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Richtungsfeld Ein ist integraler Bestandteil einer Differentialgleichung es definiert die Form der Lösungskurve Weiterhi

Richtungsfeld

Ein Richtungsfeld ist integraler Bestandteil einer Differentialgleichung, es definiert die Form der Lösungskurve. Weiterhin bildet es als optische Interpretation die Grundlage für Näherungsverfahren wie beispielsweise dem Euler-Verfahren.

Die Lösungen einer Differentialgleichung erster Ordnung einer Skalarfunktion y(x) können in einem 2-dimensionalen Raum mit x in horizontaler und y in vertikaler Richtung gezeichnet werden. Mögliche Lösungen sind Funktionen y(x), die durch Kurven gezeichnet werden. Manchmal ist es schwierig, die Differentialgleichung analytisch zu lösen. Dann kann man jedoch die Tangenten der Funktionskurven z. B. auf einem regelmäßigen Gitter zeichnen. Die Tangenten berühren die Funktionen an den Rasterpunkten.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Ein Richtungsfeld einer Differentialgleichung (erster Ordnung) wird gebildet, indem man jedem Punkt in der Ebene einen Vektor mit Steigung zuordnet. Dieser gibt die Richtung an, in der die Graphen möglicher Lösungen der Differentialgleichung, die durch den Punkt gehen, verlaufen.

Praktisch heißt das, dass in einem Koordinatensystem beliebige Punkte gewählt werden und dazu die Steigung durch Einsetzen in die Differentialgleichung berechnet wird. (Denn die Ableitung von entspricht gerade der Steigung der Funktion.)

Zu lautet die Gleichung der einzelnen Tangentenstücke der Länge :

Hilfreich bei der grafischen Darstellung sind häufig auch die Isoklinen, gegeben durch die Gleichung , also die Linien gleicher Steigung.

Beispiel Bearbeiten

Richtungsfeld für

Die Differentialgleichung besitzt in allen Punkten den Steigungwert 0, da dieser gegeben ist durch . Im Punkt beträgt er , im Punkt dann . Mit genügend vielen Punkten bekommt man ein Richtungsfeld, in dem Scharen von möglichen Lösungen durch ihre Funktionstangenten ansatzweise sichtbar werden.

Octave-Script für Richtungsfeld Bearbeiten

Das Script richtungsfeld.m ist für GNU Octave geschrieben und zeichnet ein Richtungsfeld für DGL , eine Differentialgleichung ersten Grades. 

% Inhalt des Files ''richtungsfeld.m'' function richtungsfeld(dgl) % dgl ist die erste Ableitung von y nach x und ist i.A. eine Funktion von x und y % Ausschnitt und Abstand zwischen den Vektoren y = -5:.5:5; x = -5:.5:5; for y_n = 1:length(y)  for x_n = 1:length(x)  len = sqrt( dgl(y(y_n), x(x_n))^2 + 1 ); % Länge des Vektors für Normierung  dx(y_n,x_n) = 1 / len; % Länge des Vektors entlang der Abszisse  dy(y_n,x_n) = dgl(y(y_n), x(x_n)) / len; % Länge des Vektors entlang der Ordinate  end end  h=quiver(x, y, dx, dy,0.5,"r","linewidth",1); % Vektoren zeichnen  set (h, "maxheadsize", 0.1);  xlabel ("x"); ylabel("y"); print('field.svg', '-dsvg') % Plot als svg-Datei exportieren % Ende des Files

- Jetzt rufe man das File wie folgt innerhalb einer Octave Session auf: 

source("richtungsfeld.m") dgl = @(y, x) y-x % Funktionsdefinition  richtungsfeld(dgl)

