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Räumliches Tensorprodukt Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bie

Räumliches Tensorprodukt

Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete räumliche Tensorprodukt bietet die Möglichkeit, aus C*-Algebren neue zu konstruieren. Im Allgemeinen gibt es mehrere Möglichkeiten, das algebraische Tensorprodukt zweier C*-Algebren zu einer C*-Algebra zu vervollständigen; die hier behandelte C*-Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Möglichkeiten, weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht. Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M. Takesaki zurück.

Definitionen Bearbeiten

Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Norm , so dass

Ist eine solche C*-Norm, so ist die mit bezeichnete Vervollständigung eine C*-Algebra. Ist eine C*-Norm, die sich für jedes Paar von C*-Algebren und definieren lässt, so spricht man von einem -Tensorprodukt.

Man kann zeigen, dass C*-Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben, das heißt, es gilt für alle .

In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilberträumen, auf denen die C*-Algebren operieren, mit bezeichnete C*-Normen definiert, wobei das wegen der verwendeten Hilberträume an spatial (deutsch: räumlich) erinnern soll.

Konstruktion Bearbeiten

Es seien und zwei C*-Algebren. Nach dem Satz von Gelfand-Neumark gibt es Hilberträume und und isometrische *-Homomorphismen und , das heißt wir können annehmen, dass die C*-Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra über geeigneten Hilberträumen sind. Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen. Man bildet nun das Hilbertraum-Tensorprodukt und betrachtet ein Element des algebraischen Tensorproduktes als Operator auf , der durch

definiert ist, wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist. Dann ist klar, dass die Einschränkung der Operatornorm von auf eine C*-Norm ist.

Unabhängigkeit von den Hilberträumen Bearbeiten

Obige Konstruktion hängt zunächst von der Wahl der Hilberträume ab. Hier wird eine Formel für die räumliche Norm aufgestellt, die von den Hilberträumen unabhängig ist. Sind und Zustände auf bzw. , so gibt es genau einen mit bezeichneten Zustand auf mit für alle und , den sogenannten Produktzustand aus und . Für ein Element des algebraischen Tensorproduktes gilt nun

wobei das Supremum über alle Zustände von , von und mit gebildet wird. Diese Formel zeigt die Unabhängigkeit von der Wahl der Hilberträume, denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C*-Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt.

Zur Bezeichnung: Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird an Stelle von geschrieben, Murphy verwendet die Schreibweise .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Sind und *-Homomorphismen zwischen C*-Algebren, so gibt es genau einen mit bezeichneten *-Homomorphismus , so dass für alle . Sind beide und isometrisch oder *-Isomophismen, so hat dieselbe Eigenschaft.
  • Ist eine C*-Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt , so ist . Aus diesem Grunde wird das räumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt, und man findet bisweilen die Schreibweise .

Beispiele Bearbeiten

Seien eine C*-Algebra und ein kompakter Hausdorffraum. sei die Menge aller stetigen Funktionen . Für , und definiere:

Damit wird zu einer C*-Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus .

Seien die C*-Algebra der komplexen -Matrizen und eine C*-Algebra, die auf einem Hilbertraum operiere. Weiter sei die Algebra der -Matrizen mit Einträgen aus ; diese operiert in üblicher Weise auf , das heißt

Dadurch trägt die Norm von und man zeigt, dass , wobei auf abgebildet wird.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, §11.3
  3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.3
  4. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.2 und §11.3.1
  5. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.1.3
  6. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.4.18
  7. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.3.9
  8. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Beispiel 11.1.7

