Tensorprodukt für Von Neumann Algebren In der mathematischen Theorie der Von Neumann Algebren kann man ein Tensorprodukt

Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Konstruktion Bearbeiten

Es seien und zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen und . Zwei Operatoren und definieren einen stetigen linearen Operator auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt , und es gilt sogar (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form mit und in erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus und und wird mit bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.

Der Kommutantensatz Bearbeiten

Sind und zwei Von-Neumann-Algebren, und sowie und aus den Kommutanten bzw. , so ist klar, dass und in vertauschen, denn . Daraus ergibt sich sofort . Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt:

Sind und zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt .

Eine einfache Konsequenz ist , was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.

Typ des Tensorprodukts Bearbeiten

Haben die Von-Neumann-Algebren und einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden:

	endlich	unendlich
endlich
unendlich

Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen bzw. . Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes herangezogen werden.

Siehe auch Bearbeiten

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.

Einzelnachweise Bearbeiten

R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, § 11.2: Tensor products of von Neumann algebras
Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.2.4: Tensor products of von Neumann algebras
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Theorem 11.2.16
Jacques Dixmier: Von Neumann algebras. North-Holland, Amsterdam 1981, ISBN 0-444-86308-7, I.6.9: Tensor products of von Neumann algebras
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 08, 2023, 04:02 am

In der mathematischen Theorie der Von Neumann Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren mit dem man aus zwei Von Neumann Algebren eine dritte erhalt Da Von Neumann Algebren auf Hilbertraumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben mussen reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Der Kommutantensatz 3 Typ des Tensorprodukts 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenEs seien A L H displaystyle mathcal A subset L H nbsp und B L K displaystyle mathcal B subset L K nbsp zwei Von Neumann Algebren auf den Hilbertraumen H displaystyle H nbsp und K displaystyle K nbsp Zwei Operatoren A A displaystyle A in mathcal A nbsp und B B displaystyle B in mathcal B nbsp definieren einen stetigen linearen Operator A B displaystyle A otimes B nbsp auf dem Hilbertraum Tensorprodukt H K displaystyle H otimes K nbsp und es gilt sogar A B A B displaystyle A otimes B A cdot B nbsp siehe Artikel Hilbertraum Tensorprodukt Die von allen Operatoren der Form A B displaystyle A otimes B nbsp mit A A displaystyle A in mathcal A nbsp und B B displaystyle B in mathcal B nbsp in L H K displaystyle L H otimes K nbsp erzeugte Von Neumann Algebra das heisst der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezuglich der schwachen Operatortopologie heisst das Tensorprodukt aus A displaystyle mathcal A nbsp und B displaystyle mathcal B nbsp und wird mit A B displaystyle mathcal A overline otimes mathcal B nbsp bezeichnet wobei der Querstrich uber dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll 1 2 Der Kommutantensatz BearbeitenSind A L H displaystyle mathcal A subset L H nbsp und B L K displaystyle mathcal B subset L K nbsp zwei Von Neumann Algebren A A displaystyle A in mathcal A nbsp und B B displaystyle B in mathcal B nbsp sowie A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp aus den Kommutanten A L H displaystyle mathcal A subset L H nbsp bzw B L K displaystyle mathcal B subset L K nbsp so ist klar dass A B displaystyle A otimes B nbsp und A B displaystyle A otimes B nbsp in L H K displaystyle L H otimes K nbsp vertauschen denn A B A B A A B B A A B B A B A B displaystyle A otimes B A otimes B AA otimes BB A A otimes B B A otimes B A otimes B nbsp Daraus ergibt sich sofort A B A B displaystyle mathcal A overline otimes mathcal B subset mathcal A overline otimes mathcal B nbsp Der Kommutantensatz sagt aus dass hier sogar Gleichheit gilt 3 Sind A L H displaystyle mathcal A subset L H nbsp und B L K displaystyle mathcal B subset L K nbsp zwei Von Neumann Algebren so gilt A B A B displaystyle mathcal A overline otimes mathcal B mathcal A overline otimes mathcal B nbsp Eine einfache Konsequenz ist L H L K L H K displaystyle L H overline otimes L K L H otimes K nbsp was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lasst Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden um zu zeigen dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von Neumann Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor 4 Typ des Tensorprodukts BearbeitenHaben die Von Neumann Algebren A displaystyle mathcal A nbsp und B displaystyle mathcal B nbsp einen reinen Typ so auch deren Tensorprodukt und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden 5 displaystyle overline otimes nbsp I n n displaystyle I n n nbsp endlich I n n displaystyle I n n nbsp unendlich I I 1 displaystyle quad II 1 quad nbsp I I displaystyle quad II infty quad nbsp I I I displaystyle quad III quad nbsp I m m displaystyle I m m nbsp endlich I m n displaystyle I mn nbsp I m n displaystyle I mn nbsp I I 1 displaystyle II 1 nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I I displaystyle III nbsp I m m displaystyle I m m nbsp unendlich I m n displaystyle I mn nbsp I m n displaystyle I mn nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I I displaystyle III nbsp I I 1 displaystyle II 1 nbsp I I 1 displaystyle quad II 1 quad nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I 1 displaystyle II 1 nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I I displaystyle III nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I displaystyle quad II infty quad nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I displaystyle II infty nbsp I I I displaystyle III nbsp I I I displaystyle III nbsp I I I displaystyle III nbsp I I I displaystyle III nbsp I I I displaystyle III nbsp I I I displaystyle III nbsp I I I displaystyle III nbsp Im Allgemeinen hat eine Von Neumann Algebra keinen reinen Typ sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von Neumann Algebren der Typen I n I I 1 I I displaystyle I n II 1 II infty nbsp bzw I I I displaystyle III nbsp Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes A B displaystyle mathcal A overline otimes mathcal B nbsp herangezogen werden Siehe auch BearbeitenEine ganz ahnliche Konstruktion fuhrt in der Theorie der C Algebren zum sogenannten raumlichen Tensorprodukt Einzelnachweise Bearbeiten R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 11 2 Tensor products of von Neumann algebras Jacques Dixmier Von Neumann algebras North Holland Amsterdam 1981 ISBN 0 444 86308 7 I 2 4 Tensor products of von Neumann algebras R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Theorem 11 2 16 Jacques Dixmier Von Neumann algebras North Holland Amsterdam 1981 ISBN 0 444 86308 7 I 6 9 Tensor products of von Neumann algebras R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 12 393302 1 Tabelle 11 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Tensorprodukt fur Von Neumann Algebren amp oldid 180572494