www.wikidata.de-de.nina.az

Friedmann Gleichungen Die zwei beschreiben in der Kosmologie die zeitliche Entwicklung des Universums Sie werden manchma

Friedmann-Gleichungen

Die zwei Friedmann-Gleichungen beschreiben in der Kosmologie die zeitliche Entwicklung des Universums. Sie werden manchmal auch als Friedmann-Lemaître-Gleichungen bezeichnet, weil sie von Alexander Friedmann und unabhängig von ihm auch von Georges Lemaître entdeckt wurden. Sie sind eine Vereinfachung der einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie (ART) unter der Annahme eines homogenen und isotropen Weltalls (Kosmologisches Prinzip). Aus den Gleichungen lassen sich je nach dem Energiegehalt des Universums Voraussagen über seine zeitliche Entwicklung herleiten, d. h. die spezielle Form der Expansion oder Kontraktion.

Die Materieverteilung im Universum ist auf geringen Entfernungen sehr unregelmäßig, erscheint allerdings ab mehreren hundert Megaparsec zunehmend isotrop, d. h. in alle Richtungen gleich aussehend. Unter der Annahme, dass ein Beobachter im Universum in keiner Weise privilegiert ist (kopernikanisches Prinzip), leitet sich daraus unmittelbar ab, dass das Universum von jedem Standpunkt aus isotrop und homogen aussieht.

Formulierung Bearbeiten

Berücksichtigt man die Isotropie der Materieverteilung, so folgt, dass der räumliche Anteil des Energie-Impuls-Tensors eine relativ einfache Form bekommt und ein Vielfaches des Einheitstensors sein muss:

Dabei steht

Das kosmologische Prinzip macht nun die weitere Annahme erforderlich, dass die Krümmung des Raumes unabhängig von der Position im Raum sein soll. Diese Annahme führt zu einer relativ speziellen Form des metrischen Tensors. Werden dieser Tensor und die eben gezeigte Form des Energie-Impuls-Tensors in die einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie mit kosmologischer Konstante eingesetzt, so kann man daraus die Robertson-Walker-Metrik ableiten, die unten näher beschrieben wird.

Bei dieser Herleitung erhält man zusätzlich auch die erste Friedmann-Gleichung in ihrer modernen Fassung mit kosmologischer Konstante:

sowie die Beschleunigungsgleichung

Hierbei bezeichnet

Teils wird auch nur die erste Gleichung als Friedmann-Gleichung bezeichnet.

Grundlegendes Bearbeiten

Albert Einstein ging zunächst von einem statischen Universum aus, das sich weder ausdehnt noch zusammenzieht. Dazu musste er in seinen Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie eine entsprechende Konstante einführen, die er kosmologische Konstante (Λ) nannte.

Der russische Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann verwarf diese Annahme eines statischen Universums und setzte die kosmologische Konstante gleich Null. Stattdessen stellte er mit den nach ihm benannten Friedmann-Gleichungen drei Modelle eines expandierenden Universums auf. Diese beeinflussten in der Folge erheblich die physikalischen Auffassungen und Modelle Einsteins.

Die Gleichungen sagen in Abhängigkeit von der totalen Energiedichte verschiedene Werte für die Krümmung der Raumzeit voraus (entsprechend den Werten −1, 0 oder +1 für in obigen Gleichungen):

  1. Modell: Die Energiedichte des Universums ist größer als die kritische Energiedichte (siehe unten). Dann ist die Krümmung der Raumzeit positiv , das Universum „sphärisch“ (ein zweidimensionales Analogon wäre die Oberfläche einer Kugel). Ein solches sphärisches Universum ist übrigens auch geschlossen: Obwohl unberandet, wäre es nur endlich groß. Wer lange genug in eine Richtung läuft, kommt irgendwann zu seinem Ausgangspunkt zurück.
  2. Modell: Die Energiedichte ist genau so groß wie die kritische Energiedichte. Die Raumzeit hat verschwindende Krümmung , das Universum ist „flach“ (entspräche in zwei Dimensionen einer Ebene).
  3. Modell: Die Energiedichte ist kleiner als der kritische Wert. Die Krümmung der Raumzeit ist negativ , das Universum „hyperbolisch“.

Je nach Zustandsgleichung der im Universum enthaltenen Materie ergeben sich auch drei verschiedene Möglichkeiten für die weitere Entwicklung des Universums:

  1. Möglichkeit: Die Gravitation ist in der Lage, die Expansion so weit abzubremsen, dass sie zum Stillstand kommt und sich umkehrt. Das Universum zieht sich auf einen einzigen Punkt zusammen (Big Crunch). Über die weitere Entwicklung „nach“ diesem Ereignis kann nur spekuliert werden. Einige Szenarien sehen die Möglichkeit eines „pulsierenden“ Universums vor.
  2. Möglichkeit: Die Gravitation verlangsamt die Expansion immer weiter, bringt sie jedoch nicht zum Stillstand.
  3. Möglichkeit: Die Expansion beschleunigt sich und die gewöhnliche Materie im Universum wird immer weiter ausgedünnt (Big Freeze).

