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Einsteinsche Feldgleichungen Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die einsteinschen Feldgleichungen

Einsteinsche Feldgleichungen

Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie wird durch die einsteinschen Feldgleichungen (nach Albert Einstein, auch Gravitationsgleichungen) das physikalische Phänomen der Gravitation durch Methoden der Differentialgeometrie mathematisch formuliert.

Feldgleichung auf einer Mauer in Leiden

Die Grundidee ist dabei die Verknüpfung einer Energie-Impuls-Verteilung mit der Geometrie der Raumzeit. Energie und Impuls werden dabei gemäß der speziellen Relativitätstheorie zu einem Vierertensor zusammengefasst, dem Energie-Impuls-Tensor, während ein metrischer Tensor die Geometrie der Raumzeit darstellt.

Grundsätzliche Annahmen und Forderungen Bearbeiten

Zur Aufstellung der Feldgleichungen sind zunächst physikalische Überlegungen notwendig, da die Form der Gleichungen postuliert werden muss. Der physikalische Ausgangspunkt von Einsteins Überlegungen ist das Äquivalenzprinzip: Masse und Energie sind äquivalent und jede Form der Energie induziert schwere Masse.

So wie in der newtonschen Gravitationstheorie die Masse das Gravitationsfeld verursacht, ist der natürlichste Ansatz für deren Verallgemeinerung, dass das Gravitationsfeld mathematisch von der Gestalt des Energie-Impuls-Tensors abhängig ist. Nun ist kein beliebiger symmetrischer Tensor, da er erfüllen muss. Das heißt, die Divergenz des Energie-Impuls-Tensors muss lokal, bei fester Raum- und Zeitkoordinate, verschwinden, damit der Energie- und Impulserhaltungssatz aufrechterhalten wird. Im Beitrag des Energie-Impuls-Tensors wird das Äquivalenzprinzip berücksichtigt. Der Energie-Impuls-Tensor beinhaltet neben der Massen-Energiedichte (Masse bzw. Energie pro Raumvolumen) aber auch weitere Beiträge, zum Beispiel den Druck, den ein Strahlungsfeld ausüben kann.

Entsprechend dem Äquivalenzprinzip sollte die Wirkung der Gravitation als Krümmung der Raumzeit dargestellt werden. Dem Energie-Impuls-Tensor als Quelle des Feldes sollte dementsprechend auf der anderen Seite der Gleichung ein Tensor gleicher Form gegenüberstehen, der die geometrischen Eigenschaften (Krümmung) der Raumzeit beschreibt, der Einsteintensor , aufgebaut aus dem grundlegenden metrischen Tensor und daraus abgeleiteten Krümmungs-Kovarianten und -Invarianten (siehe unten). Die Feldgleichungen nehmen also die Form an:

Die Konstante heißt einsteinsche Gravitationskonstante oder einfach Einsteinkonstante und wird als Proportionalitätskonstante angenommen ( ist die Gravitationskonstante).

Aus den bisherigen Überlegungen ergeben sich zusammengefasst diese Forderungen:

  1.    für eine flache Raumzeit, d. h. in Abwesenheit von Gravitation.
  2.   für die Energie-Impuls-Erhaltung.
  3.  aufgrund obiger Forderung für .
  4.  ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe, daher muss dies auch für gelten.
  5.  ist dementsprechend eine Kombination aus den grundlegenden geometrischen Kovarianten, die (symmetrische) Tensoren zweiter Stufe sind, dem Krümmungstensor und dem metrischen Tensor .

Die Feldgleichungen Bearbeiten

Aus diesen Forderungen ergeben sich die Feldgleichungen:

Hierbei ist die Gravitationskonstante, die Lichtgeschwindigkeit, der Ricci-Tensor, der Krümmungsskalar und der metrische Tensor.

Die Feldgleichungen können auch mit umgekehrtem Vorzeichen vor der Einsteinkonstanten definiert werden

Dieses Vorzeichen ist rein von der verwendeten Konvention abhängig und physikalisch nicht bedeutend; beide Konventionen sind weit verbreitet.

Die Feldgleichungen können auch umgeformt und dargestellt werden als

Hierbei ist der Laue-Skalar.

Die obigen Forderungen gestatten auch einen Term proportional dem metrischen Tensor auf der linken Seite, was zu Feldgleichungen mit einer kosmologischen Konstanten führt (siehe unten).

