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Postliminale C Algebra Postliminale C Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C Algebren Alternati

Postliminale C*-Algebra

Postliminale C*-Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Alternative Bezeichnungen, die weiter unten motiviert werden, sind GCR-Algebra oder Typ-I-C*-Algebra. Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C*-Algebren.

Definition Bearbeiten

Eine C*-Algebra heißt postliminal, wenn für jedes echte, abgeschlossene, zweiseitige Ideal die Quotientenalgebra ein von verschiedenes liminales Ideal enthält.

Damit ist der Begriff der postliminalen C*-Algebra auf den der liminalen C*-Algebra zurückgeführt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar. Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich.

Charakterisierungen Bearbeiten

Bilder irreduzibler Darstellungen Bearbeiten

Ist eine irreduzible Darstellung der C*-Algebra auf dem Hilbertraum , so enthält nach Definition ein von verschiedenes liminales Ideal. Man kann zeigen, dass durch eine irreduzible Darstellung dieses Ideals definiert wird. Da liminal ist, fällt das Bild mit der Algebra der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt . Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung:

  • Eine C*-Algebra ist genau dann postliminal, wenn für jede irreduzible Darstellung von .

Für liminale C*-Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung, die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt (siehe Artikel liminale C*-Algebra). Da man liminale C*-Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR-Algebren nennt (CCR=completely continuous representations), heißen postliminale C*-Algebren aus demselben Grunde auch GCR-Algebren (GCR = generalized completely continuous representations).

Kompositionsreihen Bearbeiten

Eine Kompositionsreihe einer C*-Algebra ist eine Familie von abgeschlossenen, zweiseitigen Idealen , wobei

  1. ist eine Ordinalzahl ( durchläuft also alle Ordinalzahlen bis einschließlich.)
  2. und .
  3. Für gilt
  4. Ist eine Limeszahl, so ist der Abschluss von .

Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen:

  • Eine C*-Algebra ist genau dann postliminal, wenn es eine Kompositionsreihe von gibt, so dass alle Quotienten liminal sind.

Im Falle separabler C*-Algebren kann man hier den Begriff der Ordinalzahl umgehen, denn wenn die Ideale der Kompositionsreihe alle verschieden sind (was keine weitere Einschränkung darstellt), so ist maximal und man kann die Kompositionsreihe mit natürlichen Zahlen indizieren.

Typ I Bearbeiten

Eine Darstellung einer C*-Algebra heißt vom Typ I, falls die vom Bild erzeugte Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist, das heißt wenn der Bikommutant eine Typ I Von-Neumann-Algebra ist.

  • Eine C*-Algebra ist genau dann postliminal, wenn jede Darstellung vom Typ I ist.

Daher nennt man postliminale C*-Algebren auch Typ-I-C*-Algebren. Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben, denn eine Typ I Von-Neumann-Algebra, die ja auch eine C*-Algebra ist, ist im Allgemeinen keine Typ-I-C*-Algebra, wie das Beispiel mit unendlich-dimensionalem Hilbertraum zeigt.

Spektrum Bearbeiten

Ist eine Äquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von , also ein Element des Spektrums , so hängt das Ideal nur von der Äquivalenzklasse und nicht von der konkreten Darstellung ab. Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemäß die primitiven Ideale sind, ist die Kernbildung, , eine Abbildung vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale. Diese ist nach Konstruktion surjektiv, im Allgemeinen aber nicht injektiv.

  • Ist eine postliminale C*-Algebra, so ist die Kernabbildung injektiv. Ist separabel, so gilt hiervon die Umkehrung.

Es ist offen, ob die genannte Umkehrung auch im Falle nicht-separabler C*-Algebren gilt.

Beispiele Bearbeiten

  • Liminale C*-Algebren sind postliminal.

.

  • ist ein Beispiel für eine C*-Algebra, die nicht postliminal ist. Die Calkin-Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht-postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Eine Unter-C*-Algebra einer postliminalen C*-Algebra ist wieder postliminal.
  • Ist ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der postliminalen C*-Algebra , so ist auch postliminal.
  • Ist ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra und sind und postliminal, so ist auch postliminal.
  • Postliminale C*-Algebren sind nuklear.
  • Ist postliminal, so besitzt eine Kompositionsreihe , so dass alle Quotienten C*-Algebren mit stetiger Spur sind. Das verschärft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung.
  • Eine postliminale C*-Algebra ist genau dann liminal, wenn jeder Punkt in abgeschlossen bzgl. der Zariski-Topologie ist, das heißt wenn das Spektrum ein T1-Raum ist.

