www.wikidata.de-de.nina.az

Integralgleichung 1 Art In der Mathematik wird eine Integralgleichung bei der die gesuchte Funktion nur unter dem Integr

Integralgleichung 1. Art

In der Mathematik wird eine Integralgleichung, bei der die gesuchte Funktion nur unter dem Integralzeichen vorkommt, als Integralgleichung 1. Art bezeichnet. Sind beispielsweise , und gegeben, so ist

eine Integralgleichung der 1. Art für die unbekannte Funktion .

Einteilung Bearbeiten

Sind die Grenzen des Integrals fix, so wird die Integralgleichung Fredholmsch genannt; tritt die freie Variable in den Integralgrenzen auf, so heißt die Integralgleichung Volterrasch.

Ein einfaches Beispiel einer Volterraschen Integralgleichung 1. Art ist die Gleichung

deren Lösung offensichtlich die erste Ableitung ist: .

Lösbarkeit Bearbeiten

Integralgleichungen 1. Art sind in der Regel sogenannte inkorrekt gestellte Probleme, also Probleme, die nicht in kanonischer Weise gelöst werden können. Ist nämlich

ein kompakter Operator zwischen Banachräumen X und Y und hat K unendlich-dimensionalen Bildraum, dann ist das Bild von von erster Kategorie in . Das bedeutet, dass nicht stetig invertierbar oder wenigstens offen sein kann. Zur Lösung von Integralgleichungen 1. Art sind daher Regularisierungsverfahren erforderlich.

Beispiel Bearbeiten

Auch das bereits erwähnte Bilden der ersten Ableitung ist ein inkorrekt gestelltes Problem: Betrachtet man beispielsweise den normierten Vektorraum

der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen des Intervalls bezüglich der Supremumsnorm, so ist der Operator

welcher der Funktion die Lösung der Integralgleichung

zuordnet, ein unstetiger linearer Operator:

ist im Sinne der Supremumsnorm eine Nullfolge, da

aber für

gilt:

Die Funktionenfolge konvergiert also gegen die Funktion , aber die Folge der Bilder divergiert.

Numerisches Differenzieren Bearbeiten

Diese Eigenschaft spiegelt sich auch wider, wenn man versucht, näherungsweise gegebene Funktionen numerisch zu differenzieren. Berechnet man beispielsweise numerisch die Ableitung von an der Stelle durch Bilden der Differenzenquotienten für unterschiedliche Schrittweiten , so erhält man typischerweise folgendes Ergebnis:

2,83297
1,73398
1.65699
1,64955
1,6488
1,64873
1,64872
1,64872
1,64872
1,64872
1,64872
1,64873
1,64868
1,64979
1,64313
1,55431
2,22045

Der exakte Wert der Ableitung ist . Der Fehler nimmt für immer kleinere Schrittweiten also zuerst ab, bis man praktisch den korrekten Wert erhält, für noch kleinere nimmt der Fehler aber überraschenderweise wieder zu. Dies erklärt sich damit, dass für kleine zwar der Diskretisierungsfehler, also der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und der Ableitung, immer kleiner wird, dafür aber nimmt der Fehler zu, der dadurch entsteht, dass man ja nicht exakt zur Verfügung hat, sondern nur eine numerische Approximation dieser Funktion. Da Differenzieren ein unstetiger linearer Operator ist, kann dieser zweite Fehler beliebig groß werden.

Dieses Verhalten ist generell typisch für inkorrekt gestellte Probleme.

Weitere Beispiele Bearbeiten

Andere Beispiele von Integralgleichungen 1. Art sind die inverse Laplace-Transformation sowie die nach Johann Radon benannte inverse Radon-Transformation, die in der Computertomographie eine wichtige Rolle spielt. Beides sind inkorrekt gestellte Probleme.

Die inverse Fourier-Transformation ist ebenfalls eine Integralgleichung 1. Art, im Gegensatz zu den anderen Beispielen allerdings ein korrekt gestelltes Problem.