Zu den Feldgleichungen kommt noch die Bewegungsgleichung für sich auf einer Geodäte bewegende Testteilchen hinzu, die sogenannte Geodätengleichung (siehe Allgemeine Relativitätstheorie). Insgesamt drückt sich in den Feld- und Bewegungsgleichungen eine dynamische gegenseitige Beeinflussung von Energie-Impuls-Verteilung und Geometrie der Raumzeit aus.

Die Feldgleichungen bilden ein System von 16 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen, die durch Symmetrien auf 10 reduziert werden. Außerdem gibt es die vier Bianchi-Identitäten, die sich aus der Energie-Impuls-Erhaltung ergeben und das System weiter reduzieren. Es sind eine ganze Reihe exakter Lösungen bekannt, die meist bestimmten zusätzlichen Symmetrieforderungen genügen. Im materiefreien Raum haben die Feldgleichungen hyperbolischen Charakter, das heißt die Lösungen entsprechen Wellengleichungen (mit der Lichtgeschwindigkeit als maximaler Ausbreitungsgeschwindigkeit). Im Allgemeinen können sie nur numerisch gelöst werden, wofür es ausgefeilte Techniken und ein eigenes Spezialgebiet (Numerische Relativität) gibt. Es gibt auch einige exakte mathematische Resultate wie die Wohlgestelltheit des Cauchy-Problems (Yvonne Choquet-Bruhat), die Singularitäten-Theoreme von Roger Penrose und Stephen Hawking oder Resultate von Demetrios Christodoulou über die Stabilität des Minkowskiraums (mit Sergiu Klainerman) und die Instabilität nackter Singularitäten.

Im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder und kleiner Geschwindigkeiten ergeben sich die üblichen newtonschen Gravitationsgleichungen einer Massenverteilung (und die sich hier ergebenden Gleichungen sind damit als partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ). Bei kleinen Feldern wurde zudem die Post-Newton-Näherung entwickelt, um beispielsweise die allgemeine Relativitätstheorie mit alternativen Gravitationstheorien anhand von Beobachtungen vergleichen zu können.

Die Vakuumfeldgleichungen Bearbeiten

Betrachtet man beispielsweise den Außenraum von Sternen, wo sich als Näherung keine Materie aufhält, so wird gesetzt. Man nennt dann

die Vakuumfeldgleichungen und ihre Lösungen Vakuumlösungen. Durch Multiplizieren mit ergibt sich mithilfe von und die Folgerung, dass im Vakuum und damit

Für die Umgebung einer nicht rotierenden und elektrisch neutralen Kugel der Masse erhält man in Kugelkoordinaten hieraus beispielsweise die äußere Schwarzschild-Lösung, deren Linienelement die Form

besitzt.

Die Invariante der Theorie, verallgemeinert den speziell-relativistischen Begriff der Eigenzeit, unter anderem durch Berücksichtigung der Gravitation des betrachteten Himmelskörpers. Besonderheiten ergeben sich bei Unterschreiten eines kritischen Wertes für den Radius , nämlich für (siehe Schwarzes Loch).

Einstein-Maxwell-Gleichungen Bearbeiten

Wird für der elektromagnetische Energie-Impuls-Tensor

in die Feldgleichungen eingesetzt

so spricht man von den Einstein-Maxwell-Gleichungen.

Die kosmologische Konstante Bearbeiten

Ausgehend von den oben angegebenen Grundannahmen lässt sich ein weiterer additiver Term zum Einsteintensor hinzuzufügen, der aus einer Konstanten und dem metrischen Tensor besteht. Damit ist die Forderung der Divergenzfreiheit noch immer erfüllt und so nehmen die Feldgleichungen die Form

an. Hierbei ist die kosmologische Konstante, die von Einstein in die Feldgleichungen eingebaut und so gewählt wurde, dass das Universum statisch wird; dies war die damals sinnvollste Anschauung. Es stellte sich jedoch heraus, dass das so von der Theorie beschriebene Universum instabil ist. Als Edwin Hubble schließlich nachwies, dass das Universum expandiert, verwarf Einstein seine Konstante. Heute jedoch spielt sie erneut eine Rolle durch Ergebnisse der beobachtenden Kosmologie ab den 1990er Jahren.

