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Trajektorie Mathematik Mit Trajektorie auch Bahnkurve wird in der Mathematik meist die Lösungskurve einer Differentialgl

Trajektorie (Mathematik)

Mit Trajektorie (auch Bahnkurve) wird in der Mathematik meist die Lösungskurve einer Differentialgleichung mit vorgegebenen Anfangsbedingungen bezeichnet. Die Differentialgleichung beschreibt die Koordinaten eines Systems (im Phasenraum oder Ortsraum) in Abhängigkeit von einem Parameter, der in mechanischen Anwendungen meist die Zeit ist. Dann beschreibt die Trajektorie die Koordinaten des Systems in Abhängigkeit von der „Zeit“.

Definition Bearbeiten

Wir betrachten die Lösung eines Anfangswertproblems der folgenden Form:

Die Lösung dieses Anfangswertproblems sei auf einem (maximalen) Existenzintervall .

Als Trajektorie oder Phasenkurve des Gleichungssystems durch wird dann das Bild

bezeichnet, das durch diese Lösung definiert ist.

Phasenraum Bearbeiten

Die gemeinsame Darstellung aller Trajektorien eines Systems bezeichnet man als Phasenporträt bzw. Phasenraum. Das Phasenportrait enthält also alle Trajektorien, die die Lösungen der Anfangswertprobleme liefern, wenn der Anfangswert alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft.

Beispiel Bearbeiten

Gegeben sei das folgende System linearer Differentialgleichungen:

Eine allgemeine Lösung des Systems ist die folgende Linearkombination:

Wir wollen Trajektorien für zeichnen. Die darzustellende Funktion kann entweder durch Umformen der Lösungen für und oder durch Lösen der folgenden Differentialgleichung gefunden werden ( und aus der gegebenen Differentialgleichung):

Als Lösung ergibt sich:

Der Graph dieser Funktion ist die gesuchte Trajektorie, die Konstante ist über die Anfangsbedingung des DGL-Systems bestimmt. Hier ist ein Phasenraum aus zwölf Trajektorien mit verschiedenen Anfangsbedingungen dargestellt.

Trajektorien in der Geometrie Bearbeiten

In der Geometrie wird mit dem Begriff Trajektorie auch ein Funktionsgraph bezeichnet, der eine gegebene Kurvenschar isogonal, das heißt immer im gleichen Winkel, schneidet. Beträgt dieser Winkel 90°, so spricht man von einer orthogonalen Trajektorie.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Vgl. Brockhaus 1996. Bd. 22. S. 304
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Mit Trajektorie auch Bahnkurve wird in der Mathematik meist die Losungskurve einer Differentialgleichung mit vorgegebenen Anfangsbedingungen bezeichnet Die Differentialgleichung beschreibt die Koordinaten eines Systems im Phasenraum oder Ortsraum in Abhangigkeit von einem Parameter der in mechanischen Anwendungen meist die Zeit ist Dann beschreibt die Trajektorie die Koordinaten des Systems in Abhangigkeit von der Zeit Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Phasenraum 3 Beispiel 4 Trajektorien in der Geometrie 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenWir betrachten die Losung eines Anfangswertproblems der folgenden Form y f y y 0 y 0 displaystyle y f y quad y 0 y 0 nbsp Die Losung dieses Anfangswertproblems sei y t y 0 displaystyle y t y 0 nbsp auf einem maximalen Existenzintervall I max y 0 displaystyle I text max y 0 nbsp Als Trajektorie oder Phasenkurve des Gleichungssystems durch y 0 displaystyle y 0 nbsp wird dann das Bild T y 0 y t y 0 t I max y 0 displaystyle T y 0 lbrace y t y 0 t in I text max y 0 rbrace nbsp bezeichnet das durch diese Losung definiert ist Phasenraum BearbeitenDie gemeinsame Darstellung aller Trajektorien eines Systems bezeichnet man als Phasenportrat bzw Phasenraum Das Phasenportrait enthalt also alle Trajektorien die die Losungen der Anfangswertprobleme y t y 0 displaystyle y t y 0 nbsp liefern wenn der Anfangswert y 0 displaystyle y 0 nbsp alle Werte des Definitionsbereichs durchlauft Beispiel BearbeitenGegeben sei das folgende System linearer Differentialgleichungen y t u t v t a 1 a a 1 a y t displaystyle y t begin pmatrix u t v t end pmatrix begin pmatrix a amp 1 a a 1 amp a end pmatrix y t nbsp Eine allgemeine Losung des Systems ist die folgende Linearkombination y t u t v t C 1 e a t cos a 1 t sin a 1 t C 2 e a t sin a 1 t cos a 1 t displaystyle y t begin pmatrix u t v t end pmatrix C 1 mathrm e at begin pmatrix cos a 1 t sin a 1 t end pmatrix C 2 mathrm e at begin pmatrix sin a 1 t cos a 1 t end pmatrix nbsp Wir wollen Trajektorien fur a 1 displaystyle a 1 nbsp zeichnen Die darzustellende Funktion v u displaystyle v u nbsp kann entweder durch Umformen der Losungen fur u t displaystyle u t nbsp und v t displaystyle v t nbsp oder durch Losen der folgenden Differentialgleichung gefunden werden u t d u displaystyle u t du nbsp und v t d v displaystyle v t dv nbsp aus der gegebenen Differentialgleichung d v d u a 1 u a v a u 1 a v 1 1 u 1 v 1 u 1 1 v displaystyle frac dv du frac a 1 u av au 1 a v frac 1 1 u 1v 1u 1 1 v nbsp Als Losung ergibt sich v u C 3 u displaystyle v u C 3 u nbsp Der Graph dieser Funktion ist die gesuchte Trajektorie die Konstante C 3 displaystyle C 3 nbsp ist uber die Anfangsbedingung des DGL Systems bestimmt Hier ist ein Phasenraum aus zwolf Trajektorien mit verschiedenen Anfangsbedingungen dargestellt nbsp Trajektorien in der Geometrie BearbeitenIn der Geometrie wird mit dem Begriff Trajektorie auch ein Funktionsgraph bezeichnet der eine gegebene Kurvenschar isogonal das heisst immer im gleichen Winkel schneidet Betragt dieser Winkel 90 so spricht man von einer orthogonalen Trajektorie 1 Siehe auch BearbeitenWeg Physik Einzelnachweise Bearbeiten Vgl Brockhaus 1996 Bd 22 S 304Normdaten Sachbegriff GND 4406251 5 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trajektorie Mathematik amp oldid 230006282