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Universeller Koeffizientensatz Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem

Universeller Koeffizientensatz

Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen.

Homologische Fassung Bearbeiten

Es seien ein topologischer Raum, eine abelsche Gruppe und eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

Dabei steht abkürzend für , und Tor ist das Torsionsprodukt.

Die Folge spaltet, aber nicht natürlich.

Kohomologische Fassung Bearbeiten

Es seien ein topologischer Raum, eine abelsche Gruppe und eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

Dabei steht wieder abkürzend für , und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext. Der Homomorphismus wird durch die Kronecker-Paarung definiert.

Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst für nicht trivial.

Wie oben spaltet die Folge, aber nicht natürlich.

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

  • Zusammen mit der Aussage folgt
isomorphe Untergruppe.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Kapitel 17.
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Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie Es erlaubt die Homologie bzw Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen Inhaltsverzeichnis 1 Homologische Fassung 2 Kohomologische Fassung 3 Anwendungsbeispiele 4 Verallgemeinerungen 5 QuellenHomologische Fassung BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum A displaystyle A nbsp eine abelsche Gruppe und n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl Dann gibt es eine naturliche kurze exakte Folge 0 H n X A H n X A Tor 1 Z H n 1 X A 0 displaystyle 0 to H n X otimes A to H n X A to operatorname Tor 1 mathbb Z H n 1 X A to 0 nbsp Dabei steht H n X displaystyle H n X nbsp abkurzend fur H n X Z displaystyle H n X mathbb Z nbsp und Tor ist das Torsionsprodukt Die Folge spaltet aber nicht naturlich Kohomologische Fassung BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum A displaystyle A nbsp eine abelsche Gruppe und n displaystyle n nbsp eine naturliche Zahl Dann gibt es eine naturliche kurze exakte Folge 0 Ext Z 1 H n 1 X A H n X A Hom H n X A 0 displaystyle 0 to operatorname Ext mathbb Z 1 H n 1 X A to H n X A to operatorname Hom H n X A to 0 nbsp Dabei steht wieder H n X displaystyle H n X nbsp abkurzend fur H n X Z displaystyle H n X mathbb Z nbsp und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext Der Homomorphismus H n X A Hom H n X A displaystyle H n X A to operatorname Hom H n X A nbsp wird durch die Kronecker Paarung definiert Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst fur A Z displaystyle A mathbb Z nbsp nicht trivial Wie oben spaltet die Folge aber nicht naturlich Anwendungsbeispiele BearbeitenZusammen mit der Aussage H 1 X p 1 X a b displaystyle H 1 X pi 1 X mathrm ab nbsp folgtH 1 X R Hom p 1 X R displaystyle H 1 X mathbb R operatorname Hom pi 1 X mathbb R nbsp dd Die reelle projektive Ebene X R P 2 displaystyle X mathbb R P 2 nbsp hat die 2 Sphare als zweiblattrige universelle Uberlagerung also gilt H 1 X p 1 X Z 2 Z displaystyle H 1 X pi 1 X mathbb Z 2 mathbb Z nbsp somit besitzt H 2 X A displaystyle H 2 X A nbsp eine zuExt 1 Z 2 Z A A 2 A displaystyle operatorname Ext 1 mathbb Z 2 mathbb Z A A 2A nbsp dd isomorphe Untergruppe Verallgemeinerungen BearbeitenEs gibt vollkommen analoge Aussagen fur beliebige flache fur Homologie bzw freie fur Kohomologie Kettenkomplexe uber einem beliebigen Hauptidealring R displaystyle R nbsp und R displaystyle R nbsp Moduln Der Satz von Kunneth enthalt das universelle Koeffiziententheorem als Spezialfall Quellen BearbeitenJ P May A Concise Course in Algebraic Topology University of Chicago Press Chicago 1999 ISBN 0 226 51183 9 Kapitel 17 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Universeller Koeffizientensatz amp oldid 221719299