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Stolarsky Mittel In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das ein von Kenneth B Stolarsky 1 eingefüh

Stolarsky-Mittel

In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky-Mittel ein von Kenneth B. Stolarsky eingeführter Mittelwert, der das logarithmische Mittel verallgemeinert.

Für zwei Zahlen und einen Parameter ist das Stolarsky-Mittel definiert als

Dabei ist der Grenzwert über alle Paare mit zu bilden. Im Falle ist der Grenzwert die -te Potenz des Differentialquotienten der Funktion und stimmt daher tatsächlich, wie angegeben, mit überein.

Spezialfälle Bearbeiten

Das Stolarsky-Mittel hat folgende Spezialfälle:

Minimum (Grenzwert!)
Geometrisches Mittel
Logarithmisches Mittel (Grenzwert!)
Hölder-Mittel mit 1/2
identric mean (Grenzwert!)
Arithmetisches Mittel
Maximum (Grenzwert!)

Gewichtetes Stolarsky-Mittel Bearbeiten

Das Stolarsky-Mittel lässt sich auch gewichten:

Referenzen Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Kenneth B. Stolarsky: Generalizations of the logarithmic mean. In: Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, März, 1975, S. 87–92
  2. Eric W. Weisstein: Stolarsky mean. In: MathWorld (englisch).
  3. Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0
  4. Eric W. Weisstein: Identric Mean. In: MathWorld (englisch).
  5. Laszlo Losonczi: Ratio of Stolarsky means: monotonicity and comparison
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist der Stolarskysche Mittelwert oder kurz das Stolarsky Mittel ein von Kenneth B Stolarsky 1 eingefuhrter Mittelwert der das logarithmische Mittel verallgemeinert Fur zwei Zahlen x y displaystyle x y und einen Parameter p displaystyle p ist das Stolarsky Mittel definiert als S p x y lim 3 h x y 3 p h p p 3 h 1 p 1 x falls x y x p y p p x y 1 p 1 sonst displaystyle S p x y lim xi eta to x y left frac xi p eta p p xi eta right 1 over p 1 begin cases x amp mbox falls x y left frac x p y p p x y right 1 over p 1 amp mbox sonst end cases 2 3 Dabei ist der Grenzwert uber alle Paare 3 h displaystyle xi eta mit 3 h displaystyle xi not eta zu bilden Im Falle x y displaystyle x y ist der Grenzwert die 1 p 1 displaystyle 1 over p 1 te Potenz des Differentialquotienten der Funktion x x p p displaystyle x mapsto frac x p p und stimmt daher tatsachlich wie angegeben mit x displaystyle x uberein Inhaltsverzeichnis 1 Spezialfalle 2 Gewichtetes Stolarsky Mittel 3 Referenzen 4 EinzelnachweiseSpezialfalle BearbeitenDas Stolarsky Mittel hat folgende Spezialfalle S x y displaystyle S infty x y nbsp min x y displaystyle text min x y nbsp Minimum Grenzwert S 1 x y displaystyle S 1 x y nbsp x y displaystyle sqrt xy nbsp Geometrisches MittelS 0 x y displaystyle S 0 x y nbsp x y log x log y displaystyle frac x y log x log y nbsp Logarithmisches Mittel Grenzwert S 1 2 x y displaystyle S frac 1 2 x y nbsp x y 2 2 displaystyle left frac sqrt x sqrt y 2 right 2 nbsp Holder Mittel mit 1 2S 1 x y displaystyle S 1 x y nbsp 1 e y y x x 1 y x displaystyle frac 1 e left frac y y x x right frac 1 y x nbsp identric mean 4 Grenzwert S 2 x y displaystyle S 2 x y nbsp x y 2 displaystyle frac x y 2 nbsp Arithmetisches MittelS x y displaystyle S infty x y nbsp max x y displaystyle text max x y nbsp Maximum Grenzwert Gewichtetes Stolarsky Mittel BearbeitenDas Stolarsky Mittel lasst sich auch gewichten 5 S w 1 w 2 x y w 2 x w 1 y w 1 w 1 x w 2 y w 2 1 w 1 w 2 displaystyle S omega 1 omega 2 x y left frac omega 2 cdot x omega 1 y omega 1 omega 1 cdot x omega 2 y omega 2 right frac 1 omega 1 omega 2 nbsp Referenzen BearbeitenHorst Alzer Bestmogliche Abschatzungen fur spezielle Mittelwerte PDF 141 kB Horst Alzer Ungleichungen fur Mittelwerte In Archiv der Mathematik Vol 47 5 November 1986 springerlink com Edward Neumann Stolarski Means of Several Variables PDF 254 kB In Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics Vol 6 2 30 2005 Thomas Riedel Prasanna K Sahoo A characterization of the Stolarsky mean In Aequationes Mathematicae 70 Nr 1 2 Sept 2005 springerlink comEinzelnachweise Bearbeiten Kenneth B Stolarsky Generalizations of the logarithmic mean In Mathematics Magazine Vol 48 No 2 Marz 1975 S 87 92 Eric W Weisstein Stolarsky mean In MathWorld englisch Julian Havil Gamma Eulers Konstante Primzahlstrande und die Riemannsche Vermutung Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 48495 0 Eric W Weisstein Identric Mean In MathWorld englisch Laszlo Losonczi Ratio of Stolarsky means monotonicity and comparison Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stolarsky Mittel amp oldid 202174208