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Nukleare C Algebra Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C Algebren bilden eine

Nukleare C*-Algebra

Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C*-Algebren bilden eine große Klasse von C*-Algebren, die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich Tensorprodukten eingeführt worden; daher rührt auch der Name nuklear, der in Anspielung auf die nuklearen Räume aus der Theorie der lokalkonvexen Räume gewählt wurde.

Definition Bearbeiten

Sind und zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt auf mehrere Arten eine C*-Norm definieren, das heißt eine Norm , so dass

gilt. Eine C*-Algebra heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra genau eine solche C*-Norm auf gibt.

Da es auf stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des räumlichen Tensorproduktes, und eine maximale C*-Norm gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra , dass für jede C*-Algebra die minimale und maximale C*-Norm auf zusammenfallen. M. Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der Eigenschaft T, die Bezeichnung nukleare C*-Algebra geht auf C. Lance zurück.

Beispiele Bearbeiten

  • Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen.
  • Allgemeiner sind alle postliminalen C*-Algebren nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.
  • Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endliche direkte Summen von Matrix-Algebren und es ist für jede C*-Algebra mit der im Artikel über das räumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf .
  • und sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist umgekehrt eine kurze exakte Sequenz von C*-Algebren mit nuklearen und , so ist auch nuklear.
  • Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.
  • Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn die Identität punktweiser Normlimes vollständig positiver, 1-beschränkter Operatoren endlichen Ranges ist, das heißt, es gibt ein Netz vollständig positiver Operatoren mit und für alle und für alle .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. M. Takesaki: On the cross-norm of the direct product of C*-algebras, Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122
  2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Lemma 11.3.5
  3. C. Lance: On Nuclear C*-Algebras, Journal of Functional Analysis, Band 12 (1973), Seiten 157–176, Theorem 4.2
  4. Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.5.3
  5. B. Blackadar: Nonnuclear subalgebras of C*-algebras, Journal of Operator Theory, Band 14 (1985), Seiten 347–350
  6. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Satz 11.3.12
  7. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.2
  8. B. Blackadar: K-Theory for Operator-Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.1
  9. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8
  10. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 8.15.15
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Die im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachteten nuklearen C Algebren bilden eine grosse Klasse von C Algebren die wichtige Teilklassen umfasst Die nuklearen C Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezuglich Tensorprodukten eingefuhrt worden daher ruhrt auch der Name nuklear der in Anspielung auf die nuklearen Raume aus der Theorie der lokalkonvexen Raume gewahlt wurde Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zwei C Algebren so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt A B displaystyle A odot B nbsp auf mehrere Arten eine C Norm a displaystyle alpha nbsp definieren das heisst eine Norm a displaystyle alpha nbsp so dass A B a displaystyle A odot B alpha nbsp ist eine normierte Algebra a s s a s 2 displaystyle alpha s s alpha s 2 nbsp fur alle s A B displaystyle s in A odot B nbsp gilt Eine C Algebra A displaystyle A nbsp heisst nuklear wenn es fur jede C Algebra B displaystyle B nbsp genau eine solche C Norm auf A B displaystyle A odot B nbsp gibt Da es auf A B displaystyle A odot B nbsp stets eine minimale C Norm namlich die Norm des raumlichen Tensorproduktes und eine maximale C Norm gibt bedeutet die Nuklearitat fur eine C Algebra A displaystyle A nbsp dass fur jede C Algebra B displaystyle B nbsp die minimale und maximale C Norm auf A