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • W. Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Eine Einführung. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2
  • F. Reinhardt, H. Soeder: dtv-Atlas Mathematik. Band 2. 11. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, 1998, ISBN 3-423-03008-9
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Ein Richtungsfeld ist integraler Bestandteil einer Differentialgleichung es definiert die Form der Losungskurve Weiterhin bildet es als optische Interpretation die Grundlage fur Naherungsverfahren wie beispielsweise dem Euler Verfahren Die Losungen einer Differentialgleichung erster Ordnung einer Skalarfunktion y x konnen in einem 2 dimensionalen Raum mit x in horizontaler und y in vertikaler Richtung gezeichnet werden Mogliche Losungen sind Funktionen y x die durch Kurven gezeichnet werden Manchmal ist es schwierig die Differentialgleichung analytisch zu losen Dann kann man jedoch die Tangenten der Funktionskurven z B auf einem regelmassigen Gitter zeichnen Die Tangenten beruhren die Funktionen an den Rasterpunkten Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 1 1 Beispiel 1 2 Octave Script fur Richtungsfeld 2 Siehe auch 3 LiteraturMathematische Beschreibung BearbeitenEin Richtungsfeld einer Differentialgleichung erster Ordnung y x F x y x displaystyle y x F x y x nbsp wird gebildet indem man jedem Punkt x y displaystyle x y nbsp in der Ebene einen Vektor mit Steigung F x y displaystyle F x y nbsp zuordnet Dieser gibt die Richtung an in der die Graphen moglicher Losungen der Differentialgleichung die durch den Punkt x y displaystyle x y nbsp gehen verlaufen Praktisch heisst das dass in einem Koordinatensystem beliebige Punkte P x y displaystyle P x y nbsp gewahlt werden und dazu die Steigung durch Einsetzen in die Differentialgleichung berechnet wird Denn die Ableitung y displaystyle y nbsp von y displaystyle y nbsp entspricht gerade der Steigung der Funktion Zu y x F x y x displaystyle y x F x y x nbsp lautet die Gleichung der einzelnen Tangentenstucke der Lange l displaystyle l nbsp v x y l x y l 1 F 2 x y 1 F x y mit l l 2 l 2 displaystyle vec v x y lambda begin pmatrix x y end pmatrix frac lambda sqrt 1 F 2 x y begin pmatrix 1 F x y end pmatrix quad text mit quad lambda left frac l 2 frac l 2 right nbsp Hilfreich bei der grafischen Darstellung sind haufig auch die Isoklinen gegeben durch die Gleichung F x y c o n s t displaystyle F x y mathrm const nbsp also die Linien gleicher Steigung Beispiel Bearbeiten nbsp Richtungsfeld fur y y x displaystyle y y x nbsp Die Differentialgleichung y x y x x displaystyle y x y x x nbsp besitzt in allen Punkten C C displaystyle C C nbsp den Steigungwert 0 da dieser gegeben ist durch y x C C 0 displaystyle y x C C 0 nbsp Im Punkt P 1 x y 1 2 displaystyle P 1 x y 1 2 nbsp betragt er 2 1 1 displaystyle 2 1 1 nbsp im Punkt P 2 x y 4 2 displaystyle P 2 x y 4 2 nbsp dann 2 4 6 displaystyle 2 4 6 nbsp Mit genugend vielen Punkten bekommt man ein Richtungsfeld in dem Scharen von moglichen Losungen durch ihre Funktionstangenten ansatzweise sichtbar werden Octave Script fur Richtungsfeld Bearbeiten Das Script richtungsfeld m ist fur GNU Octave geschrieben und zeichnet ein Richtungsfeld fur DGL y x y x x displaystyle dot y x y x x nbsp eine Differentialgleichung ersten Grades Inhalt des Files richtungsfeld m function richtungsfeld dgl dgl ist die erste Ableitung von y nach x und ist i A eine Funktion von x und y Ausschnitt und Abstand zwischen den Vektoren y 5 5 5 x 5 5 5 for y n 1 length y for x n 1 length x len sqrt dgl y y n x x n 2 1 Lange des Vektors fur Normierung dx y n x n 1 len Lange des Vektors entlang der Abszisse dy y n x n dgl y y n x x n len Lange des Vektors entlang der Ordinate end end h quiver x y dx dy 0 5 r linewidth 1 Vektoren zeichnen set h maxheadsize 0 1 xlabel x ylabel y print field svg dsvg Plot als svg Datei exportieren Ende des Files Jetzt rufe man das File wie folgt innerhalb einer Octave Session auf source richtungsfeld m dgl y x y x Funktionsdefinition richtungsfeld dgl Siehe auch BearbeitenTrajektorie Mathematik Phasenraum VektorfeldLiteratur BearbeitenW Walter Gewohnliche Differentialgleichungen Eine Einfuhrung 7 Auflage Springer Berlin 2000 ISBN 3 540 67642 2 F Reinhardt H Soeder dtv Atlas Mathematik Band 2 11 Auflage Deutscher Taschenbuch Verlag 1998 ISBN 3 423 03008 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Richtungsfeld amp oldid 212953365