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Fredholm Operator In der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik ist die Klasse der en nach E I Fredholm eine

Fredholm-Operator

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) eine bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

Definition Bearbeiten

Ein beschränkter linearer Operator zwischen zwei Banachräumen und heißt Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: " ist Fredholm", wenn

Dabei ist der Kern von , also die Menge und ist das Bild von , also die Teilmenge .

Die Zahl

heißt Fredholm-Index von .

Eigenschaften Bearbeiten

Bild ist abgeschlossener Unterraum Bearbeiten

Das Bild eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

Struktur Bearbeiten

Ist ein Fredholm-Operator, dann hat der endlich-dimensionale Unterraum einen abgeschlossenen Komplementärraum in , d. h., es gilt . Die Einschränkung von ist dann offenbar ein bijektiver Operator, dessen Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen ebenfalls beschränkt ist. Der Operator ist also "bis auf endlich viele Dimensionen" stetig invertierbar. Viele der folgenden Eigenschaften lassen sich damit beweisen.

Komposition Bearbeiten

Die Komposition zweier Fredholm-Operatoren und ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt

Dualer Operator Bearbeiten

Sei der zum Fredholm-Operator duale Operator. Dann gilt und . Daher ist auch ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt .

Satz von Atkinson Bearbeiten

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren und kompakte Operatoren gibt, so dass und gilt, das heißt wenn modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator genau dann ein Fredholm-Operator, wenn seine Klasse in der Calkin-Algebra invertierbar ist.

Kompakte Störung Bearbeiten

Für jeden Fredholm-Operator und jeden kompakten Operator ist ebenfalls ein Fredholm-Operator mit gleichem Fredholm-Index wie . Daher sagt man, dass der Index eines Fredholm-Operators invariant unter kompakten Störungen ist. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form für einen kompakten Operator ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Eigenschaften des Fredholm-Index Bearbeiten

Die Menge der Fredholm-Operatoren zwischen den Banachräumen und ist offen in der Menge der beschränkten Operatoren . Auf jeder Zusammenhangskomponente von ist der Index konstant: für alle . Tatsächlich ist die Abbildung bijektiv. Daraus ergeben sich sofort die folgenden Eigenschaften des Index:

  • Die Indexabbildung ist stetig.
  • Der Index ist invariant unter kleinen Störungen, das heißt, zu gibt es , so dass für alle mit gilt: .
  • Der Index ist eine homotopie-invariante Zahl.: Ist stetig, dann haben und den gleichen Index.

Surjektivität des Fredholm-Index Bearbeiten

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.

Punctured Neighbourhood Theorem Bearbeiten

Ist ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein , so dass für alle mit

  1. und

gilt. Insbesondere ist also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus . Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.

Elliptische Operatoren Bearbeiten

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei und ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen definiert durch

für ein Fredholm-Operator.

Beispiele Bearbeiten

Shiftoperator Bearbeiten

Integraloperator Bearbeiten

Ein klassisches Beispiel eines Fredholm-Operators ist der Operator

wobei der Identitätsoperator und ein kompakter Operator ist. Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen ist der Operator von der Form

wobei der Integralkern eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist. Dieser Fredholm-Operator hat den Index 0. In der Fredholm-Theorie werden Gleichungen des Typs untersucht. Die Fredholm-Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm-Theorie gibt eine Antwort, unter welchen Bedingungen Gleichungen diesen Typs lösbar sind.

Laplace-Operator Bearbeiten

Der Laplace-Operator

definiert auf dem Sobolev-Raum der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator. Daher ist er auch ein Fredholm-Operator. Da er auch selbstadjungiert ist, hat er den Fredholm-Index 0.

Betrachtet man den Laplace-Operator im distributionellen Sinn auf , ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm-Operator bezüglich der obigen Definition. Im Sinne von unbeschränkten Operatoren, wie dies später im Artikel noch erklärt wird, ist er allerdings weiterhin ein Fredholm-Operator.

Elliptischer Operator auf einer Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Der Kreis (als gedacht) kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden. Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch

für eine komplexe Konstante gegeben. Der Kern von ist der von den Termen der Form aufgespannte Raum, falls , und 0 in den anderen Fällen. Der Kern des adjungierten Operators ist ein ähnlicher Raum, nur wird durch sein komplex-konjugiertes ersetzt. Der Fredholm-Operator hat damit den Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten Terme erfasst werden. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ändert sich ihre Differenz, der Index, stetig.