Quellen Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik wird eine Integralgleichung bei der die gesuchte Funktion nur unter dem Integralzeichen vorkommt als Integralgleichung 1 Art bezeichnet Sind beispielsweise A B R displaystyle A B subseteq mathbb R k A B R R displaystyle k colon A times B times mathbb R to mathbb R und f A R displaystyle f colon A to mathbb R gegeben so ist B k s t x t d t f s displaystyle int B k left s t x t right mathrm d t f s eine Integralgleichung der 1 Art fur die unbekannte Funktion x B R displaystyle x colon B to mathbb R Inhaltsverzeichnis 1 Einteilung 2 Losbarkeit 3 Beispiel 4 Numerisches Differenzieren 5 Weitere Beispiele 6 QuellenEinteilung BearbeitenSind die Grenzen des Integrals fix so wird die Integralgleichung Fredholmsch genannt tritt die freie Variable in den Integralgrenzen auf so heisst die Integralgleichung Volterrasch Ein einfaches Beispiel einer Volterraschen Integralgleichung 1 Art ist die Gleichung 0 s x t d t f s displaystyle int 0 s x t mathrm d t f s nbsp deren Losung offensichtlich die erste Ableitung ist x t f t displaystyle x t f t nbsp Losbarkeit BearbeitenIntegralgleichungen 1 Art sind in der Regel sogenannte inkorrekt gestellte Probleme also Probleme die nicht in kanonischer Weise gelost werden konnen Ist namlich K x B k s t x t d t displaystyle K colon x mapsto int B k left s t x t right mathrm d t nbsp ein kompakter Operator zwischen Banachraumen X und Y und hat K unendlich dimensionalen Bildraum dann ist das Bild von K displaystyle K nbsp von erster Kategorie in Y displaystyle Y nbsp Das bedeutet dass K displaystyle K nbsp nicht stetig invertierbar oder wenigstens offen sein kann Zur Losung von Integralgleichungen 1 Art sind daher Regularisierungsverfahren erforderlich Beispiel BearbeitenAuch das bereits erwahnte Bilden der ersten Ableitung ist ein inkorrekt gestelltes Problem Betrachtet man beispielsweise den normierten Vektorraum C 0 1 sup displaystyle left C infty left 0 1 right sup right nbsp der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen des Intervalls 0 1 displaystyle 0 1 nbsp bezuglich der Supremumsnorm so ist der Operator D C 0 1 C 0 1 f f displaystyle D colon begin cases C infty left 0 1 right to C infty left 0 1 right f mapsto f end cases nbsp welcher der Funktion f displaystyle f nbsp die Losung der Integralgleichung 0 s x t d t f s displaystyle int 0 s x t mathrm d t f s nbsp zuordnet ein unstetiger linearer Operator f n 1 n sin n 2 x displaystyle f n frac 1 n sin left n 2 x right nbsp ist im Sinne der Supremumsnorm eine Nullfolge da f n sup 1 n displaystyle f n sup frac 1 n nbsp aber fur D f n f n n cos n 2 x displaystyle Df n f n n cos left n 2 x right nbsp gilt D f n sup f n sup n displaystyle Df n sup f n sup n nbsp Die Funktionenfolge f n t displaystyle f n t nbsp konvergiert also gegen die Funktion f t 0 displaystyle f t 0 nbsp aber die Folge D f n displaystyle Df n nbsp der Bilder divergiert Numerisches Differenzieren BearbeitenDiese Eigenschaft spiegelt sich auch wider wenn man versucht naherungsweise gegebene Funktionen numerisch zu differenzieren Berechnet man beispielsweise numerisch die Ableitung von e x displaystyle mathrm e x nbsp an der Stelle x 0 5 displaystyle x 0 5 nbsp durch Bilden der Differenzenquotienten e 0 5 h e 0 5 h displaystyle frac mathrm e 0 5 h mathrm e 0 5 h nbsp fur unterschiedliche Schrittweiten h displaystyle h nbsp so erhalt man typischerweise folgendes Ergebnis h displaystyle h nbsp e 0 5 h e 0 5 h displaystyle frac mathrm e 0 5 h mathrm e 0 5 h nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 832970 1 displaystyle 0 1 nbsp 1 733980 01 displaystyle 0 01 nbsp 1 656990 001 displaystyle 0 001 nbsp 1 649550 000 1 displaystyle 0 0001 nbsp 1 648810 5 displaystyle 10 5 nbsp 1 6487310 6 displaystyle 10 6 nbsp 1 6487210 7 displaystyle 10 7 nbsp 1 6487210 8 displaystyle 10 8 nbsp 1 6487210 9 displaystyle 10 9 nbsp 1 6487210 10 displaystyle 10 10 nbsp 1 6487210 11 displaystyle 10 11 nbsp 1 6487310 12 displaystyle 10 12 nbsp 1 6486810 13 displaystyle 10 13 nbsp 1 6497910 14 displaystyle 10 14 nbsp 1 6431310 15 displaystyle 10 15 nbsp 1 5543110 16 displaystyle 10 16 nbsp 2 22045Der exakte Wert der Ableitung ist e 0 5 1 648 72 displaystyle mathrm e 0 5 approx 1 64872 nbsp Der Fehler nimmt fur immer kleinere Schrittweiten h displaystyle h nbsp also zuerst ab bis man praktisch den korrekten Wert erhalt fur noch kleinere h displaystyle h nbsp nimmt der Fehler aber uberraschenderweise wieder zu Dies erklart sich damit dass fur kleine h displaystyle h nbsp zwar der Diskretisierungsfehler also der Unterschied zwischen dem Differenzenquotienten und der Ableitung immer kleiner wird dafur aber nimmt der Fehler zu der dadurch entsteht dass man ja e x displaystyle mathrm e x nbsp nicht exakt zur Verfugung hat sondern nur eine numerische Approximation dieser Funktion Da Differenzieren ein unstetiger linearer Operator ist kann dieser zweite Fehler beliebig gross werden Dieses Verhalten ist generell typisch fur inkorrekt gestellte Probleme Weitere Beispiele BearbeitenAndere Beispiele von Integralgleichungen 1 Art sind die inverse Laplace Transformation sowie die nach Johann Radon benannte inverse Radon Transformation die in der Computertomographie eine wichtige Rolle spielt Beides sind inkorrekt gestellte Probleme Die inverse Fourier Transformation ist ebenfalls eine Integralgleichung 1 Art im Gegensatz zu den anderen Beispielen allerdings ein korrekt gestelltes Problem Quellen BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Integralgleichung 1 Art amp oldid 223116039