Die verschiedenen Möglichkeiten für die Krümmung und das Expansionsverhalten des Universums sind zunächst unabhängig voneinander. Erst durch verschiedene einschränkende Annahmen über die vorkommenden Materieformen ergeben sich Abhängigkeiten.

Die durch die Friedmann-Gleichungen beschriebene Expansion des Universums liefert eine Erklärung für den 1929 von Edwin Hubble entdeckten linearen Zusammenhang von Rotverschiebung und Entfernung. Hubble selbst interpretierte seine Beobachtungen damals zunächst als optischen Dopplereffekt. Modelle statischer Universen, die zuvor populär waren, können die beobachtete Rotverschiebung nicht erklären und verloren somit weiter an Bedeutung.

Die Expansionsrate wird mit der Hubble-Konstante H0 angegeben. Aus H0 lässt sich das Alter des Universums bestimmen, wobei jedes der drei Modelle einen anderen Wert liefert.

Aus neuesten Messungen der Expansionsrate über die Hintergrundstrahlung des Weltalls ergibt sich derzeit (August 2012) folgendes Bild:

  • Die Hubble-Konstante beträgt 74,3 km/(s · Mpc), wobei gilt: 1  Mpc = 1.000.000 Parsec und 1 Parsec = 3,26 Lichtjahre. Daraus ergibt sich ein Alter des Universums von 13,82 Milliarden Jahren.
  • Das Universum ist im Rahmen der Messgenauigkeit flach.
  • Die Expansion beschleunigt sich.

Die gesamte Energiedichte des Universums setzt sich nach neuesten Erkenntnissen zusammen aus:

Herleitung Bearbeiten

Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie Bearbeiten

Obwohl die Gravitation die schwächste der vier bekannten Wechselwirkungen ist, stellt sie auf größeren Maßstäben die dominierende Kraft im Universum dar und bestimmt dessen Entwicklung und Dynamik. Die gegenwärtig beste Beschreibung der Gravitation ist die allgemeine Relativitätstheorie (ART). Diese verknüpft die Verteilung und Dynamik der Materie mit der Geometrie der Raumzeit gemäß:

Hierin beschreibt der Einstein-Tensor G die Geometrie der Raumzeit, während der Energie-Impuls-Tensor T alle Materie- und Energiefelder umfasst. Der (0,2)-Tensor heißt Einsteinmetrik und stellt die allgemein-relativistische Verallgemeinerung des metrischen Tensors

für die statische und flache Minkowski-Raumzeit auf gekrümmte Raumzeiten dar. steht für die kosmologische Konstante. Letztere wird unter anderem als Vakuumenergie interpretiert, die mit Hilfe virtueller Teilchen zwar berechnet werden kann, aber unbefriedigende Werte ergibt. Ihre eigentliche Natur ist also noch nicht ausreichend verstanden.

Exakte Lösungen für die Feldgleichungen wurden bisher nur für hochsymmetrische Materieverteilungen gefunden. Das Problem besteht darin, für die oben beschriebene, idealisierte Materie- und Energieverteilung T einen passenden metrischen Tensor g zu finden, aus der sich der Einsteintensor G zusammensetzt.

Der metrische Tensor kann über das sogenannte Linienelement dargestellt werden:

wobei über identische hoch- und tiefgestellte Indizes über alle möglichen Werte des Index zu summieren ist. Diese abkürzende Schreibweise wird auch einsteinsche Summenkonvention genannt.

Metrischer Tensor für ein symmetrisches Universum Bearbeiten

Howard P. Robertson (1935) und Arthur Geoffrey Walker (1936) fanden, wie oben bereits angedeutet, unabhängig voneinander eine Lösung für die Feldgleichungen für den Fall eines idealisierten Kosmos mit konstanter Krümmung. Das Linienelement dieser Geometrie, welches bereits 1922 von Friedmann benutzt wurde, lautet

Hierbei stellt die „mitbewegte“ Radialkoordinate dar, die Eigenzeit eines „mitbewegten Beobachters“, den Expansionsfaktor des Universums. und kennzeichnen die beiden Winkelkoordinaten, analog zu einem sphärischen Koordinatensystem. Ein mitbewegter Beobachter folgt der Expansion des Universums. Seine mitbewegte Radialkoordinate behält hierbei ihren numerischen Wert.