Unbeschränkte Fredholm-Operatoren Bearbeiten

Bisher wurden in diesem Artikel Fredholm-Operatoren nur als spezielle beschränkte Operatoren betrachtet. Beispielsweise in der Indextheorie elliptischer Operatoren über nicht kompakten Räumen ist es jedoch sinnvoll die Definition des Fredholm-Operators auf unbeschränkte Operatoren zu erweitern. Die Definition ist bis auf die geforderte Abgeschlossenheit des Operators identisch mit der im beschränkten Fall:

Seien und zwei Banachräume und ein Unterraum von . Ein (unbeschränkter) Operator wird Fredholm-Operator genannt, falls

  • abgeschlossen ist,
  • die Dimension des Kerns endlich ist,
  • die Kodimension von in endlich ist.

Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass der Definitionsbereich dicht liegt in , was aber offensichtlich völlig unabhängig von der eigentlichen Fredholm-Eigenschaft ist. Der Fredholm-Index ist wie im Fall beschränkter Operatoren durch

definiert.

Versieht man den Definitionsbereich eines abgeschlossenen Operators mit der sogenannten Graphennorm , so ist ein Banachraum und , betrachtet als Operator von nach , ein beschränkter Operator. Folglich kann ein unbeschränkter Fredholm-Operator stets auf einen beschränkten Fredholm-Operator zurückgeführt werden. Dementsprechend gelten viele Eigenschaften von oben auch für unbeschränkte Fredholm-Operatoren. So ist die Verkettung unbeschränkter Fredholm-Operatoren wieder ein Fredholm-Operator, für den obige Indexformel gilt; der Satz von Atkinson gilt ebenfalls, und der Fredholm-Index unbeschränkter Fredholm-Operatoren ist auch invariant unter kompakten Störungen und lokal konstant (das Wort "lokal" bezieht sich hierbei auf die so genannte Gap-Metrik). Schließlich gilt auch das Punctured Neighborhood Theorem für unbeschränkte Fredholm-Operatoren. Eine Verbindung zur Calkin-Algebra besteht für unbeschränkte Fredholm-Operatoren allerdings nicht.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 159.
  2. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 156.
  3. Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry. 2. Auflage. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 201.
  4. Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Springer/Vieweg, 2005, ISBN 3-322-80243-4, S. 164–165.
  5. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 171, 293–294.
  6. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 231.
  7. Martin Schechter: Fredholm Operators and the Essential Spectrum. (online)
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In der Funktionalanalysis einem Teilgebiet der Mathematik ist die Klasse der Fredholm Operatoren nach E I Fredholm eine bestimmte Klasse linearer Operatoren die man fast invertieren kann Jedem Fredholm Operator ordnet man eine ganze Zahl zu diese wird Fredholm Index analytischer Index oder kurz Index genannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Bild ist abgeschlossener Unterraum 2 2 Struktur 2 3 Komposition 2 4 Dualer Operator 2 5 Satz von Atkinson 2 6 Kompakte Storung 2 7 Eigenschaften des Fredholm Index 2 8 Surjektivitat des Fredholm Index 2 9 Punctured Neighbourhood Theorem 2 10 Elliptische Operatoren 3 Beispiele 3 1 Shiftoperator 3 2 Integraloperator 3 3 Laplace Operator 3 4 Elliptischer Operator auf einer Mannigfaltigkeit 4 Unbeschrankte Fredholm Operatoren 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin beschrankter linearer Operator A X Y displaystyle A colon X to Y nbsp zwischen zwei Banachraumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp heisst Fredholm Operator oder man sagt kurz A displaystyle A nbsp ist Fredholm wenn ker A displaystyle ker A nbsp endliche Dimension hat und r a n A displaystyle mathrm ran A nbsp endliche Kodimension in Y displaystyle Y nbsp hat Dabei ist ker A displaystyle ker A nbsp der Kern von A displaystyle A nbsp also die Menge x X A x 0 displaystyle x in X Ax 0 nbsp und r a n A displaystyle mathrm ran A nbsp ist das Bild von A displaystyle A nbsp also die Teilmenge A x x X Y displaystyle Ax mid x in X subseteq Y nbsp Die Zahl i n d A dim ker A c o d i m r a n A Y Z displaystyle mathrm ind A dim ker A