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Isentropenexponent Der auch Adiabatenexponent oder Wärmekapazitätsverhältnis genannt bezeichnet mit dem Symbol κ display

Isentropenexponent

Der Isentropenexponent (auch Adiabatenexponent oder Wärmekapazitätsverhältnis genannt) bezeichnet mit dem Symbol  (Kappa) oder  (Gamma), ist das dimensionslose Verhältnis der Wärmekapazität von Gasen bei konstantem Druck (Cp) zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen (CV):

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung:
: isobar,
: isotherm,
: isentrop,
: isochor

Der Quotient ist eine stark temperaturabhängige Materialeigenschaft realer Gase. Er kann auch aus allen spezifischen – z. B. der massebezogenen oder molaren – Wärmekapazitäten bei konstantem Druck zu konstantem Volumen berechnet werden. Seinen Namen erhielt als Exponent in der Isentropengleichung oder Adiabatengleichung für ideale Gase:

Isentrope Zustandsänderungen sind adiabat. Oft sind sie auch reversibel und lassen damit die Entropie konstant. Sie treten z. B. näherungsweise bei großräumigen Luftströmungen auf, weshalb man diese Kennzahl in der Meteorologie auch als Adiabatenexponent, Adiabatenkoeffizient oder Adiabatenindex bezeichnet. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z. B. in einer Dampfturbine) nicht reversibel, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „Adiabate Maschine“ und „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine Polytrope mit einem Polytropenexponenten n beschreiben, der sich von κ unterscheidet. Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit (vergl. Bild).

Der Isentropenexponent bestimmt auch die Schallgeschwindigkeit, da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck- und Dichteschwankungen näherungsweise isentrop verlaufen. Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des Rüchardt-Experiments.

Isentropenexponent für Gase bei Normaldruck
Temp Gas κ Temp Gas κ Temp Gas κ
−200 °C H2 1,65 20 °C Luft 1,40 −180 °C N2 1,43
−100 °C 1,46 400 °C 1,37 20 °C 1,40
20 °C 1,41 1000 °C 1,32 500 °C 1,36
1000 °C 1,36 2000 °C 1,30 1000 °C 1,32
2000 °C 1,31 −50 °C CO2 1,35 2000 °C 1,30
−200 °C He 1,67 20 °C 1,29 20 °C CH4 1,31
2000 °C 1,67 400 °C 1,24 350 °C 1,18
100 °C H2O 1,33 1000 °C 1,18 20 °C H2S 1,33
200 °C 1,32 2000 °C 1,16 500 °C 1,25
500 °C 1,28 20 °C CO 1,40 20 °C NH3 1,32
1000 °C 1,23 1000 °C 1,32 450 °C 1,20
2000 °C 1,19 2000 °C 1,29 450 °C Ne 1,67
20 °C NO 1,39 −180 °C O2 1,44 2000 °C Ar 1,67
2000 °C 1,29 20 °C 1,40 20 °C SO2 1,28
20 °C N2O 1,28 400 °C 1,34 250 °C 1,22
250 °C 1,22 1000 °C 1,31 20 °C C2H6 1,20
20 °C NO2 1,29 2000 °C 1,28 20 °C C3H8 1,14
Isentropenexponent für überkritische Gase bei 200 bar Druck
Temp Gas κ Temp Gas κ Temp Gas κ
126,2 K N2 2,07 154,6 K O2 2,25 304,1 K CO2 2,36
600 K 1,43 300 K 1,77 700 K 1,28
1000 K 1,35 1000 K 1,33 1000 K 1,21
2000 K 1,30 2000 K 1,28 2000 K 1,17
638,9 K H2O⁠* 10,7 5,2 K He 1,13 126,2 K Ar 2,07
700 K 1,95 300 K 1,65 300 K 2,23
1000 K 1,34 1000 K 1,67 1000 K 1,69
2000 K 1,20 2000 K 1,67 2000 K 1,67
33,15 K H2 1,51 132,9 K CO 2,54 190,6 K CH4 2,00
300 K 1,42 300 K 1,69 300 K 1,91
600 K 1,39 400 K 1,53 400 K 1,47
1000 K 1,38 500 K 1,47 600 K 1,24
* 
H2O ist bei 200 bar noch gasförmig und wird erst oberhalb 220,64 bar überkritisch

