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Abelsche Integralgleichung Die abelsche Integralgleichung ist eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1 Art Sie ha

Abelsche Integralgleichung

Die abelsche Integralgleichung ist eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1. Art. Sie hat die Form:

wobei vorgegeben und die gesuchte Funktion ist. Die volterrasche Integralgleichung 1. Art ist allgemeiner als

definiert mit einer Kernfunktion . Speziell für Kernfunktionen der Form

mit gibt es eine allgemeine Lösungsmethode durch Rückführung auf die Formel für die Eulersche Betafunktion. Es ergibt sich:

Bei der abelschen Integralgleichung ist .

Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung für ausgedrückte Zusammenhang zwischen den Funktionen und wird auch als Abel-Transformation bezeichnet, das heißt ist die Abel-Transformierte von . Die durch die erwähnte Lösungsmethode für gelieferte Formel für ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation.

Anwendung und Geschichte Bearbeiten

Niels Henrik Abel untersuchte 1823 als einer der ersten Integralgleichungen, und zwar in Zusammenhang mit einem mechanischen Problem. Bis dahin war die Mechanik vorwiegend von Differentialgleichungen bestimmt. Abel betrachtete einen Körper, der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von nach (0,0) bewegt.

Ausgehend von der klassischen Formel für Geschwindigkeit

kommt man durch Integration über die Strecke auf die Fallzeit

Durch die Substitution zu der endgültigen Form:

Kennt man die Kurve , erhält man so die Fallzeit. Abel betrachtete auch das umgekehrte Problem: ist die Fallzeit vorgegeben, erhält man eine abelsche Integralgleichung für die unbekannte Funktion .

Weitere Anwendungen der abelschen Integralgleichung bzw. der Abel-Transformation gibt es in der Astrophysik, in der Geophysik (Herglotz-Wiechert-Methode der Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung aus Ankunftszeiten von seismischen Wellen) und beispielsweise in der Bestimmung der Atmosphären-Daten von Planeten durch Radio-Okkultation. Wie in der ursprünglichen Anwendung sind das typische inverse Probleme.

Literatur Bearbeiten

  • Rudolf Gorenflo, Sergio Vessella Abel Integral Equations – Analysis and Applications, Springer, Lecture Notes in Mathematics, Bd. 1461, 1991
  • Flügge Methoden der mathematischen Physik, Bd. 1, Springer Verlag, S. 130
  • Tricomi Integral Equations, Interscience, 1957, S. 39f
  • Rudolf Rothe Zur Abelschen Integralgleichung, Mathematische Zeitschrift, Band 33, 1931, Online

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Die abelsche Integralgleichung ist eine spezielle volterrasche Integralgleichung 1 Art Sie hat die Form f h 0 h u y h y d y displaystyle f h int 0 h frac u y sqrt h y mathrm d y wobei f displaystyle f vorgegeben und u displaystyle u die gesuchte Funktion ist Die volterrasche Integralgleichung 1 Art ist allgemeiner als f h 0 h u y K h y d y displaystyle f h int 0 h u y K h y mathrm d y definiert mit einer Kernfunktion K displaystyle K Speziell fur Kernfunktionen K displaystyle K der Form K h y 1 h y a displaystyle K h y frac 1 h y a mit 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt a lt 1 gibt es eine allgemeine Losungsmethode durch Ruckfuhrung auf die Formel fur die Eulersche Betafunktion Es ergibt sich u y sin p a p d d y 0 y y x a 1 f x d x displaystyle u y frac sin pi a pi frac mathrm d mathrm d y int 0 y y x a 1 f x mathrm d x Bei der abelschen Integralgleichung ist a 1 2 displaystyle a tfrac 1 2 Der durch die Verallgemeinerung der abelschen Integralgleichung fur 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt a lt 1 ausgedruckte Zusammenhang zwischen den Funktionen f displaystyle f und u displaystyle u wird auch als Abel Transformation bezeichnet das heisst f displaystyle f ist die Abel Transformierte von u displaystyle u Die durch die erwahnte Losungsmethode fur 0 lt a lt 1 displaystyle 0 lt a lt 1 gelieferte Formel fur u displaystyle u ergibt die Umkehrformel der Abeltransformation Anwendung und Geschichte BearbeitenNiels Henrik Abel untersuchte 1823 als einer der ersten Integralgleichungen und zwar in Zusammenhang mit einem mechanischen Problem Bis dahin war die Mechanik vorwiegend von Differentialgleichungen bestimmt Abel betrachtete einen Korper der sich unter dem Einfluss der Schwerkraft entlang einer in einer vertikalen Ebene gelegenen Kurve von P 1 x 0 y 0 displaystyle P1 x 0 y 0 nbsp nach 0 0 bewegt Ausgehend von der klassischen Formel fur Geschwindigkeit v d s d t 2 g y 0 y displaystyle v frac mathrm d s mathrm d t sqrt 2g y 0 y nbsp kommt man durch Integration uber die Strecke auf die Fallzeit T y 0 0 l d s 2 g y 0 y displaystyle T y 0 int 0 l frac mathrm d s sqrt 2g y 0 y nbsp Durch die Substitution s f y f y d s d y d s f y d y displaystyle s f y Rightarrow f y mathrm d s mathrm d y Rightarrow mathrm d s f y cdot mathrm d y nbsp zu der endgultigen Form T y 0 1 2 g 0 y 0 f y y 0 y d y displaystyle T y 0 frac 1 sqrt 2g int 0 y 0 frac f y sqrt y 0 y mathrm d y nbsp Kennt man die Kurve f y displaystyle f y nbsp erhalt man so die Fallzeit Abel betrachtete auch das umgekehrte Problem ist die Fallzeit vorgegeben erhalt man eine abelsche Integralgleichung fur die unbekannte Funktion f y displaystyle f y nbsp Weitere Anwendungen der abelschen Integralgleichung bzw der Abel Transformation gibt es in der Astrophysik in der Geophysik Herglotz Wiechert Methode der Bestimmung der Geschwindigkeitsverteilung aus Ankunftszeiten von seismischen Wellen und beispielsweise in der Bestimmung der Atmospharen Daten von Planeten durch Radio Okkultation Wie in der ursprunglichen Anwendung sind das typische inverse Probleme Literatur BearbeitenRudolf Gorenflo Sergio Vessella Abel Integral Equations Analysis and Applications Springer Lecture Notes in Mathematics Bd 1461 1991 Flugge Methoden der mathematischen Physik Bd 1 Springer Verlag S 130 Tricomi Integral Equations Interscience 1957 S 39f Rudolf Rothe Zur Abelschen Integralgleichung Mathematische Zeitschrift Band 33 1931 OnlineWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Abel Transform In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Abelsche Integralgleichung amp oldid 214268175