Das Tensorprodukt von Moduln uber einem beliebigen Ring mit 1 ist eine Verallgemeinerung des Tensorprodukts von Vektorraumen uber einem Korper Es hat Bedeutung in der abstrakten Algebra und findet in der homologischen Algebra in der algebraischen Topologie und in der algebraischen Geometrie Anwendung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Grundkonstruktion 3 Konstruktion als R Modul 4 Wechsel des Rings 5 Spezialfalle 6 Kategorielle Eigenschaften 7 Beispiele 8 Struktur der Elemente 8 1 Elementare Tensoren 8 2 Allgemeine Gestalt 9 Weiterfuhrende Begriffe 10 Literatur 11 EinzelnachweiseDefinition Bearbeiten nbsp Sei R displaystyle R nbsp ein Ring mit 1 displaystyle 1 nbsp aber nicht notwendigerweise kommutativ Sei M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Rechtsmodul und N displaystyle N nbsp ein R displaystyle R nbsp Linksmodul Das Tensorprodukt M R N R displaystyle M otimes R N otimes R nbsp 1 uber R displaystyle R nbsp ist definiert durch eine abelsche Gruppe M R N displaystyle M otimes R N nbsp und eine Z displaystyle mathbb Z nbsp bilineare Abbildung R M N M R N m n m R n displaystyle begin matrix otimes R amp M times N amp to amp M otimes R N amp m n amp mapsto amp m otimes R n end matrix nbsp also durch eine Abbildung mit m M n 1 n 2 N displaystyle forall m in M n 1 n 2 in N nbsp R m n 1 n 2 R m n 1 R m n 2 displaystyle otimes R m n 1 n 2 otimes R m n 1 otimes R m n 2 nbsp Dl m 1 m 2 M n N displaystyle forall m 1 m 2 in M n in N nbsp R m 1 m 2 n R m 1 n R m 2 n displaystyle otimes R m 1 m 2 n otimes R m 1 n otimes R m 2 n nbsp Dr die ausserdem m M n N r R displaystyle forall m in M n in N r in R nbsp R m r n R m r n displaystyle otimes R mr n otimes R m rn nbsp A 2 erfullt 3 die zusammen die folgende universelle Eigenschaft haben Zu jeder abelschen Gruppe G displaystyle G nbsp und jeder Z displaystyle mathbb Z nbsp bilinearen Abbildungg M N G displaystyle g colon M times N to G nbsp dd mit der zusatzlichen Eigenschaft m M n N r R displaystyle forall m in M n in N r in R nbsp g m r n g m r n displaystyle g mr n g m rn nbsp Ag gibt es einen Gruppen Homomorphismusg M R N G displaystyle g otimes M otimes R N to G nbsp mit g R g displaystyle g otimes circ otimes R g nbsp dd und dieser ist eindeutig bestimmt Diese universelle Eigenschaft definiert ein bis auf Isomorphie eindeutig bestimmtes Tensorprodukt und R displaystyle otimes R nbsp wird die kanonische vermittelnde bilineare Abbildung des Tensorprodukts genannt 4 Fur R m n displaystyle otimes R m n nbsp sind die abkurzenden Schreibweisen m R n displaystyle m otimes R n nbsp und m n displaystyle m otimes n nbsp gebrauchlich BemerkungenDie Forderung Dl bedeutet die Linksdistributivitat von R displaystyle otimes R nbsp uber der Moduladdition und Dr die Rechtsdistributivitat Die Forderung A erinnert an das Assoziativgesetz der Ringmultiplikation Aus Dlg folgt dass jedes m 0 displaystyle m 0 nbsp wegen g m 0 g m 0 0 g m 0 g m 0 0 G displaystyle g m 0 g m 0 0 g m 0 g m 0 0 G nbsp auf das neutrale Element 0 G G displaystyle 0 G in G nbsp abgebildet wird entsprechend g 0 n 0 G displaystyle g 0 n 0 G nbsp aus Drg Grundkonstruktion BearbeitenDie Existenz des Tensorprodukts erweist sich durch folgende Konstruktion Man betrachtet den von allen Paaren m n M N displaystyle m n in M times N nbsp erzeugten