mathrm codim mathrm ran A Y in mathbb Z nbsp heisst Fredholm Index von A displaystyle A nbsp Eigenschaften BearbeitenBild ist abgeschlossener Unterraum Bearbeiten Das Bild r a n A displaystyle mathrm ran A nbsp eines Fredholm Operators ist ein abgeschlossener Unterraum Struktur Bearbeiten Ist A X Y displaystyle A colon X to Y nbsp ein Fredholm Operator dann hat der endlich dimensionale Unterraum ker A displaystyle ker A nbsp einen abgeschlossenen Komplementarraum W displaystyle W nbsp in X displaystyle X nbsp d h es gilt X ker A W displaystyle X ker A oplus W nbsp Die Einschrankung A W ran A displaystyle widetilde A colon W to operatorname ran A nbsp von A displaystyle A nbsp ist dann offenbar ein bijektiver Operator dessen Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen ebenfalls beschrankt ist Der Operator A displaystyle A nbsp ist also bis auf endlich viele Dimensionen stetig invertierbar Viele der folgenden Eigenschaften lassen sich damit beweisen Komposition Bearbeiten Die Komposition A B displaystyle A circ B nbsp zweier Fredholm Operatoren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp ist wieder ein Fredholm Operator und fur den Index gilt 1 ind A B ind A ind B displaystyle operatorname ind A circ B operatorname ind A operatorname ind B nbsp Dualer Operator Bearbeiten Sei A Y X displaystyle A colon Y to X nbsp der zum Fredholm Operator A displaystyle A nbsp duale Operator Dann gilt dim ker A codim r a n A displaystyle dim ker A operatorname codim mathrm ran A nbsp und codim r a n A dim ker A displaystyle operatorname codim mathrm ran A dim ker A nbsp Daher ist auch A displaystyle A nbsp ein Fredholm Operator und fur seinen Index gilt ind T ind T displaystyle operatorname ind T operatorname ind T nbsp 2 Satz von Atkinson Bearbeiten Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator A X Y displaystyle A colon X to Y nbsp genau dann ein Fredholm Operator wenn es Operatoren B 1 B 2 displaystyle B 1 B 2 nbsp und kompakte Operatoren K 1 K 2 displaystyle K 1 K 2 nbsp gibt so dass A B 1 I Y K 1 displaystyle AB 1 I Y K 1 nbsp und B 2 A I X K 2 displaystyle B 2 A I X K 2 nbsp gilt das heisst wenn A displaystyle A nbsp modulo kompakter Operatoren invertierbar ist Insbesondere ist ein beschrankter Operator A X X displaystyle A colon X to X nbsp genau dann ein Fredholm Operator wenn seine Klasse A C X displaystyle A mathcal C X nbsp in der Calkin Algebra B X C X displaystyle mathcal B X mathcal C X nbsp invertierbar ist Kompakte Storung Bearbeiten Fur jeden Fredholm Operator A displaystyle A nbsp und jeden kompakten Operator K displaystyle K nbsp ist A K displaystyle A K nbsp ebenfalls ein Fredholm Operator mit gleichem Fredholm Index wie A displaystyle A nbsp Daher sagt man dass der Index eines Fredholm Operators invariant unter kompakten Storungen ist Insbesondere ist jede kompakte Storung der Identitat also jeder Operator der Form I K displaystyle I K nbsp fur einen kompakten Operator K displaystyle K nbsp ein Fredholm Operator vom Index 0 Eigenschaften des Fredholm Index Bearbeiten Die Menge F X Y displaystyle Phi X Y nbsp der Fredholm Operatoren zwischen den Banachraumen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp ist offen in der Menge der beschrankten Operatoren L X Y displaystyle L X Y nbsp Auf jeder Zusammenhangskomponente U displaystyle U nbsp von F X Y displaystyle Phi X Y nbsp ist der Index konstant ind A n U Z displaystyle operatorname ind A n U in mathbb Z nbsp fur alle A U displaystyle A in U nbsp Tatsachlich ist die Abbildung U n U displaystyle U mapsto n U nbsp bijektiv Daraus ergeben sich sofort die folgenden Eigenschaften des Index Die Indexabbildung ind F X Y Z displaystyle operatorname ind colon Phi X Y to mathbb Z nbsp ist stetig Der Index ist invariant unter kleinen Storungen das heisst zu A F X Y displaystyle A in Phi X Y nbsp gibt es e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp so dass fur alle S L X Y displaystyle S in L X Y nbsp mit S lt e displaystyle S lt varepsilon nbsp gilt ind A S ind A displaystyle operatorname ind A S operatorname ind A nbsp Der Index ist eine homotopie invariante