Die Funktion unterscheidet zwischen dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen konstanter Zeit mit positiver, verschwindender oder negativer Krümmung . Unter einer solchen Hyperfläche versteht man alle Ereignisse, die zur gleichen kosmologischen Zeit stattfinden. Zum Beispiel formen unsere Milchstraße und alle anderen Galaxien heute eine raumartige Hyperfläche. Nur sehen wir diese Galaxien aufgrund der Lichtlaufzeit nicht in diesem heutigen Zustand, sondern in einem individuellen und bereits vergangenen Zustand. Die raumartige Hyperfläche, welche sie aufspannen, ist daher keiner Beobachtung zugänglich.

ist gegeben durch

Durch Umskalieren der Radialkoordinate und Neudefinition des Skalenfaktors lässt sich der Krümmungsparameter auf einen der Werte −1, 0 oder 1 festlegen. Mit der Robertson-Walker-Metrik und der oben gezeigten Form des Energie-Impuls-Tensors können aus den einsteinschen Feldgleichungen die Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden. Details dazu finden sich unter anderem in Gravitation (Misner, Thorne und Wheeler, 1973).

Energieerhaltung Bearbeiten

Die Friedmann-Gleichungen lassen sich zu einer weiteren Gleichung kombinieren, die in anschaulicher Weise die Massen- und Energieerhaltung beschreibt

Die erste Friedmann-Gleichung genügt daher, um zusammen mit dem Energieerhaltungssatz die globale Entwicklung des Universums zu beschreiben.

Spezielle Lösungen Bearbeiten

Die Friedmann-Gleichungen enthalten die drei unbekannten Funktionen , und . Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, ist daher eine weitere Gleichung, die Zustandsgleichung der Materie, nötig. Gewöhnliche (baryonische) Materie, Strahlung und die Kosmologische Konstante bilden die Hauptquellen der Gravitation auf der rechten Seite der Feldgleichungen der ART. Die Materie kann hierbei als druckloser „Staub“ angesehen werden, d. h., die Teilchen bewegen sich kollisionsfrei mit nicht-relativistischen Geschwindigkeiten. Für die drei unbekannten Funktionen gelten damit die folgenden drei Zustandsgleichungen:

Aus der Energieerhaltung ergibt sich daraus der Zusammenhang zwischen Dichte und Skalenfaktor :

Als Anfangswert für die Friedmann-Gleichungen wird verwendet, wobei die kosmologische Zeit im Jetzt darstellt. Mit den Konstanten

welche die Materiedichte und Vakuumenergiedichte parametrisieren, kann die erste Friedmann-Gleichung als

geschrieben werden. Die Hubble-Funktion wird dabei, wie oben, gemäß

definiert. Diese beschreibt die Expansionsrate des Universums, mit zum heutigen Zeitpunkt. Die Strahlungsdichte wurde vernachlässigt, da sie mit abfällt und daher gegenüber der Materiedichte rasch unbedeutend wird.

Löst man die erste Friedmann-Gleichung für den speziellen Zeitpunkt , sieht man, dass die Konstanten nicht unabhängig sind, sondern dass gilt

Setzt man dies in die erste Friedmann-Gleichung ein, erhält man die bekannteste Darstellung:

Für ein flaches Universum mit , wie dem unseren, kann man eine explizite Lösung dieser Gleichung für den Skalenfaktor angeben. Mit dem Verfahren der Variablentrennung lässt sich diese Differentialgleichung in ein Integral verwandeln. Wählt man die Integrationskonstante so, dass neben auch gilt, so folgt

wählt man dann noch , so dass das Universum einen singulären Anfang besitzt, so berechnet sich das Weltalter in diesem vereinfachten Modell, d. h. unter Vernachlässigung der Strahlungsära, gemäß

Die Formel für lässt sich damit auf

vereinfachen. Daraus erhält man durch eine einfache Umformung die folgende Formel für die Zeitabhängigkeit des Skalenfaktors:

Dieser Ausdruck beschreibt das Expansionsverhalten für ein flaches Universum mit kosmologischer Konstante. Peacock (2001) und Carroll (1992) haben einen identischen Ausdruck in anderer analytischer Form hergeleitet. Es folgt weiter

Die über das Planck-Weltraumteleskop gemessenen Schwankungen in der Hintergrundstrahlung erlauben Rückschlüsse auf die Geometrie unseres Universums. Demnach ist dieses flach, mit einem Materiedichteparameter , einem Vakuumdichteparameter und einer Hubblekonstante von .

