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Skalengesetz

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Unter Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art

d. h. exponentielle Beziehungen, oder

d. h. Potenz- oder polynomiale Beziehungen, wobei und reelle Konstanten darstellen. Potenzgesetze sind häufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen.

Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet, dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann. Teilweise handelt es sich um rein empirisch gefundene Verteilungen, teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden, so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von »Gesetzen« gesprochen werden kann. Das begründet sich unter anderem darin, dass

die Lösung der simpelsten linearen Differentialgleichung

ist, die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt, z. B. das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschränkung.

Skalenbeziehung, die auf Potenzgesetzen beruhen, sind skaleninvariant aufgrund der Beziehung

d. h., dass proportional ist und sich die Charakteristika von nicht verändern. Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht.

Beispiele Bearbeiten

Statistik Bearbeiten

Biologie Bearbeiten

Geoffrey West führt die Universalität von Skalengesetzen in der Biologie auf folgende Punkte zurück:

  1. Organismen aller Größenordnungen werden von hierarchisch verzweigten Stoffwechsel-Versorgungsnetzen am Leben erhalten.
  2. Diese Netzwerke sind raumfüllend (und oft fraktal).
  3. Die Endpunkte dieser Netzwerke sind invariant.
  4. Die Evolution hat die Energiedissipation der Organismen minimiert und/oder die Oberflächen maximiert, über die der Ressourcenaustausch stattfindet.

Aus diesen Prinzipien scheinen sich wenigstens die Allometrien mit sehr einfachen Skalengesetzen (die Exponenten tendieren dazu, ganzzahlige Vielfache von 1/4 zu sein) ableiten zu lassen.

Beispiele sind die Beziehungen zwischen

Chemie Bearbeiten

Modernes Goldschmidt-Diagramm

Physik Bearbeiten

Linguistik Bearbeiten

Internet Bearbeiten

Das Internet ist ein riesiges Netzwerk mit emergenten Phänomenen wie selbstähnlicher Skalierung in den Burst-Mustern seines Datenverkehrs und skalenfreier Struktur in der Verbindungstopologie.

Weblogs Bearbeiten

Auch andere selbstlinkende Internet-Plattformen wie Weblogs zeigen einen bestimmten Zusammenhang: neue Weblogs linken bevorzugt – d. h. mit höherer Wahrscheinlichkeit – auf schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter. Dieser Verlinkungs-Algorithmus ist übrigens auch die Regel für die Erstellung eines skalenfreien Netzes.

Wirtschaftswissenschaften Bearbeiten

Hauptartikel: Pareto-Verteilung : ...

