Das Pushout auch Kofaserprodukt kokartesisches Quadrat Fasersumme amalgamierte Summe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion Inhaltsverzeichnis 1 Pushout von Moduln 2 Pushout in Kategorien 3 Beispiele 4 EinzelnachweisePushout von Moduln Bearbeiten nbsp Es seien a 1 X X 1 displaystyle alpha 1 X rightarrow X 1 nbsp und a 2 X X 2 displaystyle alpha 2 X rightarrow X 2 nbsp zwei Homomorphismen zwischen Moduln uber einem Ring R displaystyle R nbsp Setzt man Q a 1 x a 2 x x X X 1 X 2 displaystyle Q alpha 1 x alpha 2 x x in X subset X 1 oplus X 2 nbsp so ist das Pushout von a 1 displaystyle alpha 1 nbsp und a 2 displaystyle alpha 2 nbsp definiert als P X 1 X 2 Q displaystyle P X 1 oplus X 2 Q nbsp mit den Homomorphismen f 1 X 1 P f 1 x 1 x 1 0 Q displaystyle varphi 1 X 1 rightarrow P varphi 1 x 1 x 1 0 Q nbsp und f 2 X 2 P f 2 x 2 0 x 2 Q displaystyle varphi 2 X 2 rightarrow P varphi 2 x 2 0 x 2 Q nbsp Man kann zeigen dass f 1 a 1 f 2 a 2 displaystyle varphi 1 circ alpha 1 varphi 2 circ alpha 2 nbsp und dass P f 1 f 2 displaystyle P varphi 1 varphi 2 nbsp die folgende universelle Eigenschaft hat Ist Y displaystyle Y nbsp irgendein R displaystyle R nbsp Modul mit Homomorphismen ps 1 X 1 Y displaystyle psi 1 X 1 rightarrow Y nbsp und ps 2 X 2 Y displaystyle psi 2 X 2 rightarrow Y nbsp so dass ps 1 a 1 ps 2 a 2 displaystyle psi 1 circ alpha 1 psi 2 circ alpha 2 nbsp so gibt es genau einen Homomorphismus r P Y displaystyle rho P rightarrow Y nbsp mit ps 1 r f 1 displaystyle psi 1 rho circ varphi 1 nbsp und ps 2 r f 2 displaystyle psi 2 rho circ varphi 2 nbsp 1 Pushout in Kategorien BearbeitenDurch obiges Beispiel motiviert definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt 2 Es seien a 1 X X 1 displaystyle alpha 1 X rightarrow X 1 nbsp und a 2 X X 2 displaystyle alpha 2 X rightarrow X 2 nbsp zwei Morphismen einer Kategorie Ein Paar f 1 f 2 displaystyle varphi 1 varphi 2 nbsp von Morphismen f i X i P displaystyle varphi i X i rightarrow P nbsp dieser Kategorie heisst Pushout von a 1 a 2 displaystyle alpha 1 alpha 2 nbsp falls gilt f 1 a 1 f 2 a 2 displaystyle varphi 1 circ alpha 1 varphi 2 circ alpha 2 nbsp Ist ps 1 ps 2 displaystyle psi 1 psi 2 nbsp ein Paar von Morphismen ps i X i Y displaystyle psi i X i rightarrow Y nbsp mit ps 1 a 1 ps 2 a 2 displaystyle psi 1 circ alpha 1 psi 2 circ alpha 2 nbsp so gibt es genau einen Morphismus r P Y displaystyle rho P rightarrow Y nbsp mit ps 1 r f 1 displaystyle psi 1 rho circ varphi 1 nbsp und ps 2 r f 2 displaystyle psi 2 rho circ varphi 2 nbsp Manchmal nennt man nur das Objekt P displaystyle P nbsp ein Pushout und meint damit dass es Morphismen f i X i P displaystyle varphi i X i rightarrow P nbsp gibt die obiger Definition genugen Auch das Diagramm X a 1 X 1 a 2 f 1 X 2 f 2 P displaystyle begin array ccc X amp xrightarrow alpha 1 amp X 1 downarrow alpha 2 amp amp downarrow varphi 1 X 2 amp xrightarrow varphi 2 amp P end array nbsp wird bisweilen als Pushout bezeichnet Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise P X 1 X X 2 displaystyle P X 1 sqcup X X 2 nbsp Beispiele BearbeitenJedes Pullback in einer Kategorie K displaystyle mathcal K nbsp ist ein Pushout in der dualen Kategorie K o p displaystyle mathcal K op nbsp denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zuX a 1 X 1 0 0 displaystyle begin array ccc X amp xrightarrow alpha 1 amp X 1 downarrow 0 amp amp 0 amp amp end array nbsp gleich dem Kokern von a 1 displaystyle alpha 1 nbsp Ist mit obigen Bezeichnungen X displaystyle X nbsp das Nullobjekt einer additiven Kategorie so ist das Pushout gleich der direkten Summe X 1 X 2 displaystyle X 1 oplus X 2 nbsp Das einleitende Beispiel zeigt dass es in der Kategorie der R displaystyle R nbsp Moduln stets Pushouts gibt In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt X 1 X 2 displaystyle X 1 X 2 nbsp modulo dem von a 1 x a 2 x 1 x X displaystyle alpha 1 x alpha 2 x 1 x in X nbsp erzeugten Normalteiler N displaystyle N nbsp mit den naturlichen Abbildungen f i X i X 1 X 2 X 1 X 2 N displaystyle varphi i X i rightarrow X 1 X 2 rightarrow X 1 X 2 N nbsp 3 Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert van Kampen auf In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt X 1 X X 2 displaystyle X 1 otimes X X 2 nbsp versehen mit der Eins 1 1 displaystyle 1 otimes 1 nbsp und der durch a b c d a c b d displaystyle a otimes b cdot c otimes d a cdot c otimes b cdot d nbsp bestimmten Multiplikation In der Kategorie der Mengen ist das Pushout X 1 X 2 displaystyle X 1 sqcup X 2 sim nbsp wobei displaystyle sim nbsp die von a 1 x a 2 x x X displaystyle alpha 1 x alpha 2 x x in X nbsp erzeugte Aquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung X X 1 X 2 displaystyle X X 1 sqcup X 2 nbsp ist Ahnlich lassen sich Pushouts von topologischen Raumen beschreiben Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle Einzelnachweise Bearbeiten Louis D Tarmin Lineare Algebra Moduln 2 Buch X Verlag April 2008 ISBN 3 9346 7151 9 Satz 4 158 3 Peter Hilton Lectures in Homological Algebra American Mathematical Society 2005 ISBN 0 8218 3872 5 Definition 4 1 Joseph J Rotman An Introduction to the Theory of Groups Springer Graduate Texts in Mathematics 1995 ISBN 0 3879 4285 8 Theorem 11 58 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Pushout amp oldid 211022629