Zahl 3 Ist ps 0 1 F X Y displaystyle psi colon 0 1 to Phi X Y nbsp stetig dann haben ps 0 displaystyle psi 0 nbsp und ps 1 displaystyle psi 1 nbsp den gleichen Index Surjektivitat des Fredholm Index Bearbeiten Der Fredholm Index als Abbildung von der Menge der Fredholm Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen ist surjektiv 4 Punctured Neighbourhood Theorem Bearbeiten Ist A X X displaystyle A colon X to X nbsp ein Fredholm Operator dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp so dass fur alle l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp mit 0 lt l lt e displaystyle 0 lt lambda lt varepsilon nbsp dim ker A l I c o n s t dim ker A displaystyle dim ker A lambda I equiv mathrm const leq dim ker A nbsp und c o d i m r a n A l I c o n s t c o d i m r a n A displaystyle mathrm codim mathrm ran A lambda I equiv mathrm const leq mathrm codim mathrm ran A nbsp gilt 5 Insbesondere ist A l I displaystyle A lambda I nbsp also ein Fredholm Operator Da der Fredholm Index stetig ist folgt daraus i n d A l I i n d A displaystyle mathrm ind A lambda I mathrm ind A nbsp Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg 6 Elliptische Operatoren Bearbeiten Jeder gleichmassig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm Operator Sei n 1 displaystyle n geq 1 nbsp und W R n displaystyle Omega subset mathbb R n nbsp ein Gebiet mit Lipschitz Rand Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann Randbedingungen A H 1 2 W H 1 2 W displaystyle A colon H 1 2 Omega to H 1 2 Omega nbsp definiert durch A u v W i j i v a i j j u displaystyle A u v int Omega sum i j partial i va ij partial j u nbsp fur u v H 1 2 W displaystyle u v in H 1 2 Omega nbsp ein Fredholm Operator Beispiele BearbeitenShiftoperator Bearbeiten Hauptartikel Shiftoperator Integraloperator Bearbeiten Ein klassisches Beispiel eines Fredholm Operators ist der Operator A I T displaystyle A I T nbsp wobei I displaystyle I nbsp der Identitatsoperator und T displaystyle T nbsp ein kompakter Operator ist Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen C a b displaystyle C a b nbsp beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen L 2 a b displaystyle L 2 a b nbsp ist der Operator A displaystyle A nbsp von der Form A ϕ x ϕ x a b k x y ϕ y d y displaystyle A phi x phi x int a b k x y phi y mathrm d y nbsp wobei der Integralkern k displaystyle k nbsp eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist Dieser Fredholm Operator hat den Index 0 In der Fredholm Theorie werden Gleichungen des Typs A ϕ x f x displaystyle A phi x f x nbsp untersucht Die Fredholm Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm Theorie gibt eine Antwort unter welchen Bedingungen Gleichungen diesen Typs losbar sind Laplace Operator Bearbeiten Hauptartikel Laplace Operator Der Laplace Operator D f k 1 n 2 f x k 2 displaystyle Delta f sum k 1 n partial 2 f over partial x k 2 nbsp definiert auf dem Sobolev Raum H 2 R n displaystyle H 2 mathbb R n nbsp der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator Daher ist er auch ein Fredholm Operator Da er auch selbstadjungiert ist hat er den Fredholm Index 0 Betrachtet man den Laplace Operator im distributionellen Sinn auf L 2 R n displaystyle L 2 mathbb R n nbsp ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm Operator bezuglich der obigen Definition Im Sinne von unbeschrankten Operatoren wie dies spater im Artikel noch erklart wird ist er allerdings weiterhin ein Fredholm Operator Elliptischer Operator auf einer Mannigfaltigkeit Bearbeiten Der Kreis als R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp gedacht kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch D d d x 2 p i l displaystyle D frac mathrm d mathrm d x 2 pi i lambda nbsp fur eine komplexe Konstante l displaystyle lambda nbsp gegeben Der Kern von D displaystyle D nbsp ist der von den Termen der Form exp i 2 p l x displaystyle exp i2 pi lambda x nbsp aufgespannte Raum falls l Z displaystyle lambda in mathbb Z nbsp und 0 in den anderen Fallen Der Kern des adjungierten Operators ist ein ahnlicher Raum nur wird l displaystyle lambda nbsp durch