Literatur Bearbeiten

  • Albert Einstein: Die Feldgleichungen der Gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, S. 844–847, 25. November 1915.
  • Max Kohler: Beiträge zum kosmologischen Problem und zur Lichtausbreitung in Schwerefeldern. In: Annalen der Physik, Band 408, Nr. 2 (1933), S. 129–161.
  • Max Kohler: Zur Herleitung der Feldgleichungen in der allgemein-relativistischen Gravitationstheorie. In: Zeitschrift für Physik 134/3 (1953), S. 306–316.
  • Bernd G. Schmidt: Einstein's field equations and their physical implications. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67073-4.
  • Hans Stephani: Exact solutions of Einstein's field equations. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-46136-7.
  • Yvonne Choquet-Bruhat: General relativity and the Einstein equations. Oxford Univ. Press, Oxford 2009, ISBN 978-0-19-923072-3.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. allgemeiner die Anzahl Dimensionen, da die Spur der Einheitsmatrix ist
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Im Rahmen der allgemeinen Relativitatstheorie wird durch die einsteinschen Feldgleichungen nach Albert Einstein auch Gravitationsgleichungen das physikalische Phanomen der Gravitation durch Methoden der Differentialgeometrie mathematisch formuliert Feldgleichung auf einer Mauer in LeidenDie Grundidee ist dabei die Verknupfung einer Energie Impuls Verteilung mit der Geometrie der Raumzeit Energie und Impuls werden dabei gemass der speziellen Relativitatstheorie zu einem Vierertensor zusammengefasst dem Energie Impuls Tensor wahrend ein metrischer Tensor die Geometrie der Raumzeit darstellt Inhaltsverzeichnis 1 Grundsatzliche Annahmen und Forderungen 2 Die Feldgleichungen 3 Die Vakuumfeldgleichungen 4 Einstein Maxwell Gleichungen 5 Die kosmologische Konstante 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseGrundsatzliche Annahmen und Forderungen BearbeitenZur Aufstellung der Feldgleichungen sind zunachst physikalische Uberlegungen notwendig da die Form der Gleichungen postuliert werden muss Der physikalische Ausgangspunkt von Einsteins Uberlegungen ist das Aquivalenzprinzip Masse und Energie sind aquivalent und jede Form der Energie induziert schwere Masse So wie in der newtonschen Gravitationstheorie die Masse das Gravitationsfeld verursacht ist der naturlichste Ansatz fur deren Verallgemeinerung dass das Gravitationsfeld mathematisch von der Gestalt des Energie Impuls Tensors T m n displaystyle T mu nu nbsp abhangig ist Nun ist T m n displaystyle T mu nu nbsp kein beliebiger symmetrischer Tensor da er n T m n 0 displaystyle nabla nu T mu nu 0 nbsp erfullen muss Das heisst die Divergenz des Energie Impuls Tensors muss lokal bei fester Raum und Zeitkoordinate verschwinden damit der Energie und Impulserhaltungssatz aufrechterhalten wird Im Beitrag des Energie Impuls Tensors wird das Aquivalenzprinzip berucksichtigt Der Energie Impuls Tensor beinhaltet neben der Massen Energiedichte Masse bzw Energie pro Raumvolumen aber auch weitere Beitrage zum Beispiel den Druck den ein Strahlungsfeld ausuben kann Entsprechend dem Aquivalenzprinzip sollte die Wirkung der Gravitation als Krummung der Raumzeit dargestellt werden Dem Energie Impuls Tensor als Quelle des Feldes sollte dementsprechend auf der anderen Seite der Gleichung ein Tensor gleicher Form gegenuberstehen der die geometrischen Eigenschaften Krummung der Raumzeit beschreibt der Einsteintensor G m n displaystyle G mu nu nbsp aufgebaut aus dem grundlegenden metrischen Tensor und daraus abgeleiteten Krummungs Kovarianten und Invarianten siehe unten Die Feldgleichungen nehmen also die Form an G m n k T m n displaystyle G mu nu kappa T mu nu nbsp Die Konstante k 8 p G c 4 displaystyle kappa 8 pi G c 4 nbsp heisst einsteinsche Gravitationskonstante oder einfach Einsteinkonstante und wird als Proportionalitatskonstante angenommen G displaystyle G nbsp ist die Gravitationskonstante Aus den bisherigen Uberlegungen ergeben sich zusammengefasst diese Forderungen G m n 0 displaystyle G mu nu 0 nbsp fur eine flache Raumzeit d h in