Maximales Tensorprodukt Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C Algebre

Maximales Tensorprodukt

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C*-Algebren eine Konstruktion, mit der man aus zwei C*-Algebren und eine neue mit bezeichnete C*-Algebra erhält. Es handelt sich dabei um die Vervollständigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus und . Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A. Guichardet zurück.

Konstruktion Bearbeiten

Es seien und zwei C*-Algebren. Eine C*-Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt ist eine Halbnorm , so dass

für alle
für alle

Man kann zeigen, dass für alle und . Für ein Element folgt daher für jede C*-Halbnorm. Deshalb ist , wobei alle C*-Halbnormen durchläuft, endlich, und man bestätigt leicht, dass eine C*-Halbnorm ist, und nach Konstruktion die größte auf . Es handelt sich sogar um eine Norm, denn unter den C*-Halbnormen befindet sich die räumliche C*-Norm.

Die Vervollständigung von bezüglich dieser maximalen C*-Norm heißt das maximale Tensorprodukt aus und und wird mit bezeichnet, andere Autoren schreiben dafür .

Eigenschaften Bearbeiten

Das maximale Tensorprodukt hat folgende nützliche Eigenschaft:

Es seien , und C*-Algebren und sowie zwei *-Homomorphismen mit vertauschenden Bildern, das heißt für alle und . Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus mit für alle und .

Sind und C*-Algebren, so heißt ein Paar ein vertauschendes Paar von Darstellungen von , falls und Hilbertraum-Darstellungen auf demselben Hilbertraum sind und für alle und gilt. Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel für die maximale C*-Norm aufstellen:

Für zwei C*-Algebren und und aus dem algebraischen Tensorprodukt gilt

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

A. Guichardet: Tensor products of C*-algebras, Aarhus University Lecture Notes, Band 12 (1969)
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, §11.3
Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Kapitel 6
Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9, Theorem 6.3.7
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 11.3.4

Literatur Bearbeiten

Gerald. J. Murphy: C*-Algebras and Operator Theory, Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-1251-1360-9
R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 00:35 am

Im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis ist das maximale Tensorprodukt von C Algebren eine Konstruktion mit der man aus zwei C Algebren A displaystyle A und B displaystyle B eine neue mit A m a x B displaystyle A otimes mathrm max B bezeichnete C Algebra erhalt Es handelt sich dabei um die Vervollstandigung des mit einer geeigneten Norm versehenen algebraischen Tensorproduktes aus A displaystyle A und B displaystyle B Die unten vorgestellte Konstruktion geht auf A Guichardet zuruck 1 Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Eigenschaften 3 Siehe auch 4 Einzelnachweise 5 LiteraturKonstruktion BearbeitenEs seien A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp zwei C Algebren Eine C Halborm auf dem algebraischen Tensorprodukt A B displaystyle A odot B nbsp ist eine Halbnorm a displaystyle alpha nbsp so dass a s t a s a t displaystyle alpha st leq alpha s alpha t nbsp fur alle s t A B displaystyle s t in A odot B nbsp a s s a s 2 displaystyle alpha s s alpha s 2 nbsp fur alle s A B displaystyle s in A odot B nbsp Man kann zeigen dass a a b a b displaystyle alpha a otimes b leq a b nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp und b B displaystyle b in B nbsp Fur ein Element s i 1 n a i b i A B displaystyle s sum i 1 n a i otimes b i in A odot B nbsp folgt daher a s i 1 n a i b i displaystyle alpha s leq sum i 1 n a i b i nbsp fur jede C Halbnorm Deshalb ist m s sup a a s displaystyle mu s sup alpha alpha s nbsp wobei a displaystyle alpha nbsp alle C Halbnormen durchlauft endlich und man bestatigt leicht dass m displaystyle mu nbsp eine C Halbnorm ist und nach Konstruktion die grosste auf A B displaystyle A odot B nbsp Es handelt sich sogar um eine Norm denn unter den C Halbnormen befindet sich die raumliche C Norm Die Vervollstandigung von A B displaystyle A odot B nbsp bezuglich dieser maximalen C Norm heisst das maximale Tensorprodukt aus A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp und wird mit A m B displaystyle A otimes mu B nbsp bezeichnet 2 andere Autoren schreiben dafur A m a x B displaystyle A otimes mathrm max B nbsp 3 Eigenschaften BearbeitenDas maximale Tensorprodukt hat folgende nutzliche Eigenschaft 4 Es seien A displaystyle A nbsp B displaystyle B nbsp und C displaystyle C nbsp C Algebren und f A C displaystyle varphi A rightarrow C nbsp sowie ps B C displaystyle psi B rightarrow C nbsp zwei Homomorphismen mit vertauschenden Bildern das heisst f a ps b ps b f a displaystyle varphi a psi b psi b varphi a nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp und b B displaystyle b in B nbsp Dann gibt es genau einen Homomorphismus p A m a x B C displaystyle pi A otimes mathrm max B rightarrow C nbsp mit p a b f a ps b displaystyle pi a otimes b varphi a psi b nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp und b B displaystyle b in B nbsp Sind A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp C Algebren so heisst ein Paar f ps displaystyle varphi psi nbsp ein vertauschendes Paar von Darstellungen von A B displaystyle A B nbsp falls f A L H displaystyle varphi A rightarrow L H nbsp und ps B L H displaystyle psi B rightarrow L H nbsp Hilbertraum Darstellungen auf demselben Hilbertraum H displaystyle H nbsp sind und f a ps b ps b f a displaystyle varphi a psi b psi b varphi a nbsp fur alle a A displaystyle a in A nbsp und b B displaystyle b in B nbsp gilt Mit dieser Begriffsbildung kann man folgende Formel fur die maximale C Norm aufstellen 5 Fur zwei C Algebren A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp und s j 1 n a j b j displaystyle s sum j 1 n a j otimes b j nbsp aus dem algebraischen Tensorprodukt A B displaystyle A odot B nbsp giltm s sup j 1 n f a j ps b j f ps vertauschendes Paar von Darstellungen von A B displaystyle mu s sup sum j 1 n varphi a j psi b j varphi psi mbox vertauschendes Paar von Darstellungen von A B nbsp Siehe auch BearbeitenRaumliches Tensorprodukt Nukleare C AlgebraEinzelnachweise Bearbeiten A Guichardet Tensor products of C algebras Aarhus University Lecture Notes Band 12 1969 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 1239 3302 1 11 3 Gerald J Murphy C Algebras and Operator Theory Academic Press Inc 1990 ISBN 0 1251 1360 9 Kapitel 6 Gerald J Murphy C Algebras and Operator Theory Academic Press Inc 1990 ISBN 0 1251 1360 9 Theorem 6 3 7 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Theorem 11 3 4Literatur BearbeitenGerald J Murphy C Algebras and Operator Theory Academic Press Inc 1990 ISBN 0 1251 1360 9 R V Kadison J R Ringrose Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II 1983 ISBN 0 1239 3302 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maximales Tensorprodukt amp oldid 186919768