Kosmologische Rotverschiebung und Entfernungsmaße Bearbeiten

In dynamischen und gekrümmten Raumzeiten gibt es im Gegensatz zu euklidischen Räumen kein eindeutiges Entfernungsmaß mehr. Es existieren vielmehr verschiedene gleichberechtigte Entfernungsdefinitionen, die unter anderem mit Hilfe des Linienelementes eines Photons und der kosmologischen Rotverschiebung begründet bzw. abgeleitet werden können.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Torsten Fließbach: Allgemeine Relativitätstheorie. 4. Auflage, Elsevier – Spektrum Akademischer Verlag, 2003, ISBN 3-8274-1356-7

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • S. M. Caroll, W. H. Press, E. L. Turner: The Cosmolocial Constant, Ann. Rev. Astr. Astrophys., Band 30, 1992, S. 499–542
  • A. Friedmann: Über die Krümmung des Raumes. In: Zeitschrift für Physik, Band 10, Nr. 1, 1922, S. 377–386
  • C. Misner, K. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
  • J. A. Peacock: Cosmological Physics, Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-42270-1.
  • H. P. Robertson: Kinematics and world structure, Astrophysical Journal, Band 82, 1935, S. 284–301, Band 83, 1936, S. 187–201, S. 257–271
  • A. G. Walker: On Milne’s theory of world-structure, Proc. Lond. Math. Soc. (2), Band 42, 1936, S. 90–127
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die zwei Friedmann Gleichungen beschreiben in der Kosmologie die zeitliche Entwicklung des Universums Sie werden manchmal auch als Friedmann Lemaitre Gleichungen bezeichnet weil sie von Alexander Friedmann und unabhangig von ihm auch von Georges Lemaitre entdeckt wurden Sie sind eine Vereinfachung der einsteinschen Feldgleichungen der allgemeinen Relativitatstheorie ART unter der Annahme eines homogenen und isotropen Weltalls Kosmologisches Prinzip Aus den Gleichungen lassen sich je nach dem Energiegehalt des Universums Voraussagen uber seine zeitliche Entwicklung herleiten d h die spezielle Form der Expansion oder Kontraktion Die Materieverteilung im Universum ist auf geringen Entfernungen sehr unregelmassig erscheint allerdings ab mehreren hundert Megaparsec zunehmend isotrop d h in alle Richtungen gleich aussehend Unter der Annahme dass ein Beobachter im Universum in keiner Weise privilegiert ist kopernikanisches Prinzip leitet sich daraus unmittelbar ab dass das Universum von jedem Standpunkt aus isotrop und homogen aussieht Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung 2 Grundlegendes 3 Herleitung 3 1 Die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitatstheorie 3 2 Metrischer Tensor fur ein symmetrisches Universum 4 Energieerhaltung 5 Spezielle Losungen 6 Kosmologische Rotverschiebung und Entfernungsmasse 7 Einzelnachweise 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 LiteraturFormulierung BearbeitenBerucksichtigt man die Isotropie der Materieverteilung so folgt dass der raumliche Anteil des Energie Impuls Tensors T displaystyle T nbsp eine relativ einfache Form bekommt und ein Vielfaches des Einheitstensors sein muss 1 T m n g m k T k n diag r c 2 p p p displaystyle T mu nu g mu kappa T kappa nu operatorname diag rho c 2 p p p nbsp Dabei steht r r t displaystyle rho rho t nbsp fur die raumlich homogene Massendichte p p t displaystyle p p t nbsp fur den Druck beide Funktionen hangen nur vom zeitartigen Parameter t displaystyle t nbsp ab und c displaystyle c nbsp fur die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum Das kosmologische Prinzip macht nun die weitere Annahme erforderlich dass die Krummung des Raumes unabhangig von der Position im Raum sein soll Diese Annahme fuhrt zu einer relativ speziellen Form des metrischen Tensors Werden dieser Tensor und die eben gezeigte Form des Energie Impuls Tensors in die einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitatstheorie mit kosmologischer Konstante L displaystyle Lambda nbsp eingesetzt so kann man daraus die Robertson Walker Metrik ableiten die unten naher beschrieben wird Bei dieser Herleitung erhalt