Dichtheitssatz von Kaplansky Der nach Irving Kaplansky zählt zu den grundlegenden Sätzen der Theorie der Von Neumann Alg

Dichtheitssatz von Kaplansky

Der Dichtheitssatz von Kaplansky (nach Irving Kaplansky) zählt zu den grundlegenden Sätzen der Theorie der Von-Neumann-Algebren. Dabei handelt es sich um eine Reihe von Aussagen über Approximierbarkeit bzgl. der starken Operatortopologie.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Sei eine bzgl. der Involution abgeschlossene Unteralgebra der stetigen linearen Operatoren auf dem Hilbertraum . Wir betrachten auf die starke Operatortopologie, d. h. die Topologie der punktweisen Normkonvergenz: Ein Netz konvergiert genau dann gegen 0, wenn für alle . Der Abschluss in dieser Topologie, der sogenannte starke Abschluss, werde mit einem Querstrich bezeichnet. In dieser Situation gilt der Dichtheitssatz von Kaplansky:

Ist mit durch Operatoren aus A approximierbar (bzgl. der starken Operatortopologie), so kann man T auch durch Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren:

Ist selbstadjungiert mit durch Operatoren aus A approximierbar, so kann man T auch durch selbstadjungierte Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren:

Ist positiv mit durch Operatoren aus A approximierbar, so kann man T auch durch positive Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren:

Ist A eine C*-Algebra mit 1 und der unitäre Operator durch Operatoren aus A approximierbar, so kann man T auch durch unitäre Operatoren aus A approximieren:

der Zusatz ist hier nicht nötig, denn es folgt sogar für alle Elemente mit .

Man beachte, dass obige Aussage über selbstadjungierte Operatoren nicht trivial aus der ersten Aussage folgt, denn die Involution ist bzgl. der starken Operatortopologie unstetig: Ist der Shiftoperator, so ist in der starken Operatortopologie, aber konvergiert nicht gegen 0. Es ist klar, dass man in den ersten drei Punkten obigen Satzes die Bedingungen zu für jedes verallgemeinern kann, denn die Multiplikation mit dem Skalar ist ein Homöomorphismus.

In der Originalarbeit von Kaplansky lautet der Satz:

Bedeutung Bearbeiten

Der Dichtheitssatz von Kaplansky stellt für viele Sätze aus der Theorie der C*-Algebren und Von-Neumann-Algebren ein wichtiges technisches Hilfsmittel dar, er ist ein grundlegender Satz in der Theorie der Von-Neumann-Algebren. Gert K. Pedersen schreibt in seinem Buch C*-Algebras and Their Automorphism Groups:

(Der Dichtheitssatz ist Kaplanskys großes Geschenk an die Menschheit. Man kann ihn täglich benutzen, und sonntags zweimal.)

Typische Anwendung Bearbeiten

Sei ein separabler Hilbertraum und eine bzgl. der Involution abgeschlossene Unteralgebra. Dann kann man jedes durch eine Folge aus approximieren.

Zum Beweis sei eine dichte Folge in . Ist , so kann man nach obigem Dichtheitssatz von Kaplansky zu jedem ein mit und finden. Ist nun , so gibt zu ein mit . Dann gilt für alle

und daher in der starken Operatortopologie.

Man sieht an diesem Beweis sehr schön, wie das Argument davon abhängt, dass man die approximierenden Operatoren in der Operatornorm beschränkt wählen kann, und dazu dient der Dichtheitssatz von Kaplansky.

Einzelnachweise Bearbeiten

R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Theorem 5.3.5 und Korollare
I. Kaplansky: A theroem on rings of operators, Pacific Journal of Mathematics (1951), Band 43, Seiten 227–232, hier online verfügbar
Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups ISBN 0125494505, 2.3.4
W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760, Korollar zu Theorem 1.2.2

