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Typ III Von Neumann Algebra Typ III Von Neumann Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von Neumann Al

Typ-III-Von-Neumann-Algebra

Typ-III-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich nach einem Satz von M. Takesaki aus Typ-II-Von-Neumann-Algebren konstruieren.

Definitionen Bearbeiten

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element , das heißt, es gilt . Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus und stets folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.

Beispiele Bearbeiten

Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.

Satz von Takesaki Bearbeiten

Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II∞-Algebren zurück:

Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra gibt es W*-dynamisches System , wobei eine Typ-II∞-Algebra ist, so dass .

Dazu verwendet man das W*-dynamische System , das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II∞-Algebra . Mit dem dualen W*-dynamischen System folgt dann

Connes-Klassifikation von Typ-III-Faktoren Bearbeiten

Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum , konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl , die dann zum Begriff des Typ-IIIλ-Faktors führt.

Sei ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra . Dann gibt es eine kleinste Projektion mit . Dann ist eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator . Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum in . Man definiert

Man kann zeigen, dass 0 genau dann in liegt, wenn vom Typ III ist, anderenfalls gilt . Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:

  • für ein

Im ersten Fall nennt man einen Typ-III0-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-IIIλ-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III1-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.

Sind verschieden, so ist ein Typ-IIIλ-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-IIIµ-Faktor, denn die Menge ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.

Wir wollen kurz die Existenz der Typ-IIIλ-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand auf der CAR-Algebra. Zu einem kann man rekursiv Zustände definieren, wobei

  • die identische Abbildung sei und
  • für jedes , wobei als -Matrix mit Elementen aus geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von auf gleich , denn gemäß der Einbettung