man zusatzlich auch die erste Friedmann Gleichung in ihrer modernen Fassung mit kosmologischer Konstante H 2 a a 2 8 p G 3 r k c 2 a 2 L c 2 3 displaystyle H 2 left frac dot a a right 2 frac 8 pi G 3 rho frac kc 2 a 2 frac Lambda c 2 3 nbsp sowie die Beschleunigungsgleichung H H 2 a a 4 p G 3 c 2 r c 2 3 p L c 2 3 displaystyle dot H H 2 frac ddot a a frac 4 pi G 3c 2 left rho c 2 3p right frac Lambda c 2 3 nbsp Hierbei bezeichnet H displaystyle H nbsp den Hubble Parameter a t displaystyle a t nbsp den Skalenfaktor G displaystyle G nbsp die Gravitationskonstante und k displaystyle k nbsp den Krummungsindex 0 1 1 aus der Robertson Walker Metrik Teils wird auch nur die erste Gleichung als Friedmann Gleichung bezeichnet Grundlegendes BearbeitenAlbert Einstein ging zunachst von einem statischen Universum aus das sich weder ausdehnt noch zusammenzieht Dazu musste er in seinen Gleichungen der allgemeinen Relativitatstheorie eine entsprechende Konstante einfuhren die er kosmologische Konstante L nannte Der russische Mathematiker und Physiker Alexander Friedmann verwarf diese Annahme eines statischen Universums und setzte die kosmologische Konstante gleich Null Stattdessen stellte er mit den nach ihm benannten Friedmann Gleichungen drei Modelle eines expandierenden Universums auf Diese beeinflussten in der Folge erheblich die physikalischen Auffassungen und Modelle Einsteins Die Gleichungen sagen in Abhangigkeit von der totalen Energiedichte verschiedene Werte fur die Krummung der Raumzeit voraus entsprechend den Werten 1 0 oder 1 fur k displaystyle k nbsp in obigen Gleichungen Modell Die Energiedichte des Universums ist grosser als die kritische Energiedichte siehe unten Dann ist die Krummung der Raumzeit positiv k 1 displaystyle k 1 nbsp das Universum spharisch ein zweidimensionales Analogon ware die Oberflache einer Kugel Ein solches spharisches Universum ist ubrigens auch geschlossen Obwohl unberandet ware es nur endlich gross Wer lange genug in eine Richtung lauft kommt irgendwann zu seinem Ausgangspunkt zuruck Modell Die Energiedichte ist genau so gross wie die kritische Energiedichte Die Raumzeit hat verschwindende Krummung k 0 displaystyle k 0 nbsp das Universum ist flach entsprache in zwei Dimensionen einer Ebene Modell Die Energiedichte ist kleiner als der kritische Wert Die Krummung der Raumzeit ist negativ k 1 displaystyle k 1 nbsp das Universum hyperbolisch Je nach Zustandsgleichung der im Universum enthaltenen Materie ergeben sich auch drei verschiedene Moglichkeiten fur die weitere Entwicklung des Universums Moglichkeit Die Gravitation ist in der Lage die Expansion so weit abzubremsen dass sie zum Stillstand kommt und sich umkehrt Das Universum zieht sich auf einen einzigen Punkt zusammen Big Crunch Uber die weitere Entwicklung nach diesem Ereignis kann nur spekuliert werden Einige Szenarien sehen die Moglichkeit eines pulsierenden Universums vor Moglichkeit Die Gravitation verlangsamt die Expansion immer weiter bringt sie jedoch nicht zum Stillstand Moglichkeit Die Expansion beschleunigt sich und die gewohnliche Materie im Universum wird immer weiter ausgedunnt Big Freeze Die verschiedenen Moglichkeiten fur die Krummung und das Expansionsverhalten des Universums sind zunachst unabhangig voneinander Erst durch verschiedene einschrankende Annahmen uber die vorkommenden Materieformen ergeben sich Abhangigkeiten Die durch die Friedmann Gleichungen beschriebene Expansion des Universums liefert eine Erklarung fur den 1929 von Edwin Hubble entdeckten linearen Zusammenhang von Rotverschiebung und Entfernung Hubble selbst interpretierte seine Beobachtungen damals zunachst als optischen Dopplereffekt Modelle statischer Universen die zuvor popular waren konnen die beobachtete Rotverschiebung nicht erklaren und verloren somit weiter an Bedeutung Die Expansionsrate wird mit der Hubble Konstante H0 angegeben Aus H0 lasst sich das Alter des Universums bestimmen wobei jedes der drei Modelle einen anderen Wert liefert Aus neuesten Messungen