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Liminale C Algebra Liminale C Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C Algebren Hierbei handelt es

Liminale C*-Algebra

Liminale C*-Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C*-Algebren. Hierbei handelt es sich um die „Bausteine“, aus denen die postliminalen oder Typ-I-C*-Algebren aufgebaut sind.

Die liminalen C*-Algebren werden von manchen Autoren auch CCR-Algebren (CCR steht für completely continuous representations, das heißt kompakte Darstellungen) genannt, unter diesem Namen wurden sie 1951 von Irving Kaplansky eingeführt. Es besteht jedoch dann ein Namenskonflikt zu in der Quantenfeldtheorie betrachteten Algebren (CCR steht dort für canonical commutation relations, das heißt kanonische Vertauschungsrelationen). Wir schließen uns hier der auf Jacques Dixmier zurückgehenden Benennung an (frz.: liminaire, engl.: liminal).

Definition Bearbeiten

Eine C*-Algebra heißt liminal, wenn die Bilder irreduzibler Darstellungen aus kompakten Operatoren bestehen.

Beispiele Bearbeiten

  • Duale C*-Algebren sind liminal.
  • Kommutative C*-Algebren sind liminal, denn jede irreduzible Darstellung ist eindimensional. Die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen ist liminal, aber nicht dual.
  • Ist lokalkompakt, so ist liminal, denn jede irreduzible Darstellung hat bis auf Äquivalenz die Form für ein .
  • Es sei ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum. Dann ist nicht liminal, denn ist irreduzibel und hat nicht-kompakte Operatoren im Bild.

Das größte liminale Ideal Bearbeiten

Ist eine C*-Algebra, so ist

ein abgeschlossenes, zweiseitiges Ideal, das liminal ist und jedes andere liminale Ideal enthält, kurz das größte liminale Ideal. Demnach ist eine C*-Algebra genau dann liminal, wenn sie mit ihrem größten liminalen Ideal zusammenfällt. Der Quotient kann durchaus wieder ein von verschiedenes liminales Ideal enthalten; diese Beobachtung führt zum wichtigen Begriff der postliminalen C*-Algebra.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jede Unter-C*-Algebra einer liminalen C*-Algebra ist wieder liminal.
  • Ist eine liminale C*-Algebra und ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist wieder liminal.
  • Ist eine liminale C*-Algebra und eine irreduzible Darstellung, so gilt . Dabei ist die Algebra der kompakten Operatoren auf , die Definition verlangte nur die Inklusion .

Antiliminale C*-Algebren Bearbeiten

Eine C*-Algebra heißt antiliminal, wenn das einzige liminale Ideal in das Nullideal ist, das heißt, wenn das größte liminale Ideal ist. Die Calkin-Algebra ist ein Beispiel für eine antiliminale C*-Algebra.

C*-Algebren mit stetiger Spur Bearbeiten

Für eine C*-Algebra sei das Spektrum von , das heißt die Menge aller Äquivalenzklassen irreduzibler Darstellungen von (siehe Hilbertraum-Darstellung). Ist und positiv, so ist ein positiver kompakter Operator auf und man kann die Spur bilden, wobei diese Zahl nicht von sondern nur von der Äquivalenzklasse abhängt. Sei weiter

Dann ist die Menge aller , für die gilt, ein zweiseitiges Ideal in . Wenn dieses Ideal dicht in liegt, so sagt man, sei eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Es gilt folgender Satz.

  • C*-Algebren mit stetiger Spur sind liminal, das Spektrum einer solchen C*-Algebra ist ein Hausdorffraum.

Die oben genannte C*-Algebra ist ein Beispiel für eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Die Unter-C*-Algebra ist keine C*-Algebra mit stetiger Spur (für ), aber als Unteralgebra liminal.