Gerechnetes Wärmekapazitätsverhältnis Bearbeiten

Der Wert des Isentropenexponenten hängt vom Freiheitsgrad der Gasteilchen ab und der Freiheitsgrad eines Gasmoleküls hängt von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome ab. Gasmoleküle mit mehr Atomen besitzen einen höheren Freiheitsgrad. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungs- bzw. Vibrationsfreiheitsgrad. Translation ist bei allen Temperaturen angeregt. Rotation erfolgt schon bei unteren, Vibration linearer Moleküle erfolgt ab mittleren, Vibration starrer Moleküle erst bei höheren Temperaturen. Deshalb nimmt die Wärmekapazität von mehratomigen Gasen bei steigender Temperatur zu. Anders gesagt: mit abnehmender Temperatur „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein und der Isentropenexponent nimmt zu.

Bei allen Gasen verläuft die isobare Wärmekapazität über einen großen Temperaturbereich parallel mit der isochoren Wärmekapazität. Deshalb bleibt über einen großen Temperaturbereich auch die Gaskonstante (R = Cpmol - CVmol = 8,314 J/mol K), also die Differenz zwischen isobarer und isochorer Molwärme gleich.

Der Freiheitsgrad kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:

Der Isentropenexponent kann näherungsweise wie folgt beschrieben werden:

Der Freiheitsgrad eines Körpers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne Massenpunkt hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheit, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von Punkten hat Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf . Starre Körper haben gewinkelte Bindungen.

Luft besteht hauptsächlich aus zweiatomigen Molekülen und hat unter Normalbedingungen einen Isentropenexponent von 1,4. Dies entspricht dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgraden in der kinetischen Gastheorie, da bei zweiatomigen Molekülen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht möglich ist. Wasserstoff (H2) hat bei ganz tiefen Temperaturen den gleichen Wert wie die einatomigen Edelgase, weil dann selbst die Rotation gestoppt ist. Die Rotation mehratomiger Moleküle und die Schwingungen linearer oder schwach gewinkelter Moleküle sind schon unterhalb Normaltemperatur angeregt, die Schwingungen starrer Moleküle erst oberhalb Normaltemperatur. Bei viel höheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden. In der Atmosphäre kann es bei Expansion und Abkühlung der feuchten Luft zur Kondensation des Wassers kommen. Durch die dabei freiwerdende Kondensationsenthalpie wird der Exponent niedriger.

Isentropenexponent ; Freiheitsgrad ; Atome ;
Atombindungen ; von Gasen bei Normalbedingung
Gasmolekül Beispiele
1-atomig Helium, Argon
2-atomig N2, O2, H2, CO,
NO
3-atomig, starr
(gewinkelt)		 H2O-Dampf bei
100 °C, H2S
3-atomig, nicht starr
(linear)		 CO2, SO2,
N2O, NO2

Literatur Bearbeiten

  • Alfred Böge: Handbuch Maschinenbau. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1025-0.

