Google Buchsuche Wolfgang Brauch Hans Joachim Dreyer Wolfhart Haacke Mathematik fur Ingenieure Vieweg Teubner 2006 ISBN 3 8351 0073 4 S 104 eingeschrankte Online Kopie in der Google Buchsuche Horst Stocker Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren Harri Deutsch Verlag 2009 ISBN 978 3 8171 1812 0 S 146 eingeschrankte Online Kopie in der Google Buchsuche Weblinks BearbeitenPotenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten pdf 373 kB Potenzfunktionen mit naturlichen Exponenten pdf 105 kB ZUM Materialien zur Potenzfunktion Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potenzfunktion amp oldid 235260643