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 07:59 am

Der Dichtheitssatz von Kaplansky nach Irving Kaplansky zahlt zu den grundlegenden Satzen der Theorie der Von Neumann Algebren Dabei handelt es sich um eine Reihe von Aussagen uber Approximierbarkeit bzgl der starken Operatortopologie Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Bedeutung 3 Typische Anwendung 4 EinzelnachweiseFormulierung des Satzes BearbeitenSei A L H displaystyle A subset L H nbsp eine bzgl der Involution abgeschlossene Unteralgebra der stetigen linearen Operatoren auf dem Hilbertraum H displaystyle H nbsp Wir betrachten auf L H displaystyle L H nbsp die starke Operatortopologie d h die Topologie der punktweisen Normkonvergenz Ein Netz T i i displaystyle T i i nbsp konvergiert genau dann gegen 0 wenn T i x 0 displaystyle T i x rightarrow 0 nbsp fur alle x H displaystyle x in H nbsp Der Abschluss in dieser Topologie der sogenannte starke Abschluss werde mit einem Querstrich bezeichnet In dieser Situation gilt der Dichtheitssatz von Kaplansky 1 Ist T L H displaystyle T in L H nbsp mit T 1 displaystyle T leq 1 nbsp durch Operatoren aus A approximierbar bzgl der starken Operatortopologie so kann man T auch durch Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren T A T 1 T A T 1 displaystyle T in overline A T leq 1 overline T in A T leq 1 nbsp Ist T L H displaystyle T in L H nbsp selbstadjungiert mit T 1 displaystyle T leq 1 nbsp durch Operatoren aus A approximierbar so kann man T auch durch selbstadjungierte Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren T A T 1 T T T A T 1 T T displaystyle T in overline A T leq 1 T T overline T in A T leq 1 T T nbsp Ist T L H displaystyle T in L H nbsp positiv mit T 1 displaystyle T leq 1 nbsp durch Operatoren aus A approximierbar so kann man T auch durch positive Operatoren aus A mit Norm kleiner gleich 1 approximieren T A T 1 T 0 T A T 1 T 0 displaystyle T in overline A T leq 1 T geq 0 overline T in A T leq 1 T geq 0 nbsp Ist A eine C Algebra mit 1 und der unitare Operator T L H displaystyle T in L H nbsp durch Operatoren aus A approximierbar so kann man T auch durch unitare Operatoren aus A approximieren T A T T 1 T A T T 1 displaystyle T in overline A T T 1 subset overline T in A T T 1 nbsp der Zusatz T 1 displaystyle T leq 1 nbsp ist hier nicht notig denn es folgt sogar T 1 displaystyle T 1 nbsp fur alle Elemente mit T T 1 displaystyle T T 1 nbsp Man beachte dass obige Aussage uber selbstadjungierte Operatoren nicht trivial aus der ersten Aussage folgt denn die Involution ist bzgl der starken Operatortopologie unstetig Ist S L ℓ 2 displaystyle S in L ell 2 nbsp der Shiftoperator so ist S n 0 displaystyle S n to 0 nbsp in der starken Operatortopologie aber S n S n displaystyle S n S n nbsp konvergiert nicht gegen 0 Es ist klar dass man in den ersten drei Punkten obigen Satzes die Bedingungen 1 displaystyle cdot leq 1 nbsp zu r displaystyle cdot leq r nbsp fur jedes r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp verallgemeinern kann denn die Multiplikation mit dem Skalar r displaystyle r nbsp ist ein Homoomorphismus In der Originalarbeit von Kaplansky lautet der Satz 2 Sind M displaystyle mathcal M nbsp und N displaystyle mathcal N nbsp Algebren von Operatoren auf einem Hilbertraum M N displaystyle mathcal M subset mathcal N nbsp und M displaystyle mathcal M nbsp sei stark dicht in N displaystyle mathcal N nbsp Dann ist die Einheitskugel von M displaystyle mathcal M nbsp stark dicht in der Einheitskugel von N displaystyle mathcal N nbsp Bedeutung BearbeitenDer Dichtheitssatz von Kaplansky stellt fur viele Satze aus der Theorie der C Algebren und Von Neumann Algebren ein wichtiges technisches Hilfsmittel dar er ist ein grundlegender Satz in der Theorie der Von Neumann Algebren Gert K Pedersen schreibt in seinem Buch C Algebras and Their Automorphism Groups The density theorem is Kaplansky s great gift to mankind It can be used every day and twice on Sundays 3 dd Der Dichtheitssatz ist Kaplanskys grosses Geschenk an die Menschheit Man kann ihn taglich benutzen und sonntags zweimal Typische Anwendung BearbeitenSei H displaystyle H nbsp ein separabler Hilbertraum und A L H displaystyle A subset L H nbsp eine bzgl der Involution abgeschlossene Unteralgebra Dann kann man jedes T A displaystyle T in overline A nbsp durch eine Folge aus A displaystyle A nbsp approximieren 4 Zum Beweis sei x n n displaystyle x n n nbsp eine dichte Folge in H displaystyle H nbsp Ist r T displaystyle r T nbsp so kann man nach obigem Dichtheitssatz von Kaplansky zu jedem n N displaystyle n in mathbb N nbsp ein T n A displaystyle T n in A nbsp mit T n r displaystyle T n leq r nbsp und T n x k T x k lt 1 n k 1 n displaystyle textstyle T n x k Tx k lt frac 1 n k 1 ldots n nbsp finden Ist nun x H displaystyle x in H nbsp so gibt zu ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp ein N N displaystyle N in mathbb N nbsp mit x N x lt ϵ 3 r displaystyle textstyle x N x lt frac epsilon 3r nbsp Dann gilt fur alle n max 3 ϵ N displaystyle textstyle n geq max frac 3 epsilon N nbsp T n x T x T n x x N T n x N T x N T x N x r ϵ 3 r 1 n r ϵ 3 r ϵ displaystyle T n x Tx leq T n x x N T n x N Tx N T x N x leq r frac epsilon 3r frac 1 n r frac epsilon 3r leq epsilon nbsp und daher T n T displaystyle T n rightarrow T nbsp in der starken Operatortopologie Man sieht an diesem Beweis sehr schon wie das Argument davon abhangt dass man die approximierenden Operatoren in der Operatornorm beschrankt wahlen kann und dazu dient der Dichtheitssatz von Kaplansky Einzelnachweise Bearbeiten R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras I 1983 ISBN 0 12 393301 3 Theorem 5 3 5 und Korollare I Kaplansky A theroem on rings of operators Pacific Journal of Mathematics 1951 Band 43 Seiten 227 232 hier online verfugbar Gert K Pedersen C Algebras and Their Automorphism Groups ISBN 0125494505 2 3 4 W Arveson Invitation to C algebras ISBN 0387901760 Korollar zu Theorem 1 2 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dichtheitssatz von Kaplansky amp oldid 184736153