In der Mathematik ist das Holder Mittel der Holdersche Mittelwert nach Otto Holder 1859 1937 oder das Potenzmittel engl u A p th power mean ein manchmal auch der verallgemeinerter Mittelwert Die Bezeichnung ist uneinheitlich Bezeichnungen wie das p displaystyle p te Mittel Mittel der Ordnung oder vom Grad oder mit Exponent p displaystyle p sind auch im Umlauf Im Englischen wird es auch als generalized mean bezeichnet Ebenso uneinheitlich sind die Schreibweisen statt H p displaystyle H p wird auch M p x displaystyle M p x m p x displaystyle m p x oder m p x displaystyle mu p x geschrieben Das Holder Mittel verallgemeinert die seit den Pythagoreern bekannten Mittelwerte wie das arithmetische geometrische quadratische und harmonische Mittel durch Einfuhrung eines Parameters p displaystyle p Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Spezialfalle 3 Weitere Verallgemeinerungen 3 1 Gewichtetes Holder Mittel 3 2 f Mittel 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksDefinition BearbeitenFur eine reelle Zahl p 0 displaystyle p neq 0 nbsp wird das Holder Mittel der Zahlen x 1 x n 0 displaystyle x 1 ldots x n geq 0 nbsp zur Stufe p displaystyle p nbsp definiert als M p x 1 x n 1 n i 1 n x i p 1 p x 1 p x 2 p x n p n p displaystyle M p x 1 dots x n left frac 1 n cdot sum i 1 n x i p right 1 p sqrt p frac x 1 p x 2 p ldots x n p n nbsp wobei die Wurzelschreibweise ublicherweise nur fur naturliche Zahlen p displaystyle p nbsp verwendet wird Eine dazu passende Definition fur p 0 displaystyle p 0 nbsp ist M 0 x 1 x n lim s 0 M s x 1 x n displaystyle M 0 x 1 ldots x n lim s to 0 M s x 1 ldots x n nbsp Eigenschaften BearbeitenDas Holder Mittel ist homogen bezuglich x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp das heisstM p a x 1 a x n a M p x 1 x n displaystyle M p alpha x 1 ldots alpha x n alpha cdot M p x 1 ldots x n nbsp dd Ausserdem giltM p x 1 x n k M p M p x 1 x k M p x k 1 x 2 k M p x n 1 k 1 x n k displaystyle M p x 1 dots x n cdot k M p M p x 1 dots x k M p x k 1 dots x 2 cdot k dots M p x n 1 cdot k 1 dots x n cdot k nbsp dd Eine wichtige Ungleichung zu den Holder Mitteln istp lt q M p x 1 x n M q x 1 x n displaystyle p lt q quad Rightarrow quad M p x 1 ldots x n leq M q x 1 ldots x n nbsp dd Daraus folgt etwa Spezialfalle die Ungleichung der Mittelwertemin x 1 x n x h a r m x g e o m x a r i t h m x q u a d r x k u b i s c h max x 1 x n displaystyle min x 1 ldots x n leq bar x mathrm harm leq bar x mathrm geom leq bar x mathrm arithm leq bar x mathrm quadr leq bar x mathrm kubisch leq max x 1 ldots x n nbsp dd Die Potenzmittelwerte stehen mit den Stichprobenmomenten m p displaystyle m p nbsp um Null recht einfach in Beziehung x p m p p displaystyle bar x p sqrt p m p nbsp dd In der Stochastik wird die Konvergenz im p ten Mittel uber diese Potenzmittelwerte definiert Spezialfalle Bearbeiten nbsp Vier Mittelwerte zweier Werte a b H Harmonisches Mittel G Geometrisches Mittel A Arithmetisches Mittel Q Quadratisches MittelMittels Wahl eines geeigneten Parameters p displaystyle p nbsp ergeben sich die bekannten Mittelwerte lim p displaystyle lim p to infty nbsp M p x 1 x n displaystyle M p x 1 dots x n nbsp min x 1 x n displaystyle min x 1 dots x n nbsp Minimump 1 displaystyle p 1 nbsp M 1 x 1 x n displaystyle M 1 x 1 dots x n nbsp n 1 x 1 1 x n displaystyle frac n frac 1 x 1 dots frac 1 x n nbsp Harmonisches Mittellim p 0 