freien Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul F displaystyle F nbsp der zu Z M N M N Z displaystyle mathbb Z M times N bigoplus M times N mathbb Z nbsp direkte Summe isomorph ist Da Z displaystyle mathbb Z nbsp eine 1 displaystyle 1 nbsp enthalt konnen die Paare m n M N displaystyle m n in M times N nbsp als Basis von F displaystyle F nbsp aufgefasst werden Man bildet den Z displaystyle mathbb Z nbsp Untermodul Q displaystyle Q nbsp der durch die Linearkombinationen von Basiselementen in F displaystyle F nbsp m M n 1 n 2 N displaystyle forall m in M n 1 n 2 in N nbsp m n 1 n 2 m n 1 m n 2 displaystyle m n 1 n 2 m n 1 m n 2 nbsp DlZ m 1 m 2 M n N displaystyle forall m 1 m 2 in M n in N nbsp m 1 m 2 n m 1 n m 2 n displaystyle m 1 m 2 n m 1 n m 2 n nbsp DrZ m M n N r R displaystyle forall m in M n in N r in R nbsp m r n m r n displaystyle mr n m rn nbsp AZ erzeugt wird Die abelsche Gruppe M R N displaystyle M otimes R N nbsp wird definiert als der Quotient von F displaystyle F nbsp nach Q displaystyle Q nbsp in Zeichen M R N F Q displaystyle M otimes R N F Q nbsp und das Bild von m n displaystyle m n nbsp unter der bilinearen Abbildung R displaystyle otimes R nbsp als die Nebenklasse von m n displaystyle m n nbsp in Zeichen R m n m n Q displaystyle otimes R m n m n Q nbsp Durch universelle Eigenschaften definierte Objekte sind immer bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt BemerkungenFur r N displaystyle r in mathbb N nbsp folgt aus DlZ r m n m n m n r Summanden m n n r Summanden m r n mod Q displaystyle r cdot m n underbrace m n dots m n r text Summanden equiv m underbrace n dots n r text Summanden m rn mod Q nbsp und aus DrZ analog r m n m r n displaystyle r m otimes n mr otimes n nbsp zusammen r m n m r n m r n displaystyle r m otimes n m otimes rn mr otimes n nbsp Deshalb genugt es bei abelschen Gruppen Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln M N displaystyle M N nbsp die Bedingungen DlZ und DrZ zu etablieren die Bedingung AZ ist dann automatisch etabliert Bezeichnet man mit M N displaystyle M N nbsp die M N displaystyle M N nbsp resp unterliegenden Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduln dann kann der Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul M R N displaystyle M otimes R N nbsp kanonisch identifiziert werden mit dem Quotienten des Z displaystyle mathbb Z nbsp Moduls M Z N displaystyle M otimes mathbb Z N nbsp nach dem Z displaystyle mathbb Z nbsp Untermodul der durch Elemente der Form m r n m r n displaystyle mr otimes n m otimes rn nbsp mit m M n N r R displaystyle m in M n in N r in R nbsp erzeugt wird 5 Konstruktion als R Modul BearbeitenIst der Ring R displaystyle R nbsp kommutativ in diesem Fall kann man einen R displaystyle R nbsp Rechtsmodul mit einer R displaystyle R nbsp Linksmodulstruktur versehen und umgekehrt so ist das Tensorprodukt M R N displaystyle M otimes R N nbsp nicht nur eine abelsche Gruppe sondern ein R displaystyle R nbsp Modul und R displaystyle otimes R nbsp eine R displaystyle R nbsp bilineare Abbildung und nicht nur eine Z displaystyle mathbb Z nbsp bilineare Die Skalarmultiplikation kann dabei mit Hilfe der Festlegung der Ubersichtlichkeit halber ist das Suffix R displaystyle R nbsp bei der Abbildung R displaystyle otimes R nbsp weggelassen m M n N r R displaystyle forall m in M n in N r in R