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Duale C Algebra Die dualen C Algebren auch C Algebren kompakter Operatoren genannt sind eine spezielle Unterklasse von i

Duale C*-Algebra

Die dualen C*-Algebren, auch C*-Algebren kompakter Operatoren genannt, sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C*-Algebren. Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus.

Definition Bearbeiten

Ist eine Teilmenge einer Algebra , so heißt der Links-Annullator von . Entsprechend heißt der Rechts-Annullator von . Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual, wenn folgende Dualitätsbeziehungen bestehen:

Bei C*-Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen, da sich Links- und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen.

Charakterisierungen Bearbeiten

Eine C*-Algebra heißt elementar, wenn es einen Hilbertraum gibt, so dass sie isomorph zur Algebra der kompakten Operatoren auf ist. Das eingeschränkte Produkt einer Familie von C*-Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der , die aus allen Tupeln besteht, für die für jedes endlich ist. Zusammen mit der Norm ist dies wieder einer C*-Algebra. Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun:

Für eine C*-Algebra sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist eine duale C*-Algebra.
  • Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in .
  • Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in .
  • ist isomorph zu einer Unter-C*-Algebra einer elementaren C*-Algebra.
  • ist isomorph zu einem eingeschränkten Produkt einer Familie elementarer C*-Algebren.
  • Das Gelfand-Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter-C*-Algebra ist diskret.
  • Für jedes ist der Operator der Linksmultiplikation ein schwach-kompakter Operator.
  • Für jedes ist der Operator der Rechtsmultiplikation ein schwach-kompakter Operator.

Dabei heißt ein Operator schwach-kompakt, wenn das Bild einer beschränkten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat.

Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C*-Algebren auch C*-Algebren kompakter Operatoren.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Matrizen-Algebren sind elementar und daher dual, allgemeiner sind alle endlich-dimensionalen C*-Algebren dual.
  • Die Folgenalgebra der komplexen Nullfolgen ist eingeschränktes Produkt von abzählbar vielen Kopien von und daher dual.
  • Ist ein Hilbertraum und ist eine Unter-C*-Algebra von , so ist dual. Nach obiger Charakterisierung erhält man so bis auf Isomorphie alle dualen C*-Algebren.
  • Die Funktionenalgebra ist nicht dual, denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand-Spektrum. Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren und der konvergenten bzw. beschränkten Folgen nicht dual.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Aus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht, dass Unter-C*-Algebren von dualen C*-Algebren und eingeschränkte Produkte dualer C*-Algebren wieder dual sind.
  • Die Darstellungstheorie dualer C*-Algebren ist sehr einfach. Liegt die C*-Algebra als eingeschränktes Produkt elementarer C*-Algebren vor, so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Äquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten .

