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Einsteinsche Mannigfaltigkeit Die oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Di

Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

Definition Bearbeiten

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante existiert, so dass

gilt. Dabei ist der (0,2)-Ricci-Tensor und für jedes Die pseudo-riemannsche Metrik heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen von eigenständigem Interesse, da sie für und mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
  • Sei Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes eine Konstante (in Abhängigkeit von ) existiert, so dass
gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
  • Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante .
mit der kosmologischen Konstante und der Skalarkrümmung ist. Durch Spurbildung in der Gleichung erhält man
dabei bezeichnet die Dimension der Mannigfaltigkeit.

Literatur Bearbeiten

  • Arthur L. Besse: Einstein Manifolds. Reprint of the 1987 edition. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-74120-6 (Classics in mathematics).
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Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitatstheorie Es handelt sich um einen Spezialfall einer pseudo riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt Definition BearbeitenEine pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit M g displaystyle M g nbsp heisst Einsteinmannigfaltigkeit falls eine reelle Konstante l displaystyle lambda nbsp existiert so dass Ric p X Y l g p X Y displaystyle operatorname Ric p X Y lambda g p X Y nbsp gilt Dabei ist Ric p displaystyle operatorname Ric p nbsp der 0 2 Ricci Tensor und X Y T p M displaystyle X Y in T p M nbsp fur jedes p M displaystyle p in M nbsp Die pseudo riemannsche Metrik g displaystyle g nbsp heisst unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik Eigenschaften BearbeitenEinsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur fur Dimensionen n 4 displaystyle n geq 4 nbsp von eigenstandigem Interesse da sie fur n 2 displaystyle n 2 nbsp und n 3 displaystyle n 3 nbsp mit den Raumen mit konstanter Skalarkrummung beziehungsweise konstanter Schnittkrummung zusammenfallen Sei n 3 displaystyle n geq 3 nbsp Dann ist eine n dimensionale pseudo riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann wenn fur jedes p M displaystyle p in M nbsp eine Konstante l p displaystyle lambda p nbsp in Abhangigkeit von p displaystyle p nbsp existiert so dassRic p X Y l p g p X Y displaystyle operatorname Ric p X Y lambda p g p X Y nbsp dd gilt Im Unterschied zur Definition ist hier l displaystyle lambda nbsp vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhangig Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten welche beide die gleiche Konstante l displaystyle lambda nbsp haben ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante l displaystyle lambda nbsp Die Definition der Einsteinmetrik g displaystyle g nbsp ergibt sich aus der Aussage dass g displaystyle g nbsp eine Losung der einsteinschen VakuumfeldgleichungenRic p X Y 1 2 g p X Y s p g p X Y L 0 displaystyle operatorname Ric p X Y frac 1 2 g p X Y s p g p X Y Lambda 0 nbsp dd mit der kosmologischen Konstante L displaystyle Lambda nbsp und der Skalarkrummung s p displaystyle s p nbsp ist Durch Spurbildung in der Gleichung Ric p X Y l g p X Y displaystyle operatorname Ric p X Y lambda g p X Y nbsp erhalt mans p n l displaystyle s p n lambda nbsp dd dabei bezeichnet n displaystyle n nbsp die Dimension der Mannigfaltigkeit Literatur BearbeitenArthur L Besse Einstein Manifolds Reprint of the 1987 edition Springer Berlin u a 2008 ISBN 978 3 540 74120 6 Classics in mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einsteinsche Mannigfaltigkeit amp oldid 217900198