sein komplex konjugiertes ersetzt Der Fredholm Operator D displaystyle D nbsp hat damit den Index 0 Dieses Beispiel zeigt dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen konnen falls man den elliptischen Operator so variiert dass die oben erwahnten Terme erfasst werden Da die Sprunge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind andert sich ihre Differenz der Index stetig Unbeschrankte Fredholm Operatoren BearbeitenBisher wurden in diesem Artikel Fredholm Operatoren nur als spezielle beschrankte Operatoren betrachtet Beispielsweise in der Indextheorie elliptischer Operatoren uber nicht kompakten Raumen ist es jedoch sinnvoll die Definition des Fredholm Operators auf unbeschrankte Operatoren zu erweitern Die Definition ist bis auf die geforderte Abgeschlossenheit des Operators identisch mit der im beschrankten Fall Seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp zwei Banachraume und D A displaystyle mathcal D A nbsp ein Unterraum von X displaystyle X nbsp Ein unbeschrankter Operator A X D A Y displaystyle A colon X supset mathcal D A to Y nbsp wird Fredholm Operator genannt falls A displaystyle A nbsp abgeschlossen ist die Dimension des Kerns ker A displaystyle operatorname ker A nbsp endlich ist die Kodimension von ran A displaystyle operatorname ran A nbsp in Y displaystyle Y nbsp endlich ist Manche Autoren verlangen zusatzlich dass der Definitionsbereich D A displaystyle mathcal D A nbsp dicht liegt in X displaystyle X nbsp was aber offensichtlich vollig unabhangig von der eigentlichen Fredholm Eigenschaft ist Der Fredholm Index ist wie im Fall beschrankter Operatoren durch i n d A dim ker A c o d i m r a n A Z displaystyle mathrm ind A dim ker A mathrm codim mathrm ran A in mathbb Z nbsp definiert Versieht man den Definitionsbereich D A X displaystyle mathcal D A subset X nbsp eines abgeschlossenen Operators A X Y displaystyle A colon X to Y nbsp mit der sogenannten Graphennorm x A x X A x Y displaystyle x A x X Ax Y nbsp so ist X A D A A displaystyle X A mathcal D A cdot A nbsp ein Banachraum und A displaystyle A nbsp betrachtet als Operator von X A displaystyle X A nbsp nach Y displaystyle Y nbsp ein beschrankter Operator Folglich kann ein unbeschrankter Fredholm Operator stets auf einen beschrankten Fredholm Operator zuruckgefuhrt werden Dementsprechend gelten viele Eigenschaften von oben auch fur unbeschrankte Fredholm Operatoren So ist die Verkettung unbeschrankter Fredholm Operatoren wieder ein Fredholm Operator fur den obige Indexformel gilt der Satz von Atkinson gilt ebenfalls und der Fredholm Index unbeschrankter Fredholm Operatoren ist auch invariant unter kompakten Storungen und lokal konstant das Wort lokal bezieht sich hierbei auf die so genannte Gap Metrik Schliesslich gilt auch das Punctured Neighborhood Theorem fur unbeschrankte Fredholm Operatoren Eine Verbindung zur Calkin Algebra besteht fur unbeschrankte Fredholm Operatoren allerdings nicht 7 Siehe auch BearbeitenWesentliches SpektrumLiteratur BearbeitenDirk Werner Funktionalanalysis Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 Einzelnachweise Bearbeiten Vladimir Muller Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems in Banach Algebras Birkhauser Basel 2007 ISBN 978 3 7643 8265 0 S 159 Vladimir Muller Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems in Banach Algebras Birkhauser Basel 2007 ISBN 978 3 7643 8265 0 S 156 Masoud Khalkhali Basic Noncommutative Geometry 2 Auflage EMS 2013 ISBN 978 3 03719 128 6 S 201 Jurgen Appell Martin Vath Elemente der Funktionalanalysis Springer Vieweg 2005 ISBN 3 322 80243 4 S 164 165 Vladimir Muller Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems in Banach Algebras Birkhauser Basel 2007 ISBN 978 3 7643 8265 0 S 171 293 294 Vladimir Muller Spectral Theory of Linear Operators and Spectral Systems in Banach Algebras Birkhauser Basel 2007 ISBN 978 3 7643 8265 0 S 231 Martin Schechter Fredholm Operators and the Essential Spectrum online Normdaten Sachbegriff GND 4155256 8 lobid OGND AKS LCCN sh85051649 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fredholm Operator amp oldid 200378130