nbsp r m n m r n displaystyle r m otimes n mr otimes n nbsp SR definiert werden Diese Verknupfung ist wohldefiniert da fur jedes s R displaystyle s in R nbsp die Unabhangigkeit vom Reprasentanten m s n displaystyle ms n nbsp oder m s n displaystyle m sn nbsp der Nebenklasse m s n m s n displaystyle ms otimes n m otimes sn nbsp aus r m s n m s r n m s r n m r s n m r s n m r s n r m s n displaystyle r ms otimes n ms r otimes n m sr otimes n m rs otimes n mr s otimes n mr otimes sn r m otimes sn nbsp folgt Man beachte dass bei der dritten Gleichheit die Kommutativitat von R displaystyle R nbsp gebraucht wird Alternativ kann das Tensorprodukt direkt als Modul konstruiert werden Dabei nimmt man bei der Grundkonstruktion anstelle der freien abelschen Gruppe den von M N displaystyle M times N nbsp erzeugten freien R displaystyle R nbsp Modul Bei der Erzeugung von Q displaystyle Q nbsp das in diesem Fall nicht nur eine Untergruppe sondern ein Untermodul wird nimmt man dabei noch die Linearkombinationen m M n N r R displaystyle forall m in M n in N r in R nbsp r m n m r n displaystyle r cdot m n mr n nbsp S R hinzu Die Kommutativitat von R displaystyle R nbsp stellt die Assoziativitat der Skalarmultiplikation sicher denn es ist r s m n r m s n m s r n m s r n m r s n r s m n displaystyle r s m otimes n r ms otimes n ms r otimes n m sr otimes n m rs otimes n rs m otimes n nbsp fur m M n N r s R displaystyle m in M n in N r s in R nbsp Der auf diese zwei Arten konstruierte R Modul hat eine entsprechende universelle Eigenschaft Zu jedem R Modul G displaystyle G nbsp und jeder R bilinearen Abbildung 6 g M N G displaystyle g colon M times N to G nbsp dd gibt es einen R Modul Homomorphismusg M R N G displaystyle g otimes M otimes R N to G nbsp mit g R g displaystyle g otimes circ otimes R g nbsp dd und dieser ist eindeutig bestimmt BemerkungenSpezialisierung Ist R displaystyle R nbsp ein Korper so sind die R displaystyle R nbsp Moduln M N displaystyle M N nbsp und das Tensorprodukt M R N displaystyle M otimes R N nbsp R displaystyle R nbsp Vektorraume und Letzteres stimmt mit M N displaystyle M otimes N nbsp aus dem Artikel Tensorprodukt von Vektorraumen uberein Verallgemeinerung Man kann die Nicht Kommutativitat von R displaystyle R nbsp zulassen und mit Z R displaystyle Z R nbsp als Bezeichnung fur das Zentrum des Ringes R displaystyle R nbsp bei beiden Konstruktionen in diesem Abschnitt R displaystyle R nbsp durch Z R displaystyle Z R nbsp ersetzen um beim eindeutig bestimmten Z R displaystyle Z R nbsp Modul M R N displaystyle M otimes R N nbsp und der Z R displaystyle Z R nbsp bilinearen Abbildung R displaystyle otimes R nbsp anzukommen Zur Erfullung von A wird dabei Q displaystyle Q nbsp wie vorher aus Linearkombinationen AZ mit Skalaren aus dem ursprunglichen Ring R displaystyle R nbsp erzeugt Dieser Ring ist es auch der das Tensorprodukt M R N displaystyle M otimes R N nbsp charakterisiert Zur Vermeidung von Verwechslungen geht man am besten zunachst der Definition gemass von einem Z displaystyle mathbb Z nbsp Modul M R N displaystyle M otimes R N nbsp aus den man je nach Bedarf a posteriori durch SR mit einer Links oder Rechts S displaystyle S nbsp Skalarmultiplikation versieht mit S displaystyle S nbsp als einem Unterring von Z R displaystyle Z R nbsp Der Ring R displaystyle R nbsp beim