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Von Neumann Algebra Eine oder W Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis Historisch beginnt die

Von-Neumann-Algebra

Eine Von-Neumann-Algebra oder W*-Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis. Historisch beginnt die Theorie der Von-Neumann-Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J. Murray und John von Neumann On rings of operators. Der Name Von-Neumann-Algebra für derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonné zurück.

Definition Bearbeiten

Eine Von-Neumann-Algebra (benannt nach John von Neumann) oder (mittlerweile veraltet) ein Ring von Operatoren ist eine *-Unteralgebra mit Eins der Algebra der beschränkten linearen Operatoren eines Hilbertraums , die eine (und damit alle) der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

Hierbei ist die Kommutante von und entsprechend die Kommutante von .

Die Äquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz. Diese Aussage kann wie folgt verschärft werden:

  • Ist eine *-Unteralgebra mit Eins, so ist der Abschluss von sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie.

Auch diese Formulierung, die eine Äquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten-Bildung und der rein topologischen Dichte-Beziehung bzw. Abschluss-Bildung herstellt, wird als Bikommutantensatz bezeichnet. Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz. Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von-Neumann-Algebren dar.

Eine Von-Neumann-Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden:

Faktoren Bearbeiten

Die Von-Neumann-Algebra heißt Faktor, falls sie eine der beiden folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • .
  • erzeugt .

Da die Menge der Operatoren aus ist, die mit allen Operatoren aus kommutieren, ist das Zentrum von . Faktoren sind daher die Von-Neumann-Algebren mit kleinst möglichem Zentrum. Man kann Von-Neumann-Algebren als direktes Integral (eine Verallgemeinerung der direkten Summe) von Faktoren darstellen, das heißt, Von-Neumann-Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt.

und sind Beispiele für Faktoren. Mit ist auch ein Faktor; offenbar gilt und .

Bei den Faktoren können 3 Typen, die Typ I, Typ II und Typ III heißen, unterschieden werden.

Kommutative Von-Neumann-Algebren Bearbeiten

Sei ein -endlicher Maßraum. Dann ist L2 ein Hilbertraum, und jede wesentlich beschränkte Funktion definiert via Multiplikation einen Operator . Die Menge aller ist eine kommutative Von-Neumann-Algebra , und die Abbildung ist ein *-Isomorphismus . Man kann zeigen, das heißt, die Algebra stimmt mit ihrem Kommutanten überein. Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein, ist also eine maximale kommutative Von-Neumann-Algebra.

Betrachtet man speziell den Maßraum (Einheitsintervall mit dem Lebesgue-Maß), so kann man zeigen, dass der Bikommutant von mit zusammenfällt. Der Übergang vom topologischen Konstrukt zum maßtheoretischen Konstrukt entspricht dem Übergang von C*-Algebren zu Von-Neumann-Algebren. Während man bei C*-Algebren wegen des Satzes von Gelfand-Neumark von nicht-kommutativer Topologie spricht, gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass, eine Von-Neumann-Algebra als einen nicht-kommutativen Maßraum anzusehen, man spricht daher auch von nicht-kommutativer Maßtheorie.

Eigenschaften Bearbeiten

Jede Von-Neumann-Algebra ist eine C*-Algebra und somit auch eine Banachalgebra.