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Geoffrey West: Scaling Laws in Biology: Growth, Mortality, Cancer and Sleep, abgerufen am 16. Dezember 2014.
  2. G. B. West, James H. Brown, Brian J. Enquist. A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology. in: Science. Washington 276.1997, 5309, S. 122–126. ISSN 0036-8075
  3. W. Willinger, R. Govindan, S. Jamin, V. Paxson, S. Shenker: Scaling phenomena in the Internet. Critically examining criticality. in: Proceedings of the National Academy of Sciences (PNAS). Suppl 1. Washington 99.2002, (19. Febr.), 2573-2580. ISSN 0027-8424
  4. shirky.com: (Memento vom 8. Februar 2006 im Internet Archive)
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Dieser Artikel oder Abschnitt bedarf einer grundsatzlichen Uberarbeitung Naheres sollte auf der Diskussionsseite angegeben sein Bitte hilf mit ihn zu verbessern und entferne anschliessend diese Markierung Unter Skalengesetzen oder Skalierungsgesetzen versteht man die Manifestationen von mathematischen Beziehungen der Art f x b c x displaystyle f x bc x d h exponentielle Beziehungen oder f x b x c displaystyle f x bx c d h Potenz oder polynomiale Beziehungen wobei b displaystyle b und c displaystyle c reelle Konstanten darstellen Potenzgesetze sind haufiger anzutreffen als exponentielle Beziehungen Derartige Beziehungen sind in der Natur und Gesellschaft so verbreitet dass man von einem strukturbildenden Prinzip sprechen kann Teilweise handelt es sich um rein empirisch gefundene Verteilungen teilweise konnten diese aber auf eine solide theoretische Basis gestellt werden so dass im naturwissenschaftlichen Sinne von Gesetzen gesprochen werden kann Das begrundet sich unter anderem darin dass x t c e t displaystyle x t ce t die Losung der simpelsten linearen Differentialgleichung x x displaystyle dot x x ist die einen sich selbst beschleunigenden Prozess beschreibt z B das Wachstum einer Population ohne Ressourcenbeschrankung Skalenbeziehung die auf Potenzgesetzen beruhen sind skaleninvariant aufgrund der Beziehung f a x b a x c a c b x c a c f x f x displaystyle f ax b ax c a c bx c a c f x propto f x d h dass f a x displaystyle f ax proportional f x displaystyle f x ist und sich die Charakteristika von f displaystyle f nicht verandern Exponentielle Beziehungen zeigen diese Skaleninvarianz nicht Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 1 1 Statistik 1 2 Biologie 1 3 Chemie 1 4 Physik 1 5 Linguistik 1 6 Internet 1 6 1 Weblogs 1 7 Wirtschaftswissenschaften 2 Siehe auch 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenStatistik Bearbeiten Benfords Gesetz besagt dass die Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Ziffern D displaystyle D nbsp der ersten Stelle von Haufigkeitszahlen die aus naturlichen Verteilungen gewonnen wurden der Beziehung f D log 1 1 D displaystyle f D log 1 1 D nbsp genugt D h in gut 30 aller Zahlen findet sich die 1 an der ersten Stelle in 17 die 2 usw Biologie Bearbeiten Geoffrey West 1 2 fuhrt die Universalitat von Skalengesetzen in der Biologie auf folgende Punkte zuruck Organismen aller Grossenordnungen werden von hierarchisch verzweigten Stoffwechsel Versorgungsnetzen am Leben erhalten Diese Netzwerke sind raumfullend und oft fraktal Die Endpunkte dieser Netzwerke sind invariant Die Evolution hat die Energiedissipation der Organismen minimiert und oder die Oberflachen maximiert uber die der Ressourcenaustausch stattfindet Aus diesen Prinzipien scheinen sich wenigstens die Allometrien mit sehr einfachen Skalengesetzen die Exponenten tendieren dazu ganzzahlige Vielfache von 1 4 zu sein ableiten zu lassen Beispiele sind die Beziehungen zwischen Metabolismusrate U displaystyle U nbsp und Korpermasse M displaystyle M nbsp auch Gesetz der Stoffwechselreduktion Gesetz der Reduktion spezifischer Stoffwechselraten oder Allometrie genannt U a M b displaystyle U aM b nbsp mit b 3 4 displaystyle b approx 3 4 nbsp der Masse der weissen und der grauen Substanz im Saugergehirn Baumstammbasisdurchmesser und Gesamtlaubwerkflache Baumstammdurchmesser und der Haufigkeit der Baumexemplare in einem WaldChemie Bearbeiten Haufigkeit der chemischen Elemente in der Erdkruste Goldschmidt Diagramm nbsp Modernes Goldschmidt DiagrammPhysik Bearbeiten Stefan Boltzmann Gesetz 1 f Rauschen Bei dem 1 f Rauschen folgt die Amplitudenverteilung des Rausch Signals einem Skalengesetz genauer gesagt einem Potenzgesetz A f f a displaystyle A f f alpha nbsp wobei A f displaystyle A f nbsp die Amplitude zu einer Frequenz f displaystyle f nbsp bezeichnet und a 1 displaystyle alpha approx 1 nbsp daher auch die Bezeichnung 1 f Rauschen wegen f 1 1 f displaystyle f 1 1 f nbsp Statistische Physik Kritisches Verhalten bei Phasenubergangen zweiter Art Dieses Verhalten z B M T T c b displaystyle M sim T T mathrm c beta nbsp mit der Magnetisierung M displaystyle M nbsp der kritischen Temperatur T c displaystyle T mathrm c nbsp und dem kritischen Exponenten b displaystyle beta nbsp ist beschrieben unter Skaleninvarianz Hochenergiephysik Hier beobachtet man in der Tat ebenfalls sog kritische Exponenten die man in der Sprache der Hochenergiephysik als anomale Dimensionen bezeichnet Thomsonsche Geschwindigkeitsskalierung Fur hohe Energien hangt der Wirkungsquerschnitt fur die Elektronenstossionisation in isoelektronischen Reihen nur noch von E m Projektil displaystyle left tfrac E m right text Projektil nbsp ab Linguistik Bearbeiten Hauptartikel Zipfsches Gesetz Internet Bearbeiten Das Internet ist ein riesiges Netzwerk mit emergenten Phanomenen wie selbstahnlicher Skalierung in den Burst Mustern seines Datenverkehrs und skalenfreier Struktur in der Verbindungstopologie 3 Weblogs Bearbeiten Auch andere selbstlinkende Internet Plattformen wie Weblogs zeigen einen bestimmten Zusammenhang neue Weblogs linken bevorzugt d h mit hoherer Wahrscheinlichkeit auf schon beliebte Weblogs und machen diese noch beliebter 4 Dieser Verlinkungs Algorithmus ist ubrigens auch die Regel fur die Erstellung eines skalenfreien Netzes Wirtschaftswissenschaften Bearbeiten Hauptartikel Pareto Verteilung Siehe auch BearbeitenABC Analyse Gini Koeffizient The Long Tail Matthaus Effekt Pareto Verteilung PotenzgesetzWeblinks BearbeitenWie Erdbeben einen Nutzen bekommen Auf wissenschaft de vom 10 Januar 2008 Einzelnachweise Bearbeiten Geoffrey West Scaling Laws in Biology Growth Mortality Cancer and Sleep abgerufen am 16 Dezember 2014 G B West James H Brown Brian J Enquist A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology in Science Washington 276 1997 5309 S 122 126 ISSN 0036 8075 W Willinger R Govindan S Jamin V Paxson S Shenker Scaling phenomena in the Internet Critically examining criticality in Proceedings of the National Academy of Sciences PNAS Suppl 1 Washington 99 2002 19 Febr 2573 2580 ISSN 0027 8424 shirky com Power Laws Weblogs and Inequality Memento vom 8 Februar 2006 im Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Skalengesetz amp oldid 238664914