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. ↑ NIST Standard Reference Database Number 69
  2. Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte
  3. Springer-Verlag: Stoffwerte und Tabellen
  4. ↑ Bindungsgeometrie
  5. dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Isentropenexponent auch Adiabatenexponent oder Warmekapazitatsverhaltnis genannt bezeichnet mit dem Symbol k displaystyle kappa Kappa oder g displaystyle gamma Gamma ist das dimensionslose Verhaltnis der Warmekapazitat von Gasen bei konstantem Druck Cp zur Warmekapazitat bei konstantem Volumen CV k C p C V displaystyle kappa frac C p C V Spezialfalle der polytropen Zustandsanderung n 0 displaystyle mathrm n 0 isobar n 1 displaystyle mathrm n 1 isotherm n k displaystyle mathrm n kappa isentrop n displaystyle mathrm n infty isochorDer Quotient k displaystyle kappa ist eine stark temperaturabhangige Materialeigenschaft realer Gase Er kann auch aus allen spezifischen z B der massebezogenen oder molaren Warmekapazitaten bei konstantem Druck zu konstantem Volumen berechnet werden Seinen Namen erhielt k displaystyle kappa als Exponent in der Isentropengleichung oder Adiabatengleichung fur ideale Gase p V k const displaystyle pV kappa text const Isentrope Zustandsanderungen sind adiabat Oft sind sie auch reversibel und lassen damit die Entropie konstant Sie treten z B naherungsweise bei grossraumigen Luftstromungen auf weshalb man diese Kennzahl in der Meteorologie auch als Adiabatenexponent Adiabatenkoeffizient oder Adiabatenindex bezeichnet In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsanderung z B in einer Dampfturbine nicht reversibel da Reibungs Drossel und Stossvorgange Entropie produzieren vergl Adiabate Maschine und Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik Diese Zustandsanderungen lassen sich naherungsweise durch eine Polytrope mit einem Polytropenexponenten n beschreiben der sich von k unterscheidet Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit n k displaystyle mathrm n kappa vergl Bild Der Isentropenexponent bestimmt auch die Schallgeschwindigkeit da die mit dem Schall verbundenen raschen Druck und Dichteschwankungen naherungsweise isentrop verlaufen Messen lasst sich der Isentropenexponent mit Hilfe des Ruchardt Experiments Isentropenexponent fur Gase bei Normaldruck 1 Temp Gas k Temp Gas k Temp Gas k 200 C H2 2 1 65 20 C Luft 1 40 180 C N2 1 43 100 C 1 46 400 C 1 37 20 C 1 4020 C 1 41 1000 C 1 32 500 C 1 361000 C 1 36 2000 C 1 30 1000 C 1 322000 C 1 31 50 C CO2 1 35 2000 C 1 30 200 C He 1 67 20 C 1 29 20 C CH4 1 312000 C 1 67 400 C 1 24 350 C 1 18100 C H2O 1 33 1000 C 1 18 20 C H2S 1 33200 C 1 32 2000 C 1 16 500 C 1 25500 C 1 28 20 C CO 1 40 20 C NH3 1 321000 C 1 23 1000 C 1 32 450 C 1 202000 C 1 19 2000 C 1 29 450 C Ne 1 6720 C NO 3 1 39 180 C O2 1 44 2000 C Ar 1 672000 C 1 29 20 C 1 40 20 C SO2 1 2820 C N2O 4 1 28 400 C 1 34 250 C 1 22250 C 1 22 1000 C 1 31 20 C C2H6 1 2020 C NO2 4 1 29 2000 C 1 28 20 C C3H8 1 14Isentropenexponent fur uberkritische Gase bei 200 bar Druck 1 Temp Gas k Temp Gas k Temp Gas k126 2 K N2 2 07 154 6 K O2 2 25 304 1 K CO2 2 36600 K 1 43 300 K 1 77 700 K 1 281000 K 1 35 1000 K 1 33 1000 K 1 212000 K 1 30 2000 K 1 28 2000 K 1 17638 9 K H2O 10 7 5 2 K He 1 13 126 2 K Ar 2 07700 K 1 95 300 K 1 65 300 K 2 231000 K 1 34 1000 K 1 67 1000 K 1 692000 K 1 20 2000 K 1 67 2000 K 1 6733 15 K H2 1 51 132 9 K CO 2 54 190 6 K CH4 2 00300 K 1 42 300 K 1 69 300 K 1 91600 K 1 39 400 K 1 53 400 K 1 471000 K 1 38 500 K 1 47 600 K 1 24 H2O ist bei 200 bar noch gasformig und wird erst oberhalb 220 64 bar uberkritischInhaltsverzeichnis 1 Gerechnetes Warmekapazitatsverhaltnis 2 Literatur 3 Weblinks 4 QuellenGerechnetes Warmekapazitatsverhaltnis BearbeitenDer Wert des Isentropenexponenten hangt vom Freiheitsgrad der Gasteilchen ab und der Freiheitsgrad eines Gasmolekuls hangt von der Geometrie und der Bindungsstarke der Atome ab Gasmolekule mit mehr Atomen besitzen einen hoheren