Quellen Bearbeiten

  • W. Arveson: Invitation to C*-algebras, Springer-Verlag (1976), ISBN 0-387-90176-0.
  • J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
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Postliminale C Algebren bilden eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C Algebren Alternative Bezeichnungen die weiter unten motiviert werden sind GCR Algebra oder Typ I C Algebra Es handelt sich um eine Verallgemeinerung der Klasse der liminalen C Algebren Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Charakterisierungen 2 1 Bilder irreduzibler Darstellungen 2 2 Kompositionsreihen 2 3 Typ I 2 4 Spektrum 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 QuellenDefinition BearbeitenEine C Algebra A displaystyle A nbsp heisst postliminal wenn fur jedes echte abgeschlossene zweiseitige Ideal I A displaystyle I subset A nbsp die Quotientenalgebra A I displaystyle A I nbsp ein von 0 displaystyle 0 nbsp verschiedenes liminales Ideal enthalt Damit ist der Begriff der postliminalen C Algebra auf den der liminalen C Algebra zuruckgefuhrt und stellt offenbar eine Verallgemeinerung dar Das wird auch durch die erste der folgenden Charakterisierungen deutlich Charakterisierungen BearbeitenBilder irreduzibler Darstellungen Bearbeiten Ist p displaystyle pi nbsp eine irreduzible Darstellung der C Algebra A displaystyle A nbsp auf dem Hilbertraum H displaystyle H nbsp so enthalt A ker p displaystyle A mbox ker pi nbsp nach Definition ein von 0 displaystyle 0 nbsp verschiedenes liminales Ideal Man kann zeigen dass durch p a ker p p a displaystyle tilde pi a mbox ker pi pi a nbsp eine irreduzible Darstellung p displaystyle tilde pi nbsp dieses Ideals definiert wird Da I displaystyle I nbsp liminal ist fallt das Bild p I displaystyle tilde pi I nbsp mit der Algebra K H displaystyle K H nbsp der kompakten Operatoren zusammen und daraus folgt p A K H displaystyle pi A supset K H nbsp Das Bild einer jeden irreduziblen Darstellung umfasst also die kompakten Operatoren und davon gilt sogar die Umkehrung Eine C Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann postliminal wenn p A K H displaystyle pi A supset K H nbsp fur jede irreduzible Darstellung p A L H displaystyle pi A rightarrow L H nbsp von A displaystyle A nbsp Fur liminale C Algebren hat man eine fast gleich lautende Charakterisierung die Inklusion ist lediglich durch eine Gleichheit ersetzt siehe Artikel liminale C Algebra Da man liminale C Algebren wegen dieser Beziehung zu den kompakten Operatoren auch CCR Algebren nennt CCR completely continuous representations heissen postliminale C Algebren aus demselben Grunde auch GCR Algebren GCR generalized completely continuous representations Kompositionsreihen Bearbeiten Eine Kompositionsreihe einer C Algebra A displaystyle A nbsp ist eine Familie I b 0 b a displaystyle I beta 0 leq beta leq alpha nbsp von abgeschlossenen zweiseitigen Idealen I b A displaystyle I beta subset A nbsp wobei a displaystyle alpha nbsp ist eine Ordinalzahl b displaystyle beta nbsp durchlauft also alle Ordinalzahlen bis a displaystyle alpha nbsp einschliesslich I 0 0 displaystyle I 0 0 nbsp und I a A displaystyle I alpha A nbsp Fur 0 b g a displaystyle 0 leq beta leq gamma leq alpha nbsp gilt I b I g displaystyle I beta subset I gamma nbsp Ist g 0 a displaystyle gamma in 0 alpha nbsp eine Limeszahl so ist I g displaystyle I gamma nbsp der Abschluss von 0 b lt g I b displaystyle bigcup 0 leq beta lt gamma I beta nbsp Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Charakterisierung beweisen Eine C Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann postliminal wenn es eine Kompositionsreihe I b 0 b a displaystyle I beta 0 leq beta leq alpha nbsp von A displaystyle A nbsp gibt so dass alle Quotienten I b 1 I b displaystyle I beta 1 I beta nbsp liminal sind Im Falle separabler C Algebren kann man hier den Begriff der Ordinalzahl umgehen denn wenn die Ideale der Kompositionsreihe alle verschieden sind was keine weitere Einschrankung darstellt so ist a displaystyle alpha nbsp maximal w N displaystyle omega mathbb N nbsp und man kann die Kompositionsreihe mit naturlichen Zahlen indizieren Typ I Bearbeiten Eine Darstellung p A L H displaystyle pi A rightarrow L H nbsp einer C Algebra A displaystyle A nbsp heisst vom Typ I falls die vom Bild p A displaystyle pi A nbsp erzeugte Von Neumann Algebra vom Typ I ist das heisst wenn der Bikommutant p A L H