Abwesenheit von Gravitation n T m n 0 displaystyle nabla nu T mu nu 0 nbsp fur die Energie Impuls Erhaltung n G m n 0 displaystyle nabla nu G mu nu 0 nbsp aufgrund obiger Forderung fur T m n displaystyle T mu nu nbsp T m n displaystyle T mu nu nbsp ist ein symmetrischer Tensor zweiter Stufe daher muss dies auch fur G m n displaystyle G mu nu nbsp gelten G m n displaystyle G mu nu nbsp ist dementsprechend eine Kombination aus den grundlegenden geometrischen Kovarianten die symmetrische Tensoren zweiter Stufe sind dem Krummungstensor R m n displaystyle R mu nu nbsp und dem metrischen Tensor g m n displaystyle g mu nu nbsp Die Feldgleichungen BearbeitenAus diesen Forderungen ergeben sich die Feldgleichungen R m n 1 2 g m n R k T m n 8 p G c 4 T m n displaystyle R mu nu frac 1 2 g mu nu R kappa T mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu nbsp Hierbei ist G displaystyle G nbsp die Gravitationskonstante c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit R m n displaystyle R mu nu nbsp der Ricci Tensor R displaystyle R nbsp der Krummungsskalar und g m n displaystyle g mu nu nbsp der metrische Tensor Die Feldgleichungen konnen auch mit umgekehrtem Vorzeichen vor der Einsteinkonstanten definiert werden R m n 1 2 g m n R k T m n 8 p G c 4 T m n displaystyle R mu nu frac 1 2 g mu nu R kappa T mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu nbsp Dieses Vorzeichen ist rein von der verwendeten Konvention abhangig und physikalisch nicht bedeutend beide Konventionen sind weit verbreitet Die Feldgleichungen konnen auch umgeformt und dargestellt werden als R m n k T m n 1 2 g m n T displaystyle R mu nu kappa T mu nu tfrac 1 2 g mu nu T nbsp Hierbei ist T T m m g m n T m n displaystyle T T mu mu g mu nu T mu nu nbsp der Laue Skalar Die obigen Forderungen gestatten auch einen Term proportional dem metrischen Tensor auf der linken Seite was zu Feldgleichungen mit einer kosmologischen Konstanten fuhrt siehe unten Zu den Feldgleichungen kommt noch die Bewegungsgleichung fur sich auf einer Geodate bewegende Testteilchen hinzu die sogenannte Geodatengleichung siehe Allgemeine Relativitatstheorie Insgesamt druckt sich in den Feld und Bewegungsgleichungen eine dynamische gegenseitige Beeinflussung von Energie Impuls Verteilung und Geometrie der Raumzeit aus Die Feldgleichungen bilden ein System von 16 gekoppelten partiellen Differentialgleichungen die durch Symmetrien auf 10 reduziert werden Ausserdem gibt es die vier Bianchi Identitaten die sich aus der Energie Impuls Erhaltung ergeben und das System weiter reduzieren Es sind eine ganze Reihe exakter Losungen bekannt die meist bestimmten zusatzlichen Symmetrieforderungen genugen Im materiefreien Raum haben die Feldgleichungen hyperbolischen Charakter das heisst die Losungen entsprechen Wellengleichungen mit der Lichtgeschwindigkeit als maximaler Ausbreitungsgeschwindigkeit Im Allgemeinen konnen sie nur numerisch gelost werden wofur es ausgefeilte Techniken und ein eigenes Spezialgebiet Numerische Relativitat gibt Es gibt auch einige exakte mathematische Resultate wie die Wohlgestelltheit des Cauchy Problems Yvonne Choquet Bruhat die Singularitaten Theoreme von Roger Penrose und Stephen Hawking oder Resultate von Demetrios Christodoulou uber die Stabilitat des Minkowskiraums mit Sergiu Klainerman und die Instabilitat nackter Singularitaten Im Grenzfall schwacher Gravitationsfelder und kleiner Geschwindigkeiten ergeben sich die ublichen newtonschen Gravitationsgleichungen einer Massenverteilung und die sich hier ergebenden Gleichungen sind damit als partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ Bei kleinen Feldern wurde zudem die Post Newton Naherung entwickelt um beispielsweise die allgemeine Relativitatstheorie mit alternativen Gravitationstheorien anhand von Beobachtungen vergleichen zu konnen Die Vakuumfeldgleichungen BearbeitenBetrachtet man beispielsweise den Aussenraum von Sternen wo sich als Naherung keine Materie aufhalt so wird T m n 0 displaystyle T mu nu 0 nbsp gesetzt Man nennt dann R m n 1 2 g m n R 0 displaystyle R mu nu frac 1 2 g