ist

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand , der auf allen mit übereinstimmt. Zum Zustand gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung auf einem Hilbertraum . Für ist das Bild eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ IIIλ ist, wobei .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 6.5.1
  2. A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem II.4.8
  3. A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Anhang C
  4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.5
  5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.7 + 8.15.11
  6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.13
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Typ III Von Neumann Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von Neumann Algebren betrachtete Algebren Es handelt sich um den dritten von drei Typen der Typklassifikation von Von Neumann Algebren Diese lassen sich nach einem Satz von M Takesaki aus Typ II Von Neumann Algebren konstruieren Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Beispiele 3 Satz von Takesaki 4 Connes Klassifikation von Typ III Faktoren 5 Siehe auch 6 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEine Projektion in einer Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element e displaystyle e nbsp das heisst es gilt e e e 2 displaystyle e e e 2 nbsp Eine solche Projektion heisst endlich falls aus e v v displaystyle e v v nbsp und v v e displaystyle vv leq e nbsp stets v v e displaystyle vv e nbsp folgt Eine Von Neumann Algebra heisst vom Typ III falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt 1 Beispiele BearbeitenIm Artikel zu den W dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben die zu Typ III Von Neumann Algebren fuhrt Die unten beschriebene Connes Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele Satz von Takesaki BearbeitenDer Satz von Takesaki fuhrt die Typ III Von Neumann Algebren auf Typ II Algebren zuruck Zu jeder Typ III Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp gibt es W dynamisches System A 1 R a displaystyle A 1 mathbb R alpha nbsp wobei A 1 displaystyle A 1 nbsp eine Typ II Algebra ist so dass A A 1 a R displaystyle A cong A 1 ltimes alpha mathbb R nbsp 2 Dazu verwendet man das W dynamische System A R s displaystyle A mathbb R sigma nbsp das sich aus der Tomita Takesaki Theorie ergibt und bildet die Typ II Algebra A 1 A s R displaystyle A 1 A ltimes sigma mathbb R nbsp Mit dem dualen W dynamischen System A 1 R s displaystyle A 1 mathbb R hat sigma nbsp folgt dann A 1 s R A s R s R A L L 2 R displaystyle A 1 ltimes hat sigma mathbb R A ltimes sigma mathbb R ltimes hat sigma mathbb R cong A otimes L L 2 mathbb R nbsp wegen Dualitat A displaystyle cong A nbsp da A displaystyle A nbsp eine Typ III Von Neumann Algebra ist 3 dd dd Connes Klassifikation von Typ III Faktoren BearbeitenZu einem Typ III Faktor das heisst zu einer Typ III Von Neumann Algebra mit Zentrum C 1 displaystyle mathbb C cdot 1 nbsp konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp die dann zum Begriff des Typ IIIl Faktors fuhrt Sei f displaystyle varphi nbsp ein normaler Zustand auf der Von Neumann Algebra A displaystyle A nbsp Dann gibt es eine kleinste Projektion p A displaystyle p in A nbsp mit f p 1 displaystyle varphi p 1 nbsp Dann ist p A p displaystyle pAp nbsp eine Von Neumann Algebra und die Einschrankung von f displaystyle varphi nbsp ist ein treuer normaler Zustand auf den die Tomita Takesaki Theorie angewendet werden kann das heisst es gibt einen modularen Operator D f displaystyle Delta varphi nbsp Da dieser ein positiver Operator ist liegt dessen Spektrum s D f displaystyle sigma Delta varphi nbsp in R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp Man definiert S A s D f f normaler Zustand auf A R 0 displaystyle S A bigcap sigma Delta varphi varphi text normaler Zustand auf A subset mathbb R 0 nbsp Man kann zeigen dass 0 genau dann in S A displaystyle S A nbsp liegt wenn A displaystyle A nbsp vom Typ III ist anderenfalls gilt S A 1 displaystyle S A 1 nbsp 4 Fur s endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Falle vor 5 S A 0 1 displaystyle S A setminus 0 1 nbsp S A 0 l n n Z displaystyle S A setminus 0 lambda n n in mathbb Z nbsp fur ein 0 lt l lt 1 displaystyle 0 lt lambda lt 1 nbsp S A 0 R displaystyle S A setminus 0 mathbb R nbsp Im ersten Fall nennt man A displaystyle A nbsp einen Typ III0 Faktor im zweiten Fall einen Typ IIIl Faktor und im dritten Fall einen Typ III1 Faktor Dies ist die Connes Klassifikation der Typ III Faktoren Sind l m 0 1 displaystyle lambda mu in 0 1 nbsp verschieden so ist ein Typ IIIl Faktor nicht isomorph zu einem Typ IIIµ Faktor denn die Menge S A displaystyle S A nbsp ist eine Isomorphie Invariante Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ III Faktoren Wir wollen kurz die Existenz der Typ IIIl Faktoren besprechen Dazu konstruieren wir einen Zustand f m displaystyle varphi mu nbsp auf der CAR Algebra Zu einem m 0 1 displaystyle mu in 0 1 nbsp kann man rekursiv Zustande f m n M 2 n C displaystyle varphi mu n M 2 n rightarrow mathbb C nbsp definieren wobei f m 0 M 2 0 C C displaystyle varphi mu 0 M 2 0 cong mathbb C rightarrow mathbb C nbsp die identische Abbildung sei und f m n x m f m n 1 x 1 1 1 m f m n 1 x 2 2 displaystyle varphi mu n x mu varphi mu n 1 x 1 1 1 mu varphi mu n 1 x 2 2 nbsp fur jedes n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp wobei x x i j displaystyle x x i j nbsp als 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrix mit Elementen aus M 2 n 1 displaystyle M 2 n 1 nbsp geschrieben ist Dann ist die Einschrankung von f m n displaystyle varphi mu n nbsp auf M 2 n 1 displaystyle M 2 n 1 nbsp gleich f m n 1 displaystyle varphi mu n 1 nbsp denn gemass der Einbettung M 2 n 1 x x 0 0 x M 2 n displaystyle M 2 n 1 ni x mapsto begin pmatrix x amp 0 0 amp x end pmatrix in M 2 n nbsp ist f m n M 2 n 1 x f m n x 0 0 x m f m n 1 x 1 m f m n 1 x f m n 1 x displaystyle varphi mu n M 2 n 1 x varphi mu n begin pmatrix x amp 0 0 amp x end pmatrix mu varphi mu n 1 x 1 mu varphi mu n 1 x varphi mu n 1 x nbsp Daher gibt es auf der CAR Algebra einen eindeutigen Zustand f m displaystyle varphi mu nbsp der auf allen M 2 n displaystyle M 2 n nbsp mit f m n displaystyle varphi mu n nbsp ubereinstimmt Zum Zustand f m displaystyle varphi mu nbsp gehort mittels GNS Konstruktion eine Hilbertraum Darstellung p m A L H m displaystyle pi mu A rightarrow L H mu nbsp auf einem Hilbertraum H m displaystyle H mu nbsp Fur 0 lt m lt 1 2 displaystyle 0 lt mu lt frac 1 2 nbsp ist das Bild p m A L H m displaystyle pi mu A subset L H mu nbsp eine C Algebra deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ IIIl ist wobei l m 1 m displaystyle textstyle lambda frac mu 1 mu nbsp 6 Siehe auch BearbeitenTyp I Von Neumann Algebra Typ II Von Neumann AlgebraEinzelnachweise Bearbeiten R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II Academic Press 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Definition 6 5 1 A van Daele Continuous crossed products and type III von Neumann algebras Cambridge University Press 1978 ISBN 0 521 21975 2 Theorem II 4 8 A van Daele Continuous crossed products and type III von Neumann algebras Cambridge University Press 1978 ISBN 0 521 21975 2 Anhang C Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0 1254 9450 5 Theorem 8 15 5 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0 1254 9450 5 Theorem 8 15 7 8 15 11 Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups Academic Press Inc 1979 ISBN 0 1254 9450 5 Theorem 8 15 13 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Typ III Von Neumann Algebra amp oldid 184735656