der Expansionsrate uber die Hintergrundstrahlung des Weltalls ergibt sich derzeit August 2012 folgendes Bild Die Hubble Konstante betragt 74 3 km s Mpc wobei gilt 1 Mpc 1 000 000 Parsec und 1 Parsec 3 26 Lichtjahre Daraus ergibt sich ein Alter des Universums von 13 82 Milliarden Jahren Das Universum ist im Rahmen der Messgenauigkeit flach Die Expansion beschleunigt sich Die gesamte Energiedichte des Universums setzt sich nach neuesten Erkenntnissen zusammen aus 68 Vakuum Energiedichte Dunkle Energie 28 kalte dunkle Materie 4 baryonische Materie d h die normalen Elemente falls uberhaupt weniger als 1 heisse dunkle Materie Herleitung BearbeitenDie Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitatstheorie Bearbeiten Obwohl die Gravitation die schwachste der vier bekannten Wechselwirkungen ist stellt sie auf grosseren Massstaben die dominierende Kraft im Universum dar und bestimmt dessen Entwicklung und Dynamik Die gegenwartig beste Beschreibung der Gravitation ist die allgemeine Relativitatstheorie ART Diese verknupft die Verteilung und Dynamik der Materie mit der Geometrie der Raumzeit gemass G m n 8 p G c 4 T m n g m n L m n 0 1 2 3 displaystyle G mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu g mu nu Lambda qquad mu nu in 0 1 2 3 nbsp Hierin beschreibt der Einstein Tensor G die Geometrie der Raumzeit wahrend der Energie Impuls Tensor T alle Materie und Energiefelder umfasst Der 0 2 Tensor g displaystyle g nbsp heisst Einsteinmetrik und stellt die allgemein relativistische Verallgemeinerung des metrischen Tensors h m n diag 1 1 1 1 displaystyle eta mu nu operatorname diag 1 1 1 1 nbsp fur die statische und flache Minkowski Raumzeit auf gekrummte Raumzeiten dar L displaystyle Lambda nbsp steht fur die kosmologische Konstante Letztere wird unter anderem als Vakuumenergie interpretiert die mit Hilfe virtueller Teilchen zwar berechnet werden kann aber unbefriedigende Werte ergibt Ihre eigentliche Natur ist also noch nicht ausreichend verstanden Exakte Losungen fur die Feldgleichungen wurden bisher nur fur hochsymmetrische Materieverteilungen gefunden Das Problem besteht darin fur die oben beschriebene idealisierte Materie und Energieverteilung T einen passenden metrischen Tensor g zu finden aus der sich der Einsteintensor G zusammensetzt Der metrische Tensor kann uber das sogenannte Linienelement dargestellt werden d s 2 g m n d x m d x n displaystyle mathrm d s 2 g mu nu mathrm d x mu mathrm d x nu nbsp wobei uber identische hoch und tiefgestellte Indizes uber alle moglichen Werte des Index zu summieren ist Diese abkurzende Schreibweise wird auch einsteinsche Summenkonvention genannt Metrischer Tensor fur ein symmetrisches Universum Bearbeiten Howard P Robertson 1935 und Arthur Geoffrey Walker 1936 fanden wie oben bereits angedeutet unabhangig voneinander eine Losung fur die Feldgleichungen fur den Fall eines idealisierten Kosmos mit konstanter Krummung Das Linienelement dieser Geometrie welches bereits 1922 von Friedmann benutzt wurde lautet d s 2 c 2 d t 2 a 2 t d r 2 f k 2 r d 8 2 sin 2 8 d ϕ 2 displaystyle mathrm d s 2 c 2 mathrm d t 2 a 2 t left mathrm d r 2 f k 2 r left mathrm d theta 2 sin 2 theta mathrm d phi 2 right right nbsp Hierbei stellt r displaystyle r nbsp die mitbewegte Radialkoordinate dar t displaystyle t nbsp die Eigenzeit eines mitbewegten Beobachters a t displaystyle a t nbsp den Expansionsfaktor des Universums 8 displaystyle theta nbsp und ϕ displaystyle phi nbsp kennzeichnen die beiden Winkelkoordinaten analog zu einem spharischen Koordinatensystem Ein mitbewegter Beobachter folgt der Expansion des Universums Seine mitbewegte Radialkoordinate behalt hierbei ihren numerischen Wert Die Funktion f k r displaystyle f k r nbsp unterscheidet zwischen dreidimensionalen raumartigen Hyperflachen konstanter Zeit t displaystyle t nbsp mit positiver verschwindender oder negativer Krummung k displaystyle k nbsp Unter einer solchen Hyperflache versteht man alle Ereignisse die zur gleichen kosmologischen