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Flachheit Algebra Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs freier Modul Dieser Artikel beschäftigt s

Flachheit (Algebra)

Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs „freier Modul“.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition Bearbeiten

Ein Modul über einem Ring heißt flach, wenn der Funktor

exakt ist. (Siehe Tensorprodukt von Moduln.)

Äquivalente Charakterisierungen sind:

Eigenschaften Bearbeiten

eine exakte Sequenz. Dann ist die Sequenz
exakt, falls oder flach ist. Dies entspricht der Symmetrie des Funktors Tor.
  • Sind und flache -Moduln, so auch .
  • Im Ring der dualen Zahlen ist flach äquivalent zu frei.
  • Sei . Dann ist genau dann flach, wenn für alle flach ist.

Beispiele Bearbeiten

  • ist ein flacher, aber nicht projektiver -Modul.
  • Für jeden Ring ist der -Modul flach.
  • Sei ein kommutativer Ring mit Einselement und eine multiplikativ abgeschlossene Menge, dann ist der -Modul flach.
  • ist eine flache -Algebra.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. Gemäß dem Artikel über Daniel Lazare folgt diese Tatsache aus einem Kriterium für Flachheit, dass Daniel Lazard in seiner Dissertation Autour de la platitude gegeben hat: Ein Modul ist genau dann flach, wenn er direkter Limes endlich erzeugter freier Moduln ist. Siehe: Lazard Autour de la platitude, Bulletin de la Société Mathématique de France, Band 97, 1969, S. 81–128, (Memento vom 6. August 2014 im Internet Archive). Lazard veröffentlichte dieses Kriterium bereits fünf Jahre zuvor in seinem Artikel Sur les modules plats, C. R. Acad. Sci. Paris 258, 6313–6316 (1964)

Literatur Bearbeiten

  • David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94269-6.
  • Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, ISBN 0-521-36764-6.
  • Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, ISBN 0-19-920249-4.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, Theorem 7.7 und Theorem 7.8, S. 51f.
  2. David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, Corollary 6.6, S. 166; Hideyuki Matsumura, Commutative ring theory. Cambridge University Press, Cambridge 1989, Corollary 7.12, S. 53
  3. David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, New York 1995, Corollary 6.3, S. 164
  4. Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, Corollary 1.2.14, S. 11
  5. Qing Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves. Oxford University Press, Oxford 2006, Proposition 2.6, S. 9
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Veröffentlichungsdatum:
Flachheit von Moduln ist eine Verallgemeinerung des Begriffs freier Modul Dieser Artikel beschaftigt sich mit kommutativer Algebra Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement Fur weitere Details siehe Kommutative Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Anmerkungen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Modul M displaystyle M nbsp uber einem Ring A displaystyle A nbsp heisst flach wenn der Funktor N M A N displaystyle N mapsto M otimes A N nbsp exakt ist Siehe Tensorprodukt von Moduln Aquivalente Charakterisierungen sind 1 Tor 1 N M 0 displaystyle operatorname Tor 1 N M 0 nbsp fur alle A displaystyle A nbsp Moduln N displaystyle N nbsp Siehe Tor Mathematik Fur jedes Ideal I displaystyle I nbsp von A displaystyle A nbsp ist I A M I M displaystyle I otimes A M to IM nbsp injektiv Tor 1 A I M 0 displaystyle operatorname Tor 1 A I M 0 nbsp fur alle Ideale I displaystyle I nbsp von A displaystyle A nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Alle projektiven und damit alle freien Moduln sind flach Umgekehrt ist jeder endlich prasentierte flache Modul projektiv 2 Anm 1 Flache Moduln sind torsionsfrei 3 Uber Dedekindringen insbesondere also uber Hauptidealringen stimmen die Begriffe flach und torsionsfrei sogar uberein 4 Es sei0 N N N 0 displaystyle 0 to N to N to N to 0 nbsp dd eine exakte Sequenz Dann ist die Sequenz0 M N M N M N 0 displaystyle 0 to M otimes N to M otimes N to M otimes N to 0 nbsp dd exakt falls M displaystyle M nbsp oder N displaystyle N nbsp flach ist 5 Dies entspricht der Symmetrie des Funktors Tor Sind M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp flache R displaystyle R nbsp Moduln so auch M R N displaystyle M otimes R N nbsp Im Ring der dualen Zahlen ist flach aquivalent zu frei Sei M i I M i displaystyle M bigoplus i in I M i nbsp Dann ist M displaystyle M nbsp genau dann flach wenn M i displaystyle M i nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp flach ist Beispiele BearbeitenQ displaystyle mathbb Q nbsp ist ein flacher aber nicht projektiver Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul Fur jeden Ring R displaystyle R nbsp ist der R displaystyle R nbsp Modul R displaystyle R nbsp flach Sei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement und S R displaystyle S subseteq R nbsp eine multiplikativ abgeschlossene Menge dann ist der R displaystyle R nbsp Modul S 1 R displaystyle S 1 R nbsp flach Damit ist insbesondere k t 1 t n displaystyle k t 1 ldots t n nbsp ein flacher k t 1 t n displaystyle k t 1 ldots t n nbsp Modul dd R X displaystyle R X nbsp ist eine flache R displaystyle R nbsp Algebra Anmerkungen Bearbeiten Gemass dem Artikel uber Daniel Lazare folgt diese Tatsache aus einem Kriterium fur Flachheit dass Daniel Lazard in seiner Dissertation Autour de la platitude gegeben hat Ein Modul ist genau dann flach wenn er direkter Limes endlich erzeugter freier Moduln ist Siehe Lazard Autour de la platitude Bulletin de la Societe Mathematique de France Band 97 1969 S 81 128 numdam Memento vom 6 August 2014 im Internet Archive Lazard veroffentlichte dieses Kriterium bereits funf Jahre zuvor in seinem Artikel Sur les modules plats C R Acad Sci Paris 258 6313 6316 1964 Literatur BearbeitenDavid Eisenbud Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer Verlag New York 1995 ISBN 0 387 94269 6 Hideyuki Matsumura Commutative ring theory Cambridge University Press Cambridge 1989 ISBN 0 521 36764 6 Qing Liu Algebraic Geometry and Arithmetic Curves Oxford University Press Oxford 2006 ISBN 0 19 920249 4 Einzelnachweise Bearbeiten Hideyuki Matsumura Commutative ring theory Cambridge University Press Cambridge 1989 Theorem 7 7 und Theorem 7 8 S 51f David Eisenbud Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer Verlag New York 1995 Corollary 6 6 S 166 Hideyuki Matsumura Commutative ring theory Cambridge University Press Cambridge 1989 Corollary 7 12 S 53 David Eisenbud Commutative algebra with a view toward algebraic geometry Springer Verlag New York 1995 Corollary 6 3 S 164 Qing Liu Algebraic Geometry and Arithmetic Curves Oxford University Press Oxford 2006 Corollary 1 2 14 S 11 Qing Liu Algebraic Geometry and Arithmetic Curves Oxford University Press Oxford 2006 Proposition 2 6 S 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Flachheit Algebra amp oldid 232309192