B displaystyle A odot B nbsp zusammenfallen M Takesaki sprach in diesem Zusammenhang von C Algebren mit der Eigenschaft T 1 die Bezeichnung nukleare C Algebra geht auf C Lance zuruck Beispiele BearbeitenKommutative C Algebren sind nuklear Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fallt in diesem Fall mit dem injektiven Tensorprodukt zusammen 2 Allgemeiner sind alle postliminalen C Algebren nuklear wie bereits in der unten erwahnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde Endlich dimensionale C Algebren sind nuklear denn diese sind endliche direkte Summen von Matrix Algebren M n displaystyle M n nbsp und es ist M n B M n B displaystyle M n otimes B cong M n B nbsp fur jede C Algebra B displaystyle B nbsp mit der im Artikel uber das raumliche Tensorprodukt beschriebenen Norm auf M n B displaystyle M n B nbsp Die reduzierte Gruppen C Algebra C r G displaystyle C r G nbsp einer zusammenhangenden oder mittelbaren Gruppe G displaystyle G nbsp ist nuklear Fur diskrete Gruppen gilt nach einem Satz von C Lance auch die Umkehrung Fur eine diskrete Gruppe ist C r G displaystyle C r G nbsp genau dann nuklear wenn G displaystyle G nbsp mittelbar ist 3 C F 2 C r F 2 displaystyle C F 2 C r F 2 nbsp und L ℓ 2 displaystyle L ell 2 nbsp sind Beispiele fur C Algebren die nicht nuklear sind wobei F 2 displaystyle F 2 nbsp die von 2 Elementen erzeugte freie Gruppe und ℓ 2 displaystyle ell 2 nbsp der Folgenraum der quadratsummierbaren Folgen ist Eigenschaften BearbeitenAbgeschlossene zweiseitige Ideal und Quotienten nuklearer C Algebren sind wieder nuklear Ist umgekehrt 0 J A B 0 displaystyle 0 rightarrow J rightarrow A rightarrow B rightarrow 0 nbsp eine kurze exakte Sequenz von C Algebren mit nuklearen J displaystyle J nbsp und B displaystyle B nbsp so ist auch A displaystyle A nbsp nuklear 4 Unter C Algebren nuklearer C Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear Genau dann sind alle Unter C Algebren einer nuklearen C Algebra wieder nuklear wenn die C Algebra postliminal ist 5 Induktive Limiten von nuklearen C Algebren sind wieder nuklear daher sind alle AF C Algebren nuklear 6 Ist A G a displaystyle A G alpha nbsp ein C dynamisches System mit einer nuklearen C Algebra A displaystyle A nbsp und einer mittelbaren Gruppe G displaystyle G nbsp so ist auch das verschrankte Produkt A a G displaystyle A ltimes alpha G nbsp nuklear 7 Insbesondere sind die irrationalen Rotationsalgebren nuklear Eine C Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann nuklear wenn die Identitat i d A displaystyle mathrm id A nbsp punktweiser Normlimes vollstandig positiver 1 beschrankter Operatoren endlichen Ranges ist das heisst es gibt ein Netz P i i I displaystyle P i i in I nbsp vollstandig positiver Operatoren mit d i m P i A lt displaystyle mathrm dim P i A lt infty nbsp und P i 1 displaystyle P i leq 1 nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp und lim i I P i a a 0 displaystyle textstyle lim i in I P i a a 0 nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp 8 Eine Von Neumann Algebra heisst hyperfinit wenn sie eine aufsteigende Folge endlich dimensionaler Algebren enthalt deren Vereinigung bezuglich der schwachen Operatortopologie dicht liegt Eine C Algebra ist genau dann nuklear wenn ihre einhullende Von Neumann Algebra hyperfinit ist Siehe 9 10 fur weitere aquivalente Charakterisierungen Einzelnachweise Bearbeiten M Takesaki On the cross norm of the direct product of C algebras Tohoku Mathematical Journal Band 10 1958 Seiten 111 122 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Lemma 11 3 5 C Lance On Nuclear C Algebras Journal of Functional Analysis Band 12 1973 Seiten 157 176 Theorem 4 2 Gerald J Murphy C Algebras and Operator Theory Academic Press Inc 1990 ISBN 0 1251 1360 9 Theorem 6 5 3 B Blackadar Nonnuclear subalgebras of C algebras Journal of Operator Theory Band 14 1985 Seiten 347 350 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Satz 11 3 12 Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Theorem 15 8 2 B Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Theorem 15 8 1 Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Theorem 15 8 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0125494505 8 15 15 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Nukleare C Algebra amp oldid 186742071