Operator R displaystyle otimes R nbsp kann grosse Auswirkung haben wie die Beispiele C C C C displaystyle mathbb C otimes mathbb C mathbb C mathbb C nbsp und C R C C R R x x 2 1 C x x 2 1 C 2 displaystyle mathbb C otimes mathbb R mathbb C mathbb C otimes mathbb R mathbb R x x 2 1 mathbb C x x 2 1 mathbb C 2 nbsp zeigen Wechsel des Rings BearbeitenR displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp seien Ringe r S R displaystyle rho colon S to R nbsp sei ein Ringhomomorphismus und M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Rechtsmodul N displaystyle N nbsp ein R displaystyle R nbsp Linksmodul Dann gibt es in den Bezeichnungen von Modul Mathematik Wechsel des Rings genau eine Z displaystyle mathbb Z nbsp lineare Abbildungf M S S N S M R N displaystyle varphi colon M S otimes S N S to M otimes R N nbsp dd derart dass fur alle m M n N displaystyle m in M n in N nbsp f m S n m R n displaystyle varphi m otimes S n m otimes R n nbsp dd Diese Abbildung ist surjektiv und wird als kanonisch bezeichnet Ist dabei S R displaystyle S subseteq R nbsp dann istM R N M S N Q displaystyle M otimes R N M otimes S N Q nbsp dd wobei Q displaystyle Q nbsp durch die m r S n m S r n displaystyle mr otimes S n m otimes S rn nbsp mit m M n N r R displaystyle m in M n in N r in R nbsp erzeugt wird Sei I displaystyle I nbsp ein zweiseitiges Ideal in R displaystyle R nbsp welches sowohl im Annihilator von M displaystyle M nbsp wie von N displaystyle N nbsp enthalten ist Dann hat M displaystyle M nbsp resp N displaystyle N nbsp eine kanonische rechte resp linke R I displaystyle R I nbsp Modulstruktur und der kanonische Homomorphismusf M R N M R I N displaystyle varphi colon M otimes R N to M otimes R I N nbsp dd der dem kanonischen Homomorphismus r R R I displaystyle rho colon R to R I nbsp entspricht ist die Identitat 7 Spezialfalle BearbeitenSeien R R1 R2 R3 nicht notwendigerweise kommutative Ringe Ist M12 ein R1 R2 Bimodul und M20 ein linker R2 Modul dann ist das TensorproduktM 12 R 2 M 20 displaystyle M 12 otimes R 2 M 20 nbsp dd ein linker R1 Modul Ist M02 ein rechter R2 Modul und M23 ein R2 R3 Bimodul dann ist das TensorproduktM 02 R 2 M 23 displaystyle M 02 otimes R 2 M 23 nbsp dd ein rechter R3 Modul Ist M01 ein rechter R1 Modul M12 ein R1 R2 Bimodul und M20 ein linker R2 Modul dann gilt das Assoziativitatsgesetz M 01 R 1 M 12 R 2 M 20 M 01 R 1 M 12 R 2 M 20 displaystyle M 01 otimes R 1 M 12 otimes R 2 M 20 M 01 otimes R 1 M 12 otimes R 2 M 20 nbsp 8 dd Mithin fuhrt bei der klammerlosen NotationM 01 R 1 M 12 R 2 M 20 displaystyle M 01 otimes R 1 M 12 otimes R 2 M 20 nbsp dd jede beliebige Reihenfolge der Ausfuhrung von zum selben Ergebnis Jeder Ring R displaystyle R nbsp ist ein R displaystyle R nbsp R displaystyle R nbsp Bimodul Also istR R R R displaystyle R otimes R R R nbsp dd mit der Ringmultiplikationm n m R n displaystyle mn m otimes R n nbsp dd als der kanonischen Z displaystyle mathbb Z nbsp bilinearen Abbildung Fur alle R Moduln M und N istM R 0 0 0 R N displaystyle M otimes R 0 0 0 otimes R N nbsp dd Ist R displaystyle R nbsp kommutativ so sind die R displaystyle R nbsp ModulnM R N displaystyle M otimes R N nbsp und N R M displaystyle N otimes R M nbsp dd kanonisch isomorph Ist A displaystyle A nbsp eine R displaystyle R nbsp Algebra so istA R N displaystyle A otimes R N nbsp