Zeit stattfinden Zum Beispiel formen unsere Milchstrasse und alle anderen Galaxien heute eine raumartige Hyperflache Nur sehen wir diese Galaxien aufgrund der Lichtlaufzeit nicht in diesem heutigen Zustand sondern in einem individuellen und bereits vergangenen Zustand Die raumartige Hyperflache welche sie aufspannen ist daher keiner Beobachtung zuganglich f k r displaystyle f k r nbsp ist gegeben durch f k r 1 k sin k r k gt 0 r k 0 1 k sinh k r k lt 0 displaystyle f k r begin cases frac 1 sqrt k sin sqrt k r amp k gt 0 r amp k 0 frac 1 sqrt k sinh sqrt k r amp k lt 0 end cases nbsp Durch Umskalieren der Radialkoordinate r displaystyle r nbsp und Neudefinition des Skalenfaktors a displaystyle a nbsp lasst sich der Krummungsparameter k displaystyle k nbsp auf einen der Werte 1 0 oder 1 festlegen Mit der Robertson Walker Metrik und der oben gezeigten Form des Energie Impuls Tensors konnen aus den einsteinschen Feldgleichungen die Friedmann Gleichungen abgeleitet werden Details dazu finden sich unter anderem in Gravitation Misner Thorne und Wheeler 1973 Energieerhaltung BearbeitenDie Friedmann Gleichungen lassen sich zu einer weiteren Gleichung kombinieren 1 die in anschaulicher Weise die Massen und Energieerhaltung beschreibt d d t r a 3 p c 2 d d t a 3 displaystyle frac text d text d t rho a 3 frac p c 2 frac text d text d t a 3 nbsp Die erste Friedmann Gleichung genugt daher um zusammen mit dem Energieerhaltungssatz die globale Entwicklung des Universums zu beschreiben Spezielle Losungen BearbeitenDie Friedmann Gleichungen enthalten die drei unbekannten Funktionen a t displaystyle a t nbsp r t displaystyle rho t nbsp und p t displaystyle p t nbsp Um eine eindeutige Losung zu erhalten ist daher eine weitere Gleichung die Zustandsgleichung der Materie notig Gewohnliche baryonische Materie Strahlung und die Kosmologische Konstante bilden die Hauptquellen der Gravitation auf der rechten Seite der Feldgleichungen der ART Die Materie kann hierbei als druckloser Staub angesehen werden d h die Teilchen bewegen sich kollisionsfrei mit nicht relativistischen Geschwindigkeiten Fur die drei unbekannten Funktionen gelten damit die folgenden drei Zustandsgleichungen p m a t 0 displaystyle p mathrm mat 0 nbsp p s t r c 2 r s t r 3 displaystyle p mathrm str c 2 rho mathrm str 3 nbsp p L c 2 r L displaystyle p Lambda c 2 rho Lambda nbsp Aus der Energieerhaltung ergibt sich daraus der Zusammenhang zwischen Dichte r displaystyle rho nbsp und Skalenfaktor a displaystyle a nbsp r m a t a 3 displaystyle rho mathrm mat propto a 3 nbsp r s t r a 4 displaystyle rho mathrm str propto a 4 nbsp r L const displaystyle rho Lambda text const nbsp Als Anfangswert fur die Friedmann Gleichungen wird a t 0 a 0 displaystyle a t 0 a 0 nbsp verwendet wobei t 0 displaystyle t 0 nbsp die kosmologische Zeit im Jetzt darstellt Mit den Konstanten W M 8 p G 3 H 0 2 r 0 W L L c 2 3 H 0 2 displaystyle Omega rm M frac 8 pi G 3H 0 2 rho 0 qquad Omega Lambda frac Lambda c 2 3H 0 2 nbsp welche die Materiedichte und Vakuumenergiedichte parametrisieren kann die erste Friedmann Gleichung als H 2 t H 0 2 W M a 0 3 a 3 k c 2 a 2 H 0 2 W L displaystyle H 2 t H 0 2 left Omega rm M frac a 0 3 a 3 frac kc 2 a 2 H 0 2 Omega Lambda right nbsp geschrieben werden Die Hubble Funktion wird dabei wie oben gemass H t a t a t displaystyle H t dot a t a t nbsp definiert Diese beschreibt die Expansionsrate des Universums mit H 0 H t 0 displaystyle H 0 H t 0 nbsp zum heutigen Zeitpunkt Die Strahlungsdichte wurde vernachlassigt da sie mit a 4 displaystyle a 4 nbsp abfallt und daher gegenuber der Materiedichte rasch unbedeutend wird Lost man die erste Friedmann Gleichung fur den speziellen Zeitpunkt t t 0 displaystyle t t 0 nbsp sieht man dass die Konstanten nicht unabhangig sind sondern dass gilt k c 2 a 0 2 H 0 2 W M W L 1 displaystyle frac kc 2 a 0 2 H 0 2 Omega rm M Omega Lambda 1 nbsp Setzt man dies in die erste Friedmann Gleichung ein erhalt man die bekannteste Darstellung H 2 t H 0 2 W