Literatur Bearbeiten

  • Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9
  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1
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Das im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete raumliche Tensorprodukt bietet die Moglichkeit aus C Algebren neue zu konstruieren Im Allgemeinen gibt es mehrere Moglichkeiten das algebraische Tensorprodukt zweier C Algebren zu einer C Algebra zu vervollstandigen die hier behandelte C Norm auf dem Tensorprodukt erweist sich als minimal unter diesen Moglichkeiten weshalb man auch vom minimalen Tensorprodukt spricht Die hier vorgestellte Konstruktion geht auf M Takesaki zuruck 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Konstruktion 3 Unabhangigkeit von den Hilbertraumen 4 Eigenschaften 5 Beispiele 6 Siehe auch 7 Einzelnachweise 8 LiteraturDefinitionen BearbeitenEs seien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zwei C Algebren Eine C Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt A B displaystyle A odot B nbsp ist eine Norm a displaystyle alpha nbsp so dass A B a displaystyle A odot B alpha nbsp ist eine normierte Algebra a s s a s 2 displaystyle alpha s s alpha s 2 nbsp fur alle s A B displaystyle s in A odot B nbsp Ist a displaystyle alpha nbsp eine solche C Norm so ist die mit A a B displaystyle A otimes alpha B nbsp bezeichnete Vervollstandigung eine C Algebra Ist a displaystyle alpha nbsp eine C Norm die sich fur jedes Paar von C Algebren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp definieren lasst so spricht man von einem a displaystyle alpha nbsp Tensorprodukt 2 Man kann zeigen dass C Normen automatisch die Kreuznormeigenschaft haben das heisst es gilt a a b a b displaystyle alpha a otimes b a cdot b nbsp fur alle a A b B displaystyle a in A b in B nbsp 3 In diesem Artikel werden mit Hilfe von Hilbertraumen auf denen die C Algebren operieren mit s displaystyle sigma nbsp bezeichnete C Normen definiert wobei das s displaystyle sigma nbsp wegen der verwendeten Hilbertraume an spatial deutsch raumlich erinnern soll Konstruktion BearbeitenEs seien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zwei C Algebren Nach dem Satz von Gelfand Neumark gibt es Hilbertraume H displaystyle H nbsp und K displaystyle K nbsp und isometrische Homomorphismen A L H displaystyle A rightarrow L H nbsp und B L K displaystyle B rightarrow L K nbsp das heisst wir konnen annehmen dass die C Algebren Unteralgebren der vollen Operatorenalgebra uber geeigneten Hilbertraumen sind Man kann zum Beispiel die universellen Darstellungen nehmen Man bildet nun das Hilbertraum Tensorprodukt H K displaystyle H otimes K nbsp und betrachtet ein Element i 1 n a i b i displaystyle textstyle sum i 1 n a i otimes b i nbsp des algebraischen Tensorproduktes A B displaystyle A odot B nbsp als Operator auf H K displaystyle H otimes K nbsp der durch i 1 n a i b i x y i 1 n a i x b i y displaystyle sum i 1 n a i otimes b i x otimes y sum i 1 n a i x otimes b i y nbsp definiert ist wobei Wohldefiniertheit zu zeigen ist Dann ist klar dass die Einschrankung s displaystyle sigma nbsp der Operatornorm von L H K displaystyle L H otimes K nbsp auf A B displaystyle A odot B nbsp eine C Norm ist Unabhangigkeit von den Hilbertraumen BearbeitenObige Konstruktion hangt zunachst von der Wahl der Hilbertraume ab Hier wird eine Formel fur die raumliche Norm aufgestellt die von den Hilbertraumen unabhangig ist Sind f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Zustande auf A displaystyle A nbsp bzw B displaystyle B nbsp so gibt es genau einen mit f g displaystyle f otimes g nbsp bezeichneten Zustand auf A s B displaystyle A otimes sigma B nbsp mit f g a b f a g b displaystyle f otimes g a otimes b f a g b nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp und b B displaystyle b in B nbsp den sogenannten Produktzustand aus f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Fur ein Element c i 1 n a i b i displaystyle c sum i 1 n a i otimes b i nbsp des algebraischen Tensorproduktes A B displaystyle A odot B nbsp gilt nuns c 2 sup f g s c c s f g s s displaystyle sigma c 2 sup frac f otimes g s c cs f otimes g s s nbsp wobei das Supremum uber alle Zustande f displaystyle f nbsp von A displaystyle A nbsp g displaystyle g nbsp von B displaystyle B nbsp und s A B displaystyle s in A odot B nbsp mit f g s s gt 0 displaystyle f otimes