dd ein A displaystyle A nbsp Linksmodul die Moduloperation ist gegeben durchb a n b a n displaystyle b a otimes n ba otimes n nbsp fur a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp in A displaystyle A nbsp dd Jeder Ring R displaystyle R nbsp mit 1 displaystyle 1 nbsp ist ein R displaystyle R nbsp R displaystyle R nbsp Bimodul Also istR R R R displaystyle R otimes R R R nbsp dd mit der Ringmultiplikationm R n m n displaystyle m otimes R n mn nbsp dd als der kanonischen Z displaystyle mathbb Z nbsp bilinearen Abbildung Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring und sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp assoziative R displaystyle R nbsp Algebren so istA R B displaystyle A otimes R B nbsp dd wieder eine assoziative R displaystyle R nbsp Algebra die Multiplikation ist gegeben durch a 1 b 1 a 2 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 displaystyle a 1 otimes b 1 a 2 otimes b 2 a 1 a 2 otimes b 1 b 2 nbsp dd Kategorielle Eigenschaften BearbeitenVerschiedene Varianten des Tensorproduktes besitzen rechtsadjungierte Funktoren Ist R displaystyle R nbsp ein Ring M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Rechtsmodul N displaystyle N nbsp ein R displaystyle R nbsp Linksmodul und G displaystyle G nbsp eine abelsche Gruppe so gilt H o m Z M R N G H o m R M H o m Z N G displaystyle mathrm Hom mathbb Z M otimes R N G mathrm Hom R M mathrm Hom mathbb Z N G nbsp dd dabei ist H o m Z N G displaystyle mathrm Hom mathbb Z N G nbsp ein R displaystyle R nbsp Rechtsmodul vermoge f r n f r n fur f H o m Z N G r R n N displaystyle f cdot r n f rn quad text fur f in mathrm Hom mathbb Z N G r in R n in N nbsp dd Ist R displaystyle R nbsp ein Ring A displaystyle A nbsp eine R displaystyle R nbsp Algebra M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Linksmodul und N displaystyle N nbsp ein A displaystyle A nbsp Linksmodul so gilt H o m A A R M N H o m R M N displaystyle mathrm Hom A A otimes R M N mathrm Hom R M N nbsp dd Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement und sind M displaystyle M nbsp N displaystyle N nbsp G displaystyle G nbsp drei R displaystyle R nbsp Moduln so gilt H o m R M R N G H o m R M H o m R N G displaystyle mathrm Hom R M otimes R N G mathrm Hom R M mathrm Hom R N G nbsp dd Insbesondere ist das Tensorprodukt ein rechtsexakter Funktor Das Tensorprodukt ist der Pushout in der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement insbesondere ist fur einen kommutativen Ring R displaystyle R nbsp mit Eins das Tensorprodukt uber R displaystyle R nbsp das Koprodukt fur endlich viele Objekte in der Kategorie der R displaystyle R nbsp Algebren Beispiele BearbeitenZ n Z Z Z m Z Z g g T m n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z otimes mathbb Z mathbb Z m mathbb Z mathbb Z mathrm ggT m n mathbb Z nbsp Q Z Z n Z 0 displaystyle mathbb Q otimes mathbb Z mathbb Z n mathbb Z 0 nbsp Q Z R R displaystyle mathbb Q otimes mathbb Z mathbb R mathbb R nbsp Lokalisierungen von Moduln sind Tensorprodukte mit den lokalisierten Ringen also ist beispielsweiseQ Z Q Q displaystyle mathbb Q otimes mathbb Z mathbb Q mathbb Q nbsp dd Ist R displaystyle R nbsp ein Ring I displaystyle I nbsp ein zweiseitiges Ideal und M displaystyle M nbsp ein R displaystyle R nbsp Linksmodul so istM I M M R R I displaystyle M IM M