displaystyle pi A subset L H nbsp eine Typ I Von Neumann Algebra ist Eine C Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann postliminal wenn jede Darstellung vom Typ I ist Daher nennt man postliminale C Algebren auch Typ I C Algebren Diese Bezeichnung kann aber zur Verwirrung Anlass geben denn eine Typ I Von Neumann Algebra die ja auch eine C Algebra ist ist im Allgemeinen keine Typ I C Algebra wie das Beispiel A L H displaystyle A L H nbsp mit unendlich dimensionalem Hilbertraum H displaystyle H nbsp zeigt Spektrum Bearbeiten Ist p displaystyle pi nbsp eine Aquivalenzklasse irreduzibler Darstellungen von A displaystyle A nbsp also ein Element des Spektrums A displaystyle hat A nbsp so hangt das Ideal ker p displaystyle mbox ker pi nbsp nur von der Aquivalenzklasse p displaystyle pi nbsp und nicht von der konkreten Darstellung p displaystyle pi nbsp ab Da die Kerne irreduzibler Darstellungen definitionsgemass die primitiven Ideale sind ist die Kernbildung p ker p displaystyle pi mapsto ker pi nbsp eine Abbildung A Prim A displaystyle hat A to mbox Prim A nbsp vom Spektrum in den Raum der primitiven Ideale Diese ist nach Konstruktion surjektiv im Allgemeinen aber nicht injektiv Ist A displaystyle A nbsp eine postliminale C Algebra so ist die Kernabbildung A Prim A displaystyle hat A to mbox Prim A nbsp injektiv Ist A displaystyle A nbsp separabel so gilt hiervon die Umkehrung Es ist offen ob die genannte Umkehrung auch im Falle nicht separabler C Algebren gilt Beispiele BearbeitenLiminale C Algebren sind postliminal Es sei T displaystyle T nbsp die vom Shiftoperator s L ℓ 2 displaystyle s in L ell 2 nbsp erzeugte C Algebra die sogenannte Toeplitz Algebra nach Otto Toeplitz Da 1 s n s n displaystyle 1 s n s n nbsp die Orthogonalprojektion auf den von den Basisvektoren e 1 e n ℓ 2 displaystyle e 1 ldots e n in ell 2 nbsp erzeugten Unterraum und damit ein kompakter Operator ist kann man zeigen dass K H T displaystyle K H subset T nbsp Weiter gilt dass T K H C S 1 displaystyle T K H cong C S 1 nbsp wobei S 1 C displaystyle S 1 subset mathbb C nbsp die Kreislinie ist denn T K H displaystyle T K H nbsp wird von der Restklasse s K H displaystyle s K H nbsp erzeugt und diese hat die Kreislinie als Spektrum Man hat sogar eine exakte Sequenz 0 K H T C S 1 0 displaystyle 0 rightarrow K H rightarrow T rightarrow C S 1 rightarrow 0 nbsp Jedenfalls ist durch I 0 0 I 1 K H I 2 T displaystyle I 0 0 I 1 K H I 2 T nbsp eine Kompositionsreihe von T displaystyle T nbsp gegeben und die Quotienten T K H C S 1 displaystyle T K H cong C S 1 nbsp und K H 0 K H displaystyle K H 0 cong K H nbsp sind liminal Daher ist T postliminal aber nicht liminal denn id T T L ℓ 2 displaystyle mbox id T T rightarrow L ell 2 nbsp ist eine irreduzible Darstellung die den nicht kompakten Operator s displaystyle s nbsp im Bild enthalt L ℓ 2 displaystyle L ell 2 nbsp ist ein Beispiel fur eine C Algebra die nicht postliminal ist Die Calkin Algebra ist ein weiteres Beispiel einer nicht postliminalen C Algebra Eigenschaften BearbeitenEine Unter C Algebra einer postliminalen C Algebra ist wieder postliminal Ist I A displaystyle I subset A nbsp ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der postliminalen C Algebra A displaystyle A nbsp so ist auch A I displaystyle A I nbsp postliminal Ist I A displaystyle I subset A nbsp ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der C Algebra A displaystyle A nbsp und sind I displaystyle I nbsp und A I displaystyle A I nbsp postliminal so ist auch A displaystyle A nbsp postliminal Postliminale C Algebren sind nuklear Ist A displaystyle A nbsp postliminal so besitzt A displaystyle A nbsp eine Kompositionsreihe I b 0 b a displaystyle I beta 0 leq beta leq alpha nbsp so dass alle Quotienten I b 1 I b displaystyle I beta 1 I beta nbsp C Algebren mit stetiger Spur sind Das verscharft die oben mittels Kompositionsreihen gegebene Charakterisierung Eine postliminale C Algebra A displaystyle A nbsp ist genau dann liminal wenn jeder Punkt in A Prim A displaystyle hat A cong mbox Prim A nbsp abgeschlossen bzgl der Zariski Topologie ist das heisst wenn das Spektrum A displaystyle hat A nbsp ein T1 Raum ist Quellen BearbeitenW Arveson Invitation to C algebras Springer Verlag 1976 ISBN 0 387 90176 0 J Dixmier Les C algebres et leurs representations Gauthier Villars 1969 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Postliminale C Algebra amp oldid 239484299