Quellen Bearbeiten

  • W. Arveson: Invitation to C*-algebras, ISBN 0387901760
  • J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969
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Die dualen C Algebren auch C Algebren kompakter Operatoren genannt sind eine spezielle Unterklasse von in der Mathematik betrachteten C Algebren Sie zeichnen sich durch eine besonders einfache Struktur aus Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Charakterisierungen 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 QuellenDefinition BearbeitenIst M A displaystyle M subset A nbsp eine Teilmenge einer Algebra A displaystyle A nbsp so heisst lan M x A x M 0 displaystyle mbox lan M x in A xM 0 nbsp der Links Annullator von M displaystyle M nbsp Entsprechend heisst ran M x A M x 0 displaystyle mbox ran M x in A Mx 0 nbsp der Rechts Annullator von M displaystyle M nbsp Ganz allgemein nennt man eine Banachalgebra dual wenn folgende Dualitatsbeziehungen bestehen lan ran I I displaystyle mbox lan mbox ran I I nbsp fur alle abgeschlossenen Linksideale I A displaystyle I subset A nbsp ran lan I I displaystyle mbox ran mbox lan I I nbsp fur alle abgeschlossenen Rechtsideale I A displaystyle I subset A nbsp Bei C Algebren folgt jede der Bedingungen aus der jeweils anderen da sich Links und Rechtideale via Involution eineindeutig entsprechen Charakterisierungen BearbeitenEine C Algebra heisst elementar wenn es einen Hilbertraum H displaystyle H nbsp gibt so dass sie isomorph zur Algebra K H displaystyle K H nbsp der kompakten Operatoren auf H displaystyle H nbsp ist Das eingeschrankte Produkt einer Familie A i i displaystyle A i i nbsp von C Algebren ist die Unteralgebra des kartesischen Produktes der A i displaystyle A i nbsp die aus allen Tupeln x i i displaystyle x i i nbsp besteht fur die i x i gt ϵ displaystyle i x i gt epsilon nbsp fur jedes ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp endlich ist Zusammen mit der Norm x i i sup i x i displaystyle x i i sup i x i nbsp ist dies wieder einer C Algebra Mit diesen Begriffsbildungen gilt nun Fur eine C Algebra A displaystyle A nbsp sind folgende Aussagen aquivalent A displaystyle A nbsp ist eine duale C Algebra Die Summe der minimalen Linksideale liegt dicht in A displaystyle A nbsp Die Summe der minimalen Rechtsideale liegt dicht in A displaystyle A nbsp A displaystyle A nbsp ist isomorph zu einer Unter C Algebra einer elementaren C Algebra A displaystyle A nbsp ist isomorph zu einem eingeschrankten Produkt einer Familie elementarer C Algebren Das Gelfand Spektrum jeder maximalen kommutativen Unter C Algebra ist diskret Fur jedes x A displaystyle x in A nbsp ist der Operator der Linksmultiplikation L x A A y x y displaystyle L x A rightarrow A y mapsto xy nbsp ein schwach kompakter Operator Fur jedes x A displaystyle x in A nbsp ist der Operator der Rechtsmultiplikation R x A A y y x displaystyle R x A rightarrow A y mapsto yx nbsp ein schwach kompakter Operator Dabei heisst ein Operator schwach kompakt wenn das Bild einer beschrankten Menge in der schwachen Topologie einen kompakten Abschluss hat Wegen dieser Charakterisierung nennt man duale C Algebren auch C Algebren kompakter Operatoren Beispiele BearbeitenDie Matrizen Algebren M n C displaystyle M n mathbb C nbsp C n n displaystyle mathbb C n times n nbsp sind elementar und daher dual allgemeiner sind alle endlich dimensionalen C Algebren dual Die Folgenalgebra c 0 displaystyle c 0 nbsp der komplexen Nullfolgen ist eingeschranktes Produkt von abzahlbar vielen Kopien von C M 1 C displaystyle mathbb C cong M 1 mathbb C nbsp und daher dual Ist H displaystyle H nbsp ein Hilbertraum und ist A displaystyle A nbsp eine Unter C Algebra von K H displaystyle K H nbsp so ist A displaystyle A nbsp dual Nach obiger Charakterisierung erhalt man so bis auf Isomorphie alle dualen C Algebren Die Funktionenalgebra C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp ist nicht dual denn sie ist kommutativ und hat kein diskretes Gelfand Spektrum Aus demselben Grunde sind die Folgenalgebren c displaystyle c nbsp und ℓ displaystyle ell infty nbsp der konvergenten bzw beschrankten Folgen nicht dual Eigenschaften BearbeitenAus obigen Charakterisierungen ergibt sich leicht dass Unter C Algebren von dualen C Algebren und eingeschrankte Produkte dualer C Algebren wieder dual sind Duale C Algebren sind liminal Die Darstellungstheorie dualer C Algebren ist sehr einfach Liegt die C Algebra als eingeschranktes Produkt elementarer C Algebren K H i displaystyle K H i nbsp vor so sind die irreduziblen Darstellungen bis auf Aquivalenz genau die Projektionen auf die Komponenten K H i displaystyle K H i nbsp Quellen BearbeitenW Arveson Invitation to C algebras ISBN 0387901760 J Dixmier Les C algebres et leurs representations Gauthier Villars 1969 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Duale C Algebra amp oldid 183547607