otimes R R I nbsp dd Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement so istR X R R Y R X Y displaystyle R X otimes R R Y R X Y nbsp dd R X R Z Z X displaystyle R X R otimes mathbb Z mathbb Z X nbsp Struktur der Elemente BearbeitenElementare Tensoren Bearbeiten Ein elementarer Tensor bzw reiner Tensor im Tensorprodukt M R N displaystyle M otimes R N nbsp ist ein Element von der Form m n displaystyle m otimes n nbsp mit m M n N displaystyle m in M n in N nbsp Allgemeine Gestalt Bearbeiten Jedes Element x displaystyle x nbsp des Tensorprodukts M R N displaystyle M otimes R N nbsp ist eine endliche Summe x i m i n i m i M n i N displaystyle x sum i m i otimes n i m i in M n i in N nbsp von elementaren Tensoren Diese Darstellung ist nicht eindeutig Ferner lasst sich im Allgemeinen nicht jeder Tensor als elementarer Tensor schreiben Zum Beispiel ist der Tensor e 1 e 2 e 2 e 1 displaystyle e 1 otimes e 2 pm e 2 otimes e 1 nbsp kein elementarer Tensor im Tensorprodukt R 2 R R 2 displaystyle mathbb R 2 otimes mathbb R mathbb R 2 nbsp wobei e i displaystyle e i nbsp die Standardbasisvektoren im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp sind dagegen e 1 e 1 e 1 e 2 e 2 e 1 e 2 e 2 e 1 e 2 e 1 e 2 displaystyle e 1 otimes e 1 pm e 1 otimes e 2 pm e 2 otimes e 1 e 2 otimes e 2 e 1 pm e 2 otimes e 1 pm e 2 nbsp durchaus Ist R ein kommutativer Ring und M displaystyle M nbsp ein von einem Element erzeugter R Modul dann ist jeder Tensor des Tensorprodukts M R N displaystyle M otimes R N nbsp ein elementarer Tensor fur jeden beliebigen R Modul N displaystyle N nbsp Weiterfuhrende Begriffe BearbeitenIn der Algebra Flachheit BrauergruppeIn der Differentialgeometrie Tensorfeld Differentialform VektorbundelIn der Funktionalanalysis Tensorprodukt fur Von Neumann Algebren Raumliches Tensorprodukt C Algebren Maximales Tensorprodukt C Algebren Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage Springer Verlag 2009 ISBN 3 540 40388 4 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Tensorprodukt uber Ringen Abschnitt 7 2 S 299 Einzelnachweise Bearbeiten gelesen als Tensorprodukt von M displaystyle M nbsp mit N displaystyle N nbsp uber R displaystyle R nbsp oder auch als M displaystyle M nbsp tensoriert uber R displaystyle R nbsp mit N displaystyle N nbsp so auch bei N Bourbaki Elements of Mathematics Algebra I Chapters 1 3 2 Auflage Springer 1998 ISBN 3 540 64243 9 3 Tensor products S 243 Internet Archive Fur eine Abbildung mit diesen 3 Eigenschaften findet sich in der englischen Literatur gelegentlich die Bezeichnung balanced product dt etwa balancierte Multiplikation uber R N Bourbaki Elements of Mathematics Algebra I Chapters 1 3 2 Auflage Springer 1998 ISBN 3 540 64243 9 3 Tensor products S 244 Internet Archive N Bourbaki Elements of Mathematics Algebra I Chapters 1 3 2 Auflage Springer 1998 ISBN 3 540 64243 9 3 Tensor products S 244 Internet Archive Die R Bilinearitat zieht die Eigenschaft Ag nach sich N Bourbaki Elements of Mathematics Algebra I Chapters 1 3 2 Auflage Springer 1998 ISBN 3 540 64243 9 3 Tensor products S 246 Internet Archive N Bourbaki Elements of Mathematics Algebra I Chapters 1 3 2 Auflage Springer 1998 ISBN 3 540 64243 9 3 Tensor products S 258 Internet Archive Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tensorprodukt von Moduln amp oldid 219873379