Freiheitsgrad Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations Rotations und Schwingungs bzw Vibrationsfreiheitsgrad Translation ist bei allen Temperaturen angeregt Rotation erfolgt schon bei unteren Vibration linearer Molekule erfolgt ab mittleren Vibration starrer Molekule erst bei hoheren Temperaturen Deshalb nimmt die Warmekapazitat von mehratomigen Gasen bei steigender Temperatur zu Anders gesagt mit abnehmender Temperatur frieren immer mehr Freiheitsgrade ein und der Isentropenexponent nimmt zu Bei allen Gasen verlauft die isobare Warmekapazitat uber einen grossen Temperaturbereich parallel mit der isochoren Warmekapazitat Deshalb bleibt uber einen grossen Temperaturbereich auch die Gaskonstante R Cpmol CVmol 8 314 J mol K also die Differenz zwischen isobarer und isochorer Molwarme gleich Der Freiheitsgrad kann naherungsweise wie folgt beschrieben werden f 3 N r displaystyle f 3 cdot N r nbsp Der Isentropenexponent kann naherungsweise wie folgt beschrieben werden k f 2 f displaystyle kappa frac f 2 f nbsp Der Freiheitsgrad f displaystyle f nbsp eines Korpers gibt an wie viele Bewegungsmoglichkeiten dieser Korper innerhalb eines Koordinatensystems hat Der einzelne Massenpunkt hat 3 Freiheitsgrade er kann sich entlang der x y und z Achse im Raum bewegen Er hat keine Rotationsfreiheit denn ein Punkt kann sich nicht drehen Ein System von N displaystyle N nbsp Punkten hat 3 N displaystyle 3N nbsp Freiheitsgrade Liegen zwischen den Punkten r displaystyle r nbsp starre Bindungen vor so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 3 N r displaystyle 3N r nbsp 5 Starre Korper haben gewinkelte Bindungen Luft besteht hauptsachlich aus zweiatomigen Molekulen und hat unter Normalbedingungen einen Isentropenexponent von 1 4 Dies entspricht dem theoretischen Wert fur 3 Translations und 2 Rotationsfreiheitsgraden in der kinetischen Gastheorie da bei zweiatomigen Molekulen eine Rotation um die Verbindungsachse nicht moglich ist Wasserstoff H2 hat bei ganz tiefen Temperaturen den gleichen Wert wie die einatomigen Edelgase weil dann selbst die Rotation gestoppt ist Die Rotation mehratomiger Molekule und die Schwingungen linearer oder schwach gewinkelter Molekule sind schon unterhalb Normaltemperatur angeregt die Schwingungen starrer Molekule erst oberhalb Normaltemperatur Bei viel hoheren Temperaturen kommt es durch Dissoziation und Ionisation zu noch mehr Freiheitsgraden In der Atmosphare kann es bei Expansion und Abkuhlung der feuchten Luft zur Kondensation des Wassers kommen Durch die dabei freiwerdende Kondensationsenthalpie wird der Exponent niedriger Isentropenexponent k displaystyle kappa nbsp Freiheitsgrad f displaystyle f nbsp Atome N displaystyle N nbsp Atombindungen r displaystyle r nbsp von Gasen bei Normalbedingung Gasmolekul k f 2 f displaystyle kappa frac f 2 f nbsp f 3 N r displaystyle f 3 cdot N r nbsp Beispiele1 atomig 1 6 3 2 3 displaystyle 1 overline 6 frac 3 2 3 nbsp 3 3 1 0 displaystyle 3 3 cdot 1 0 nbsp Helium Argon2 atomig 1 4 5 2 5 displaystyle 1 4 frac 5 2 5 nbsp 5 3 2 1 displaystyle 5 3 cdot 2 1 nbsp N2 O2 H2 CO NO3 atomig starr gewinkelt 1 3 6 2 6 displaystyle 1 overline 3 frac 6 2 6 nbsp 6 3 3 3 displaystyle 6 3 cdot 3 3 nbsp H2O Dampf bei 100 C H2S3 atomig nicht starr linear 1 29 7 2 7 displaystyle 1 29 approx frac 7 2 7 nbsp 7 3 3 2 displaystyle 7 3 cdot 3 2 nbsp CO2 SO2 N2O 4 NO2 4 Literatur BearbeitenAlfred Boge Handbuch Maschinenbau Vieweg Teubner Wiesbaden 2011 ISBN 978 3 8348 1025 0 Weblinks BearbeitenVideo Bestimmung von Cp Cv nach Ruchardt Institut fur den Wissenschaftlichen Film IWF 2004 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 3203 IWF C 14879 Quellen Bearbeiten a b NIST Standard Reference Database Number 69 Engineering Toolbox Hochtemperatur cp Werte Springer Verlag Stoffwerte und Tabellen a b c d Bindungsgeometrie dtv Atlas zur Physik Mechanik Akustik Thermodynamik Optik Band 1 Munchen 1987ff ISBN 3 423 03226 X S 49 und 109 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Isentropenexponent amp oldid 235354801