mu nu R 0 nbsp die Vakuumfeldgleichungen und ihre Losungen Vakuumlosungen Durch Multiplizieren mit g m n displaystyle g mu nu nbsp ergibt sich mithilfe von R g m n R m n displaystyle R g mu nu R mu nu nbsp und g m n g m n 4 displaystyle g mu nu g mu nu 4 nbsp 1 die Folgerung dass im Vakuum R 0 displaystyle R 0 nbsp und damit R m n 0 displaystyle R mu nu 0 nbsp Fur die Umgebung einer nicht rotierenden und elektrisch neutralen Kugel der Masse M displaystyle M nbsp erhalt man in Kugelkoordinaten hieraus beispielsweise die aussere Schwarzschild Losung deren Linienelement die Form d s 2 g m n d x m d x n c 2 1 2 G M c 2 r d t 2 1 2 G M c 2 r 1 d r 2 r 2 d 8 2 r 2 sin 2 8 d ϕ 2 displaystyle mathrm d s 2 g mu nu mathrm d x mu mathrm d x nu c 2 Bigl 1 frac 2GM c 2 r Bigr mathrm d t 2 Bigl 1 frac 2GM c 2 r Bigr 1 mathrm d r 2 r 2 mathrm d theta 2 r 2 sin 2 theta mathrm d phi 2 nbsp besitzt Die Invariante der Theorie d s displaystyle mathrm d s nbsp verallgemeinert den speziell relativistischen Begriff der Eigenzeit unter anderem durch Berucksichtigung der Gravitation des betrachteten Himmelskorpers Besonderheiten ergeben sich bei Unterschreiten eines kritischen Wertes fur den Radius r displaystyle r nbsp namlich fur r lt 2 G M c 2 displaystyle r lt 2GM c 2 nbsp siehe Schwarzes Loch Einstein Maxwell Gleichungen BearbeitenWird fur T m n displaystyle T mu nu nbsp der elektromagnetische Energie Impuls Tensor T m n 1 m 0 F m a F a n 1 4 F a b F a b g m n displaystyle T mu nu frac 1 mu 0 left F mu alpha F alpha nu frac 1 4 F alpha beta F alpha beta g mu nu right nbsp in die Feldgleichungen eingesetzt R m n 1 2 g m n R 8 p G c 4 m 0 F m a F a n 1 4 F a b F a b g m n displaystyle R mu nu frac 1 2 g mu nu R frac 8 pi G c 4 mu 0 left F mu alpha F alpha nu frac 1 4 F alpha beta F alpha beta g mu nu right nbsp so spricht man von den Einstein Maxwell Gleichungen Die kosmologische Konstante Bearbeiten Hauptartikel Kosmologische Konstante Ausgehend von den oben angegebenen Grundannahmen lasst sich ein weiterer additiver Term zum Einsteintensor hinzuzufugen der aus einer Konstanten L displaystyle Lambda nbsp und dem metrischen Tensor besteht Damit ist die Forderung der Divergenzfreiheit noch immer erfullt und so nehmen die Feldgleichungen die Form R m n 1 2 g m n R L g m n 8 p G c 4 T m n displaystyle R mu nu frac 1 2 g mu nu R Lambda g mu nu frac 8 pi G c 4 T mu nu nbsp an Hierbei ist L displaystyle Lambda nbsp die kosmologische Konstante die von Einstein in die Feldgleichungen eingebaut und so gewahlt wurde dass das Universum statisch wird dies war die damals sinnvollste Anschauung Es stellte sich jedoch heraus dass das so von der Theorie beschriebene Universum instabil ist Als Edwin Hubble schliesslich nachwies dass das Universum expandiert verwarf Einstein seine Konstante Heute jedoch spielt sie erneut eine Rolle durch Ergebnisse der beobachtenden Kosmologie ab den 1990er Jahren Literatur BearbeitenAlbert Einstein Die Feldgleichungen der Gravitation Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin S 844 847 25 November 1915 Max Kohler Beitrage zum kosmologischen Problem und zur Lichtausbreitung in Schwerefeldern In Annalen der Physik Band 408 Nr 2 1933 S 129 161 Max Kohler Zur Herleitung der Feldgleichungen in der allgemein relativistischen Gravitationstheorie In Zeitschrift fur Physik 134 3 1953 S 306 316 Bernd G Schmidt Einstein s field equations and their physical implications Springer Berlin 2000 ISBN 3 540 67073 4 Hans Stephani Exact solutions of Einstein s field equations Cambridge Univ Press Cambridge 2003 ISBN 0 521 46136 7 Yvonne Choquet Bruhat General relativity and the Einstein equations Oxford Univ Press Oxford 2009 ISBN 978 0 19 923072 3 Weblinks BearbeitenVideo Einsteinsche Feldgleichungen Jorn Loviscach 2004 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 19911 Einzelnachweise Bearbeiten allgemeiner die Anzahl Dimensionen da g m n g m n displaystyle g mu nu g mu nu nbsp die Spur der Einheitsmatrix ist Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einsteinsche Feldgleichungen amp oldid 232400889