Wie sich aus dem beschränkten Borel-Funktionalkalkül ergibt, enthalten Von-Neumann-Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen; jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen. Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C*-Algebren, die, wie das Beispiel C([0,1]) zeigt, neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten müssen. Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren; die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von-Neumann-Algebren herangezogen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Jacques Dixmier: Von Neumann algebras, North-Holland Publishing, Amsterdam u. a. 1981 (North-Holland Mathematical Library, Band. 27), ISBN 0-444-86308-7.
  • R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Band I und II, Academic Press 1983, ISBN 0-123-93301-3 bzw. 1986, ISBN 0-123-93302-1
  • Shôichirô Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras, Springer, Berlin u. a. 1971 (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band. 60) ISBN 3-540-05347-6 (Nachdruck. ebenda 1998, ISBN 3-540-63633-1).
  • Jacob T. Schwartz: W*-Algebras. Gordon & Breach, New York NY u. a. 1967.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators. Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.
  2. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators II. Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248
  3. F.J. Murray, J. von Neumann: On rings of operators IV. Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.
  4. Newsletter of the EMS, Juni 2009, Interview mit Jacques Dixmier, Seite 36
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Eine Von Neumann Algebra oder W Algebra ist eine mathematische Struktur in der Funktionalanalysis Historisch beginnt die Theorie der Von Neumann Algebren mit den grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von Francis J Murray und John von Neumann On rings of operators 1 2 3 Der Name Von Neumann Algebra fur derartige Algebren geht auf einen Vorschlag von Jean Dieudonne zuruck 4 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Faktoren 3 Kommutative Von Neumann Algebren 4 Eigenschaften 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp benannt nach John von Neumann oder mittlerweile veraltet ein Ring von Operatoren ist eine Unteralgebra mit Eins der Algebra L H displaystyle L left H right nbsp der beschrankten linearen Operatoren eines Hilbertraums H displaystyle H nbsp die eine und damit alle der drei folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt A A displaystyle A A nbsp A displaystyle A nbsp ist abgeschlossen in der starken Operatortopologie A displaystyle A nbsp ist abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie Hierbei ist A x L H a A x a a x displaystyle A bigl x in L H forall a in A xa ax bigr nbsp die Kommutante von A displaystyle A nbsp und entsprechend A displaystyle A nbsp die Kommutante von A displaystyle A nbsp Die Aquivalenz der drei obigen Aussagen nennt man den von Neumannschen Doppelkommutantensatz oder Bikommutantensatz Diese Aussage kann wie folgt verscharft werden Ist A L H displaystyle A subset L H nbsp eine Unteralgebra mit Eins so ist A displaystyle A nbsp der Abschluss von A displaystyle A nbsp sowohl in der schwachen als auch in der starken Operatortopologie Auch diese Formulierung die eine Aquivalenz zwischen der rein algebraischen Kommutanten Bildung und der rein topologischen Dichte Beziehung bzw Abschluss Bildung herstellt wird als Bikommutantensatz bezeichnet Damit erweist sich der Bikommutantensatz als ein Dichtheitssatz Zusammen mit dem weiteren Dichtheitssatz von Kaplansky stellt er den Ausgangspunkt der Theorie der Von Neumann Algebren dar Eine Von Neumann Algebra kann nach einem Satz von Shōichirō Sakai auch abstrakt ohne einen zugrundeliegenden Hilbertraum definiert werden Eine Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp ist eine C Algebra die der topologische Dualraum eines Banachraums A displaystyle A star nbsp ist Faktoren BearbeitenDie Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp heisst Faktor falls sie eine der beiden folgenden aquivalenten Bedingungen erfullt A A C 1 H displaystyle A cap A mathbb C cdot 1 H nbsp A A displaystyle A cup A nbsp erzeugt L H displaystyle L left H right nbsp Da A A displaystyle A cap A nbsp die Menge der Operatoren aus A displaystyle A nbsp ist die mit allen Operatoren aus A displaystyle A nbsp kommutieren ist A A displaystyle A cap A nbsp das Zentrum von A displaystyle A nbsp Faktoren sind daher die Von Neumann Algebren mit kleinst moglichem Zentrum Man kann Von Neumann Algebren als direktes Integral eine Verallgemeinerung der direkten Summe von Faktoren darstellen das heisst Von Neumann Algebren sind in diesem Sinne aus Faktoren zusammengesetzt L H displaystyle L left H right nbsp und C 1 H displaystyle mathbb C cdot 1 H nbsp sind Beispiele fur Faktoren Mit A displaystyle A nbsp ist auch A displaystyle A nbsp ein Faktor offenbar gilt L H C 1 H displaystyle L left H right mathbb C cdot 1 H nbsp und C 1 H L H displaystyle mathbb C cdot 1 H L left H right nbsp Bei den Faktoren konnen 3 Typen die Typ I Typ II und Typ III heissen unterschieden werden Kommutative Von Neumann Algebren Bearbeiten Hauptartikel Abelsche Von Neumann Algebra Sei X X m displaystyle X mathfrak X mu nbsp ein s displaystyle sigma nbsp endlicher Massraum Dann ist H displaystyle H nbsp L2 X X m displaystyle X mathfrak X mu nbsp ein Hilbertraum und jede wesentlich beschrankte Funktion f L X X m displaystyle f in L infty X mathfrak X mu nbsp definiert via Multiplikation einen Operator M f L H M f g f g displaystyle M f in L H M f g f cdot g nbsp Die Menge aller M f displaystyle M f nbsp ist eine kommutative Von Neumann Algebra M L H displaystyle mathcal M subset L H nbsp und die Abbildung f M f displaystyle f mapsto M f nbsp ist ein Isomorphismus L X X m M displaystyle L infty X mathfrak X mu to mathcal M nbsp Man kann M M displaystyle mathcal M mathcal M nbsp zeigen das heisst die Algebra M displaystyle mathcal M nbsp stimmt mit ihrem Kommutanten uberein Keine echte Oberalgebra kann daher kommutativ sein M displaystyle mathcal M nbsp ist also eine maximale kommutative Von Neumann Algebra Betrachtet man speziell den Massraum 0 1 B l displaystyle 0 1 mathcal B lambda nbsp Einheitsintervall mit dem Lebesgue Mass so kann man zeigen dass der Bikommutant von M f f C 0 1 displaystyle M f f in C 0 1 nbsp mit M L 0 1 displaystyle mathcal M cong L infty 0 1 nbsp zusammenfallt Der Ubergang vom topologischen Konstrukt C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp zum masstheoretischen Konstrukt L 0 1 displaystyle L infty 0 1 nbsp entspricht dem Ubergang von C Algebren zu Von Neumann Algebren Wahrend man bei C Algebren wegen des Satzes von Gelfand Neumark von nicht kommutativer Topologie spricht gibt die hier angestellte Betrachtung Anlass eine Von Neumann Algebra als einen nicht kommutativen Massraum anzusehen man spricht daher auch von nicht kommutativer Masstheorie Eigenschaften BearbeitenJede Von Neumann Algebra ist eine C Algebra und somit auch eine Banachalgebra Wie sich aus dem beschrankten Borel Funktionalkalkul ergibt enthalten Von Neumann Algebren sehr viele Orthogonalprojektionen jeder Operator ist in der Normtopologie Limes von Linearkombinationen von Orthogonalprojektionen Dies ist ein wesentlicher Unterschied zu den C Algebren die wie das Beispiel C 0 1 zeigt neben 0 und 1 keine weiteren Projektionen enthalten mussen Man kann aus der Menge der Projektionen einen Verband konstruieren die Struktur dieses Verbandes wird zur Typklassifikation der Von Neumann Algebren herangezogen Siehe auch 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of the EMS Juni 2009 Interview mit Jacques Dixmier Seite 36Normdaten Sachbegriff GND 4388395 3 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Von Neumann Algebra amp oldid 235548644