Typ II Von Neumann Algebra Typ II Von Neumann Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von Neumann Alge

Typ-II-Von-Neumann-Algebra

Typ-II-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich weiter in endliche, sogenannte Typ-II₁-Algebren und unendliche, sogenannte Typ-II_∞-Algebren unterteilen, wobei letztere im σ-endlichen Fall aus ersteren konstruiert werden können.

Definitionen Bearbeiten

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element , das heißt, es gilt . Eine solche Projektion heißt abelsch, falls eine abelsche Von-Neumann-Algebra ist, sie heißt endlich, falls aus und stets folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ II, falls sie außer 0 keine abelschen Projektionen enthält, aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst. Sie heißt vom Typ II₁, falls das Einselement als Projektion endlich ist, sie heißt vom Typ II_∞, falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist.

Beispiele Bearbeiten

Es sei eine diskrete Gruppe. Jedes Element operiert als Linksoperator und als Rechtsoperator auf dem Hilbertraum in dem man und definiert. Es seien und die von bzw. erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind und endlich und gegenseitige Kommutanten.

Ist eine Typ-II₁-Algebra, so ist das Tensorprodukt eine Typ-II_∞-Algebra.
Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ-II-Von-Neumann-Algebren führt.

Struktur Bearbeiten

Zu jeder Typ-II-Von-Neumann-Algebra gibt es eine Projektion aus dem Zentrum von , so dass

ist eine Typ-II₁-Algebra.
ist eine Typ-II_∞-Algebra.

Zu jeder σ-endlichen Typ-II_∞-Algebra gibt es eine Typ-II₁-Algebra mit .

Tensorprodukte von Typ-II-Algebren sind wieder Typ-II-Algebren. Sind die Algebren vom Typ II₁ oder Typ II_∞, so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ II₁, wenn beide Faktoren es sind, anderenfalls vom Typ II_∞.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definitionen 6.3.1 und 6.5.1
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.5
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.5.2
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.7.10
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 22:58 pm

Typ II Von Neumann Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von Neumann Algebren betrachtete Algebren Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der Typklassifikation von Von Neumann Algebren Diese lassen sich weiter in endliche sogenannte Typ II1 Algebren und unendliche sogenannte Typ II Algebren unterteilen wobei letztere im s endlichen Fall aus ersteren konstruiert werden konnen Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Struktur 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEine Projektion in einer Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element e displaystyle e nbsp das heisst es gilt e e e 2 displaystyle e e e 2 nbsp Eine solche Projektion heisst abelsch falls e A e displaystyle eAe nbsp eine abelsche Von Neumann Algebra ist sie heisst endlich falls aus e v v displaystyle e v v nbsp und v v e displaystyle vv leq e nbsp stets v v e displaystyle vv e nbsp folgt Eine Von Neumann Algebra heisst vom Typ II falls sie ausser 0 keine abelschen Projektionen enthalt aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von A displaystyle A nbsp eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst Sie heisst vom Typ II1 falls das Einselement als Projektion endlich ist sie heisst vom Typ II falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist 1 Beispiele BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine diskrete Gruppe Jedes Element g G displaystyle g in G nbsp operiert als Linksoperator l g displaystyle l g nbsp und als Rechtsoperator r g displaystyle r g nbsp auf dem Hilbertraum ℓ 2 G displaystyle ell 2 G nbsp in dem man l g x h x g 1 h displaystyle l g x h x g 1 h nbsp und r g x h x h g 1 displaystyle r g x h x hg 1 nbsp definiert Es seien L G displaystyle L G nbsp und R G displaystyle R G nbsp die von l g g G displaystyle l g g in G nbsp bzw r g g G displaystyle r g g in G nbsp erzeugten Von Neumann Algebren Dann sind L G displaystyle L G nbsp und R G displaystyle R G nbsp endlich und gegenseitige Kommutanten Ist G displaystyle G nbsp eine ICC Gruppe das heisst nur das neutrale Element liegt in einer endlichen Konjugationsklasse so handelt es sich um Typ II1 Algebren sogar um sogenannte Faktoren das heisst das Zentrum der Algebren besteht nur aus den Vielfachen des Einselementes 2 Ist A displaystyle A nbsp eine Typ II1 Algebra so ist das Tensorprodukt L ℓ 2 A displaystyle L ell 2 overline otimes A nbsp eine Typ II Algebra Im Artikel zu den W dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben die zu Typ II Von Neumann Algebren fuhrt Struktur BearbeitenZu jeder Typ II Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp gibt es eine Projektion p displaystyle p nbsp aus dem Zentrum von A displaystyle A nbsp so dass A p A 1 p A p A p 1 p A 1 p displaystyle A pA oplus 1 p A pAp oplus 1 p A 1 p nbsp p A displaystyle pA nbsp ist eine Typ II1 Algebra 1 p A displaystyle 1 p A nbsp ist eine Typ II Algebra 3 Zu jeder s endlichen Typ II Algebra A displaystyle A nbsp gibt es eine Typ II1 Algebra B displaystyle B nbsp mit A L ℓ 2 B displaystyle A cong L ell 2 overline otimes B nbsp 4 Tensorprodukte von Typ II Algebren sind wieder Typ II Algebren Sind die Algebren vom Typ II1 oder Typ II so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ II1 wenn beide Faktoren es sind anderenfalls vom Typ II 5 Siehe auch BearbeitenTyp I Von Neumann Algebra Typ III Von Neumann AlgebraEinzelnachweise Bearbeiten R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Definitionen 6 3 1 und 6 5 1 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 6 7 2 6 7 5 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Theorem 6 5 2 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Theorem 6 7 10 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Tabelle 11 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Typ II Von Neumann Algebra amp oldid 184735593