M a 0 3 a 3 1 W M W L a 0 2 a 2 W L displaystyle H 2 t H 0 2 left Omega rm M frac a 0 3 a 3 left 1 Omega rm M Omega Lambda right frac a 0 2 a 2 Omega Lambda right nbsp Fur ein flaches Universum mit W M W L 1 displaystyle Omega rm M Omega Lambda 1 nbsp wie dem unseren kann man eine explizite Losung dieser Gleichung fur den Skalenfaktor angeben Mit dem Verfahren der Variablentrennung lasst sich diese Differentialgleichung in ein Integral verwandeln Wahlt man die Integrationskonstante t 0 displaystyle t 0 nbsp so dass neben a 0 1 displaystyle a 0 1 nbsp auch a t 0 1 displaystyle a t 0 1 nbsp gilt so folgt t a t 0 2 3 H 0 W L ln a a 0 3 2 W L W M W L a a 0 3 W L 2 W L W M W L W L 2 displaystyle t a t 0 frac 2 3H 0 sqrt Omega Lambda ln left frac a a 0 3 2 Omega Lambda sqrt Omega rm M Omega Lambda a a 0 3 Omega Lambda 2 Omega Lambda sqrt Omega rm M Omega Lambda Omega Lambda 2 right nbsp wahlt man dann noch a 0 0 displaystyle a 0 0 nbsp so dass das Universum einen singularen Anfang besitzt so berechnet sich das Weltalter in diesem vereinfachten Modell d h unter Vernachlassigung der Strahlungsara gemass t 0 1 3 H 0 W L ln 1 W L 1 W L displaystyle t 0 frac 1 3H 0 sqrt Omega Lambda ln left frac 1 sqrt Omega Lambda 1 sqrt Omega Lambda right nbsp Die Formel fur t a displaystyle t a nbsp lasst sich damit auf t a 2 3 H 0 W L a r s i n h W L W M a a 0 3 displaystyle t a frac 2 3H 0 sqrt Omega Lambda rm arsinh left sqrt frac Omega Lambda Omega rm M left frac a a 0 right 3 right nbsp vereinfachen Daraus erhalt man durch eine einfache Umformung die folgende Formel fur die Zeitabhangigkeit des Skalenfaktors a t a 0 W M W L 3 sinh 2 3 w t mit w 3 H 0 W L 2 displaystyle a t a 0 sqrt 3 frac Omega rm M Omega Lambda sinh 2 3 omega t quad mbox mit quad omega frac 3 H 0 sqrt Omega Lambda 2 nbsp Dieser Ausdruck beschreibt das Expansionsverhalten fur ein flaches Universum mit kosmologischer Konstante Peacock 2001 und Carroll 1992 haben einen identischen Ausdruck in anderer analytischer Form hergeleitet Es folgt weiter H t H 0 W L coth w t displaystyle H t H 0 sqrt Omega Lambda coth omega t nbsp Die uber das Planck Weltraumteleskop gemessenen Schwankungen in der Hintergrundstrahlung erlauben Ruckschlusse auf die Geometrie unseres Universums Demnach ist dieses flach mit einem Materiedichteparameter W M 0 32 displaystyle Omega rm M 0 32 nbsp einem Vakuumdichteparameter W L 0 68 displaystyle Omega Lambda 0 68 nbsp und einer Hubblekonstante von H 0 67 11 km s 1 Mpc displaystyle H 0 67 11 text km s 1 text Mpc nbsp Kosmologische Rotverschiebung und Entfernungsmasse BearbeitenIn dynamischen und gekrummten Raumzeiten gibt es im Gegensatz zu euklidischen Raumen kein eindeutiges Entfernungsmass mehr Es existieren vielmehr verschiedene gleichberechtigte Entfernungsdefinitionen die unter anderem mit Hilfe des Linienelementes eines Photons und der kosmologischen Rotverschiebung begrundet bzw abgeleitet werden konnen Einzelnachweise Bearbeiten a b Torsten Fliessbach Allgemeine Relativitatstheorie 4 Auflage Elsevier Spektrum Akademischer Verlag 2003 ISBN 3 8274 1356 7Siehe auch BearbeitenUrknall Supernova Cosmology ProjectWeblinks BearbeitenFriedmann Modelle Video Kosmologie der Friedmann Gleichungen Jorn Loviscach 2014 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 19913 Literatur BearbeitenS M Caroll W H Press E L Turner The Cosmolocial Constant Ann Rev Astr Astrophys Band 30 1992 S 499 542 A Friedmann Uber die Krummung des Raumes In Zeitschrift fur Physik Band 10 Nr 1 1922 S 377 386 C Misner K Thorne J A Wheeler Gravitation W H Freeman San Francisco 1973 ISBN 0 7167 0344 0 J A Peacock Cosmological Physics Cambridge University Press 2001 ISBN 0 521 42270 1 H P Robertson Kinematics and world structure Astrophysical Journal Band 82 1935 S 284 301 Band 83 1936 S 187 201 S 257 271 A G Walker On Milne s theory of world structure Proc Lond Math Soc 2 Band 42 1936 S 90 127 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Friedmann Gleichungen amp oldid 238704843