Die irrationalen Rotationsalgebren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtet Es handelt sich um eine Klasse von C Algebren die sich aus der C Algebra der stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem Einheitskreis zusammen mit einer Rotation dieses Einheitskreises um einen irrationalen Winkel ergeben Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Eigenschaften 3 Alternative Konstruktion 4 K Theorie 5 Kreuzprodukt 6 EinzelnachweiseKonstruktion Bearbeiten nbsp V dreht den Definitionsbereich von Funktionen T C displaystyle mathbb T to mathbb C nbsp Im Folgenden sei 8 displaystyle theta nbsp eine fest gewahlte irrationale Zahl Betrachte den C displaystyle mathbb C nbsp Hilbertraum L 2 R Z displaystyle L 2 mathbb R mathbb Z nbsp der quadratintegrierbaren Funktionen wobei wie ublich die Kreisgruppe R Z displaystyle mathbb R mathbb Z nbsp mittels t e 2 p i t displaystyle t mapsto e 2 pi it nbsp mit dem Einheitskreis T z C z 1 displaystyle mathbb T z in mathbb C z 1 nbsp identifiziert wird und darauf die beiden wie folgt definierten unitaren Operatoren U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp U f z f displaystyle Uf zf nbsp wobei z t e 2 p i t displaystyle z t e 2 pi it nbsp und V f t f t 8 displaystyle Vf t f t theta nbsp U displaystyle U nbsp ist ein Multiplikationsoperator und V displaystyle V nbsp rotiert eine Funktion um den Winkel 8 displaystyle theta nbsp Die von U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp erzeugte C Algebra C U V B L 2 T displaystyle C U V subset B L 2 mathbb T nbsp heisst daher die irrationale Rotationsalgebra zum Winkel 8 displaystyle theta nbsp und wird mit A 8 displaystyle A theta nbsp bezeichnet D 1 Eigenschaften BearbeitenLeicht bestatigt man U V e 2 p i 8 V U displaystyle UV e 2 pi i theta VU nbsp in der Tat istU V f t U V f t z t V f t displaystyle UVf t U Vf t z t Vf t nbsp z t f t 8 e 2 p i 8 z t 8 f t 8 e 2 p i 8 z f t 8 displaystyle z t f t theta e 2 pi i theta z t theta f t theta e 2 pi i theta zf t theta nbsp e 2 p i 8 U f t 8 e 2 p i 8 V U f t displaystyle e 2 pi i theta Uf t theta e 2 pi i theta VUf t nbsp Die irrationale Rotationsalgebra hat folgende universelle Eigenschaft die sie bis auf Isomorphie charakterisiert Ist A displaystyle A nbsp eine C Algebra die von zwei unitaren Operatoren U displaystyle tilde U nbsp und V displaystyle tilde V nbsp erzeugt wird die die Relation U V e 2 p i 8 V U displaystyle tilde U tilde V e 2 pi i theta tilde V tilde U nbsp erfullen so gibt es genau einen Isomorphismus A 8 A displaystyle A theta rightarrow A nbsp mit U U displaystyle U mapsto tilde U nbsp und V V displaystyle V mapsto tilde V nbsp D 2 A 8 displaystyle A theta nbsp ist einfach das heisst die Algebra enthalt keine zweiseitigen Ideale ausser 0 displaystyle 0 nbsp und sich selbst Es gibt eine eindeutige Spur t A 8 C displaystyle tau A theta rightarrow mathbb C nbsp das heisst es gibt genau ein lineares Funktional t A 8 C displaystyle tau A theta rightarrow mathbb C nbsp mit t a a 0 displaystyle tau a a geq 0 nbsp fur alle a A 8 displaystyle a in A theta nbsp t a b t b a displaystyle tau ab tau ba nbsp fur alle a b A 8 displaystyle a b in A theta nbsp und t I 1 displaystyle tau I 1 nbsp wobei I displaystyle I nbsp das Einselement in A 8 displaystyle A theta nbsp sei D 3 Die Gruppe der invertierbaren Elemente liegt dicht in A 8 displaystyle A theta nbsp 1 Die irrationalen Rotationsalgebren sind nuklear Alternative