C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.
Definition Bearbeiten
Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel bestehend aus einer C*-Algebra , einer lokalkompakten Gruppe und einem Homomorphismus von in die Gruppe der *-Automorphismen von , so dass alle Abbildungen stetig sind. (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur , es sind aber *-Automorphismen gemeint.)
Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist . Da die Gruppe diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist bereits durch festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.
Kovariante Darstellungen Bearbeiten
Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist ein C*-dynamisches System und sind eine Hilbertraum-Darstellung von und eine unitäre Darstellung von auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar eine kovariante Darstellung, falls
für alle und .
Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch vermittelte Gruppenoperation von auf durch unitäre Operatoren dargestellt.
Das Kreuzprodukt Bearbeiten
Ist ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger für und :
Dabei ist , ein links-Haarsches Maß auf und die modulare Funktion von . Man rechnet nach, dass durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von abhängige Produkt nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit bezeichnet wird.
Ist eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems auf einem Hilbertraum , so wird durch
eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen -Algebra.
Die einhüllende C*-Algebra von wird mit oder bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von und umgekehrt.
Ist speziell , so operiert jede lokalkompakte Gruppe trivial auf , das heißt für alle , und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra . Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.
Das reduzierte Kreuzprodukt Bearbeiten
Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von eine solche.
Ist eine Hilbertraum-Darstellung von , so konstruiert man eine kovariante Darstellung auf dem Hilbertraum aller messbaren Funktionen mit durch folgende Formeln:
- ,
wobei , und . Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell die universelle Darstellung von , so heißt der Normabschluss von in das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit oder bezeichnet.
Betrachtet man wieder den Spezialfall mit der trivialen Operation der Gruppe , so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.
Da die kovariante Darstellung zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus , den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz:
Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall ) muss man also nicht zwischen und unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.
Klassische dynamische Systeme Bearbeiten
Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe auf einem kompakten Hausdorffraum . Genauer ist ein Homöomorphismus gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation . definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra der stetigen Funktionen , der auf abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System vor, wobei . Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System und der C*-Algebra aufgestellt werden. Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.
Siehe auch Bearbeiten
Einzelnachweise Bearbeiten
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.4.1
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.4.8
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.6.1
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.6.4
- Thomas Skill: Toeplitz-Quantisierung symmetrischer Gebiete auf Grundlage der C*-Dualität, Teubner-Verlag (2011), ISBN 3-834-81541-1, Kap. 4.1: Gruppen-C*-Algebren und Kreuzprodukte von C*-Algebren
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.6.5
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, 7.7.4
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Theorem 7.7.7
- K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Kapitel VIII.3