displaystyle lim p to 0 nbsp M p x 1 x n displaystyle M p x 1 dots x n nbsp x 1 x n n displaystyle sqrt n x 1 cdot dots cdot x n nbsp Geometrisches Mittelp 1 displaystyle p 1 nbsp M 1 x 1 x n displaystyle M 1 x 1 dots x n nbsp x 1 x n n displaystyle frac x 1 dots x n n nbsp Arithmetisches Mittelp 2 displaystyle p 2 nbsp M 2 x 1 x n displaystyle M 2 x 1 dots x n nbsp x 1 2 x n 2 n displaystyle sqrt frac x 1 2 dots x n 2 n nbsp Quadratisches Mittelp 3 displaystyle p 3 nbsp M 3 x 1 x n displaystyle M 3 x 1 dots x n nbsp x 1 3 x n 3 n 3 displaystyle sqrt 3 frac x 1 3 dots x n 3 n nbsp Kubisches Mittellim p displaystyle lim p to infty nbsp M p x 1 x n displaystyle M p x 1 dots x n nbsp max x 1 x n displaystyle max x 1 dots x n nbsp MaximumWeitere Verallgemeinerungen BearbeitenGewichtetes Holder Mittel Bearbeiten Auch zu dem Holder Mittel lasst sich ein gewichtetes Mittel definieren Das gewichtete Holder Mittel lasst sich mit den Gewichten w 1 w 2 w n displaystyle omega 1 omega 2 ldots omega n nbsp mit w 1 w 2 w n 1 displaystyle omega 1 omega 2 ldots omega n 1 nbsp definieren als M w p w 1 x 1 p w 2 x 2 p w n x n p 1 p displaystyle M omega p left omega 1 cdot x 1 p omega 2 cdot x 2 p ldots omega n cdot x n p right 1 p nbsp wobei fur das ungewichtete Holder Mittel w 1 w 2 w n 1 n displaystyle omega 1 omega 2 ldots omega n tfrac 1 n nbsp verwendet wird f Mittel Bearbeiten Vergleiche Quasi arithmetisches MittelDas Holder Mittel lasst sich weiter verallgemeinern zu M f x 1 x n f 1 1 n i 1 n f x i displaystyle M f x 1 dots x n f 1 left frac 1 n cdot sum i 1 n f x i right nbsp bzw gewichtet zu M f x 1 x n f 1 i 1 n w i f x i displaystyle M f x 1 dots x n f 1 left sum i 1 n omega i f x i right nbsp Dabei ist f displaystyle f nbsp eine Funktion von x displaystyle x nbsp das Holder Mittel verwendet f x x p displaystyle f x x p nbsp Weitere Beispiele Sind x 1 x n 0 displaystyle x 1 ldots x n geq 0 nbsp die Renditen einer Kapitalanlage in den Jahren 1 displaystyle 1 nbsp bis n displaystyle n nbsp so erhalt man die mittlere Rendite als f displaystyle f nbsp Mittel der einzelnen Renditen zur Funktion f x ln 1 x displaystyle f x ln 1 x nbsp Sind x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp die Alter von n displaystyle n nbsp Personen so erhalt man das versicherungstechnische Durchschnittsalter als f displaystyle f nbsp Mittel der einzelnen Alter zur Funktion f x m x displaystyle f x mu x nbsp dabei bedeutet m x displaystyle mu x nbsp die Sterbeintensitat In der Praxis ist das summengewichtete versicherungstechnische Durchschnittsalter relevant hier werden die Alter der versicherten Personen mit den jeweiligen Versicherungssummen gewichtet die Sterbeintensitat wird oft durch die einjahrige Sterbewahrscheinlichkeit q x displaystyle q x nbsp ersetzt Siehe auch BearbeitenLehmer Mittel Mittelwert Stolarsky Mittel Logarithmisches MittelLiteratur BearbeitenJulian Havil Gamma Eulers Konstante Primzahlstrande und die Riemannsche Vermutung Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 48495 0 P S Bullen Handbook of Means and Their Inequalities Dordrecht Netherlands Kluwer 2003 S 175 265Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Power mean In MathWorld englisch Weighted Power Mean und Proof auf planetmath org engl Examples of Generalized Mean Juttas Mathe Newsletter Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Holder Mittel amp oldid 225211722