g s s gt 0 nbsp gebildet wird 4 Diese Formel zeigt die Unabhangigkeit von der Wahl der Hilbertraume denn auf der rechten Seite finden sich nur Daten der abstrakten C Algebren und ihrem algebraischen Tensorprodukt Zur Bezeichnung Im unten angegebenen Lehrbuch von Kadison und Ringrose wird A B displaystyle A otimes B nbsp an Stelle von A s B displaystyle A otimes sigma B nbsp geschrieben Murphy verwendet die Schreibweise A B displaystyle A otimes B nbsp Eigenschaften BearbeitenSind p 1 A 1 B 1 displaystyle pi 1 A 1 rightarrow B 1 nbsp und p 2 A 2 B 2 displaystyle pi 2 A 2 rightarrow B 2 nbsp Homomorphismen zwischen C Algebren so gibt es genau einen mit p 1 p 2 displaystyle pi 1 otimes pi 2 nbsp bezeichneten Homomorphismus A 1 A 2 B 1 B 2 displaystyle A 1 otimes A 2 rightarrow B 1 otimes B 2 nbsp so dass p 1 p 2 a 1 a 2 p 1 a 1 p 2 a 2 displaystyle pi 1 otimes pi 2 a 1 otimes a 2 pi 1 a 1 otimes pi 2 a 2 nbsp fur alle a i A i displaystyle a i in A i nbsp Sind beide p 1 displaystyle pi 1 nbsp und p 2 displaystyle pi 2 nbsp isometrisch oder Isomophismen so hat p 1 p 2 displaystyle pi 1 otimes pi 2 nbsp dieselbe Eigenschaft 5 Ist a displaystyle alpha nbsp eine C Norm auf dem algebraischen Tensorprodukt A B displaystyle A odot B nbsp so ist s a displaystyle sigma leq alpha nbsp 6 7 Aus diesem Grunde wird das raumliche Tensorprodukt auch das minimale Tensorprodukt genannt und man findet bisweilen die Schreibweise A m i n B displaystyle A otimes mathrm min B nbsp Beispiele BearbeitenSeien A displaystyle A nbsp eine C Algebra und X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum C X A displaystyle C X A nbsp sei die Menge aller stetigen Funktionen X A displaystyle X rightarrow A nbsp Fur f g C X A displaystyle f g in C X A nbsp l C displaystyle lambda in mathbb C nbsp und x X displaystyle x in X nbsp definiere l f x l f x f g x f x g x f g x f x g x f x f x f sup f x x X displaystyle begin array rcl lambda f x amp amp lambda cdot f x f g x amp amp f x g x f cdot g x amp amp f x cdot g x f x amp amp f x f amp amp sup f x x in X end array nbsp Damit wird C X A displaystyle C X A nbsp zu einer C Algebra und man hat einen isometrischen Isomorphismus C X s A C X A f a f a displaystyle C X otimes sigma A rightarrow C X A f otimes a mapsto f cdot a nbsp 8 Seien M n displaystyle M n nbsp die C Algebra der komplexen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen und A displaystyle A nbsp eine C Algebra die auf einem Hilbertraum H displaystyle H nbsp operiere Weiter sei M n A displaystyle M n A nbsp die Algebra der n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Eintragen aus A displaystyle A nbsp diese operiert in ublicher Weise auf H n displaystyle H n nbsp das heisst a 1 1 a 1 n a n 1 a n n x 1 x n j 1 n a 1 j x j j 1 n a n j x j displaystyle begin pmatrix a 1 1 amp ldots amp a 1 n vdots amp ddots amp vdots a n 1 amp ldots amp a n n end pmatrix begin pmatrix x 1 vdots x n end pmatrix begin pmatrix sum j 1 n a 1 j x j vdots sum j 1 n a n j x j end pmatrix nbsp Dadurch tragt M n A displaystyle M n A nbsp die Norm von L H n displaystyle L H n nbsp und man zeigt dass M n A M n A displaystyle M n otimes A cong M n A nbsp wobei c i j i j a displaystyle c i j i j otimes a nbsp auf c i j a i j displaystyle c i j cdot a i j nbsp abgebildet wird Siehe auch BearbeitenMaximales Tensorprodukt eine weitere Tensorproduktnorm fur C Algebren Nukleare C Algebra C Algebren mit eindeutiger Tensorproduktnorm Eine ganz ahnliche Konstruktion fuhrt zu einem Tensorprodukt fur Von Neumann Algebren Einzelnachweise Bearbeiten M Takesaki On the cross norm of the direct product of C algebras Tohoku Mathematical Journal Band 10 1958 Seiten 111 122 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 11 3 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Lemma 11 3 3 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Satz 11 1 2 und 11 3 1 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Satz 11 1 3 Gerald J Murphy C Algebras and Operator Theory Academic Press Inc 1990 ISBN 0 12 511360 9 Theorem 6 4 18 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Theorem 11 3 9 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Beispiel 11 1 7Literatur BearbeitenGerald J Murphy C Algebras and Operator Theory Academic Press Inc 1990 ISBN 0 12 511360 9 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Raumliches Tensorprodukt amp oldid 236919390