Quellen Bearbeiten

  • W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
  • J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
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Liminale C Algebren sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von C Algebren Hierbei handelt es sich um die Bausteine aus denen die postliminalen oder Typ I C Algebren aufgebaut sind Die liminalen C Algebren werden von manchen Autoren auch CCR Algebren CCR steht fur completely continuous representations das heisst kompakte Darstellungen genannt unter diesem Namen wurden sie 1951 von Irving Kaplansky eingefuhrt Es besteht jedoch dann ein Namenskonflikt zu in der Quantenfeldtheorie betrachteten Algebren CCR steht dort fur canonical commutation relations das heisst kanonische Vertauschungsrelationen Wir schliessen uns hier der auf Jacques Dixmier zuruckgehenden Benennung an frz liminaire engl liminal Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Das grosste liminale Ideal 4 Eigenschaften 5 Antiliminale C Algebren 6 C Algebren mit stetiger Spur 7 QuellenDefinition BearbeitenEine C Algebra heisst liminal wenn die Bilder irreduzibler Darstellungen aus kompakten Operatoren bestehen Beispiele BearbeitenDuale C Algebren sind liminal Kommutative C Algebren sind liminal denn jede irreduzible Darstellung ist eindimensional Die kommutative C Algebra C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp der stetigen Funktionen 0 1 C displaystyle 0 1 rightarrow mathbb C nbsp ist liminal aber nicht dual Ist X displaystyle X nbsp lokalkompakt so ist C 0 X M n C a X M n C a ist stetig und lim x a x 0 displaystyle C 0 X M n mathbb C a X rightarrow M n mathbb C a mbox ist stetig und lim x to infty a x 0 nbsp liminal denn jede irreduzible Darstellung hat bis auf Aquivalenz die Form p x a a x M n C L C n displaystyle pi x a a x in M n mathbb C L mathbb C n nbsp fur ein x X displaystyle x in X nbsp Es sei H displaystyle H nbsp ein unendlich dimensionaler Hilbertraum Dann ist A L H displaystyle A L H nbsp nicht liminal denn id A A L H displaystyle mbox id A colon A rightarrow L H nbsp ist irreduzibel und hat nicht kompakte Operatoren im Bild Das grosste liminale Ideal BearbeitenIst A displaystyle A nbsp eine C Algebra so ist I a A p a ist kompakt fur jede irreduzible Darstellung von A displaystyle I a in A pi a mbox ist kompakt fur jede irreduzible Darstellung von A nbsp ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal das liminal ist und jedes andere liminale Ideal enthalt kurz das grosste liminale Ideal Demnach ist eine C Algebra genau dann liminal wenn sie mit ihrem grossten liminalen Ideal zusammenfallt Der Quotient A I displaystyle A I nbsp kann durchaus wieder ein von 0 displaystyle 0 nbsp verschiedenes liminales Ideal enthalten diese Beobachtung fuhrt zum wichtigen Begriff der postliminalen C Algebra Eigenschaften BearbeitenJede Unter C Algebra einer liminalen C Algebra ist wieder liminal Ist A displaystyle A nbsp eine liminale C Algebra und I A displaystyle I subset A nbsp ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal so ist A I displaystyle A I nbsp wieder liminal Ist A displaystyle A nbsp eine liminale C Algebra und p A L H displaystyle pi colon A rightarrow L H nbsp eine irreduzible Darstellung so gilt p A K H displaystyle pi A K H nbsp Dabei ist K H displaystyle K H nbsp die Algebra der kompakten Operatoren auf H displaystyle H nbsp die Definition verlangte nur die Inklusion p A K H displaystyle pi A subset K H nbsp Antiliminale C Algebren BearbeitenEine C Algebra A displaystyle A nbsp heisst antiliminal wenn das einzige liminale Ideal in A displaystyle A nbsp das Nullideal ist das heisst wenn das grosste liminale Ideal 0 displaystyle 0 nbsp ist Die Calkin Algebra ist ein Beispiel fur eine antiliminale C Algebra C Algebren mit stetiger Spur BearbeitenFur eine C Algebra A displaystyle A nbsp sei A displaystyle hat A nbsp das Spektrum von A displaystyle A nbsp das heisst die Menge aller Aquivalenzklassen p displaystyle pi nbsp irreduzibler Darstellungen p displaystyle pi nbsp von A displaystyle A nbsp siehe Hilbertraum Darstellung Ist p A displaystyle pi in hat A nbsp und a A displaystyle a in A nbsp positiv so ist p a displaystyle pi a nbsp ein positiver kompakter Operator auf H displaystyle H nbsp und man kann die Spur S p p a 0 displaystyle Sp pi a in 0 infty nbsp bilden wobei diese Zahl nicht von p displaystyle pi nbsp sondern nur von der Aquivalenzklasse p displaystyle pi nbsp abhangt Sei weiter P a A a 0 p S p p a ist eine stetige Funktion A 0 displaystyle P a in A a geq 0 pi mapsto Sp pi a mbox ist eine stetige Funktion hat A rightarrow 0 infty nbsp Dann ist die Menge aller a A displaystyle a in A nbsp fur die a a P displaystyle a a in P nbsp gilt ein zweiseitiges Ideal in A displaystyle A nbsp Wenn dieses Ideal dicht in A displaystyle A nbsp liegt so sagt man A displaystyle A nbsp sei eine C Algebra mit stetiger Spur Es gilt folgender Satz C Algebren mit stetiger Spur sind liminal das Spektrum einer solchen C Algebra ist ein Hausdorffraum Die oben genannte C Algebra C 0 1 M n C displaystyle C 0 1 M n mathbb C nbsp ist ein Beispiel fur eine C Algebra mit stetiger Spur Die Unter C Algebra a C 0 1 M n C a 0 ist eine Diagonalmatrix displaystyle a in C 0 1 M n mathbb C a 0 mbox ist eine Diagonalmatrix nbsp ist keine C Algebra mit stetiger Spur fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp aber als Unteralgebra liminal Quellen BearbeitenW Arveson Invitation to C algebras ISBN 0387901760 J Dixmier Les C algebres et leurs representations Gauthier Villars 1969 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Liminale C Algebra amp oldid 218417186