Konstruktion BearbeitenHier wird eine alternative Konstruktion der irrationalen Rotationsalgebra auf dem Folgenraum ℓ 2 ℓ 2 Z displaystyle ell 2 ell 2 mathbb Z nbsp mit der Orthonormalbasis e n n Z displaystyle e n n in mathbb Z nbsp vorgestellt Man definiere die unitaren Operatoren U V B ℓ 2 displaystyle U V in B ell 2 nbsp durch U e n e n 1 displaystyle Ue n e n 1 nbsp zweiseitiger Shift V e n e 2 p i n 8 e n displaystyle Ve n e 2 pi in theta e n nbsp unendliche Diagonalmatrix Dann bestatigt man leicht U V e n e 2 p i n 8 e n 1 e 2 p i 8 V U e n displaystyle UVe n e 2 pi in theta e n 1 e 2 pi i theta VUe n nbsp woraus U V e 2 p i 8 V U displaystyle UV e 2 pi i theta VU nbsp folgt Wegen der oben erwahnten universellen Eigenschaft der irrationalen Rotationsalgebra erhalt man daraus A 8 C U V B ℓ 2 displaystyle A theta cong C U V subset B ell 2 nbsp K Theorie BearbeitenNach einem Satz von Marc Rieffel 2 gibt es zu jedem a Z 8 Z 0 1 displaystyle alpha in mathbb Z theta mathbb Z cap 0 1 nbsp eine Projektion P A 8 displaystyle P in A theta nbsp mit t P a displaystyle tau P alpha nbsp wobei t displaystyle tau nbsp die eindeutige Spur auf A 8 displaystyle A theta nbsp sei Da Z 8 Z Z 8 Z R Z 8 Z 0 1 displaystyle mathbb Z theta mathbb Z mathbb Z theta mathbb Z cap mathbb R mathbb Z theta mathbb Z cap 0 1 nbsp eine unperforierte skalierte kommutative Gruppe mit der Rieszschen Zerlegungseigenschaft ist fur diese Begriffe siehe Geordnete abelsche Gruppe gibt es nach dem Satz von Effros Handelman Shen bis auf Isomorphie genau eine AF C Algebra A 8 displaystyle mathcal A theta nbsp die diese Gruppe als K0 Gruppe hat und es liegt nahe die C Algebra A 8 displaystyle A theta nbsp die selbst keine AF C Algebra ist mit A 8 displaystyle mathcal A theta nbsp in Verbindung zu bringen Tatsachlich konnten M Pimsner und D Voiculescu eine Einbettung A 8 A 8 displaystyle A theta rightarrow mathcal A theta nbsp konstruieren 3 Daraus folgt zunachst K 0 A 8 Z 8 Z displaystyle K 0 A theta cong mathbb Z theta mathbb Z nbsp und dann D 4 Zwei irrationale Rotationsalgebren A 8 displaystyle A theta nbsp und A h displaystyle A eta nbsp sind genau dann isomorph wenn h 8 m o d Z displaystyle eta pm theta mathrm mod mathbb Z nbsp ist Kreuzprodukt BearbeitenDie irrationale Rotationsalgebra ist der Prototyp des Kreuzproduktes eines C dynamischen Systems Ist a A u t C T displaystyle alpha in mathrm Aut C mathbb T nbsp durch a f t f t 8 displaystyle alpha f t f t theta nbsp definiert und ist s Z A u t C T n a n displaystyle sigma mathbb Z rightarrow mathrm Aut C mathbb T n mapsto alpha n nbsp so ist C T Z s displaystyle C mathbb T mathbb Z sigma nbsp ein C dynamisches System und es ist A 8 C T s Z displaystyle A theta cong C mathbb T ltimes sigma mathbb Z nbsp D 5 Einzelnachweise Bearbeiten I Putnam The invertibles are dense in the irrational rotation C algebras J reine angewandte Mathematik Band 140 1990 Seiten 160 166 M A Rieffel C algebras associated with irrational rotations Pacific J Math Band 93 1981 Seiten 415 429 M Pimsner D Voiculescu Imbedding the irrational rotation algebra into an AF algebra Journal of Operator Theory Band 4 1980 Seiten 93 118K R Davidson C Algebras by Example American Mathematical Society 1996 ISBN 0 821 80599 1 Kapitel VI Irrational Rotation Algebra Theorem VI 1 4 Satz VI 1 3 Korollar VI 5 3 Beispiel VIII 1 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Irrationale Rotationsalgebra amp oldid 194700949
