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Faserprodukt Das auch Pullback kartesisches Quadrat oder Pullback Quadrat ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgeb

Faserprodukt

Das Faserprodukt (auch Pullback, kartesisches Quadrat oder Pullback-Quadrat) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Zentrale Bedeutung kommt dem Faserprodukt in der algebraischen Geometrie zu.

Der Begriff des Faserproduktes ist dual zum Begriff des Pushout.

Faserprodukt von Mengen Bearbeiten

Sind und zwei Abbildungen von Mengen, so ist das Faserprodukt von und über die Teilmenge

des kartesischen Produktes von und .

Faserprodukte in beliebigen Kategorien Bearbeiten

Definition über Objekte Bearbeiten

Sind Morphismen und in einer Kategorie gegeben, so heißt ein Objekt zusammen mit Morphismen

den sogenannten kanonischen Projektionen, ein Faserprodukt von und über , wenn und die folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:

gilt, gibt es genau einen Morphismus
so dass
gilt.

Anders formuliert: die Funktoren

sind via und natürlich äquivalent.

Definition über Morphismen Bearbeiten

Bei einer allgemeineren Herangehensweise werden derartige Paare von Morphismen und von einem Objekt nach bzw. als Faserprodukt, Pullback, kartesisches oder Pullback-Quadrat bezeichnet, für die gilt:

  1. (als Morphismen )
  2. jedes weitere Paar von Morphismen und von einem Objekt nach bzw. , für die gilt, ist über einen eindeutig bestimmten Morphismus mit dem ersten Paar von Morphismen vertauschbar, d. h. und

Die Morphismen von Pullbacks bilden ein kommutatives Diagramm:

Dieses Diagramm stellt einen Kegel über dem Diagramm dar, bei dem der „mittlere“ Pfeil (der zwischen und ) weggelassen wurde. Die zweite Bedingung drückt aus, dass das Pullback ein Limes aller solchen Kegel ist. Man sagt, entstehe durch Zurückziehen (engl. pull back) von entlang und entstehe durch Zurückziehen von entlang

Pullback-Kegel Bearbeiten

Gelegentlich werden auch derartige Paare von Morphismen () von einem Objekt nach bzw. , für die lediglich

gilt, als Pullback-Kegel bezeichnet; Morphismen von Pullback-Kegeln sind über entsprechende kommutative Diagramme definiert. Das Faserprodukt ist dann ein Endobjekt der Kategorie der möglichen Pullback-Kegel über dem Diagramm

Eindeutigkeit Bearbeiten

Die Komponenten und des Faserproduktes aus der Definition über Morphismen müssen nicht eindeutig bestimmt sein, sind aber eindeutig bis auf Isomorphie. D. h., ist zusammen mit Abbildungen und ein weiteres derartiges Faserprodukt, so sind und isomorph und und eindeutig durch und bestimmt. Für ein und dasselbe Objekt kann es ebenfalls verschiedene Möglichkeiten für die Morphismen und geben. Die verschiedenen Varianten sind dann aber wiederum durch einen Isomorphismus (von auf sich selbst) eindeutig durch einander bestimmt.

Auch aus der Definition über Objekte ist im Allgemeinen nur ein Symbol für mehrere mögliche, jeweils zueinander isomorphe Objekte. Es wird jedoch gewöhnlich eine Standarddarstellung für angegeben; z. B. in der Kategorie der Mengen die Menge:

Bezeichnung Bearbeiten

Die Bezeichnungen werden nicht ganz einheitlich verwendet. Gemeinhin wird in mathematischen Texten mit Faserprodukt eher das sich ergebende Objekt der Produktbildung bezeichnet, während mit Pullback das sich ergebende Paar von Abbildungen bezeichnet wird. Hinzu kommt noch die verallgemeinerte Bezeichnung des Faserproduktes als Produkt über …. Mit kartesisches oder Pullback-Quadrat wird dann auch eher die Gesamtkonstruktion oder das Pullback-Diagramm bezeichnet. Letztlich werden die Bezeichnungen jedoch synonym gedeutet und werden nur unterschiedlich eingesetzt, um jeweils einen bestimmten Aspekt des Faserproduktes ins Zentrum der Betrachtung zu rücken.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist ein beliebiger Morphismus, so ist
  • Sind und injektive Mengenabbildungen (allgemein Monomorphismen), so ist das Faserprodukt der Schnitt (der Bilder) von und
  • Ist eine einelementige Menge, so ist das Faserprodukt isomorph zum kartesischen Produkt. Die Standarddarstellung (s. o.) des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist dann identisch mit dem kartesischen Produkt. Ist allgemein ein Endobjekt, so ist das Faserprodukt isomorph zum allgemeinen kategoriellen Produkt.
  • Die Standarddarstellung (s. o.) des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist eine Untermenge des kartesischen Produktes. Allgemein gibt es stets einen Monomorphismus vom Faserprodukt in das allgemeine kategorielle Produkt
(falls beide Konstruktionen existieren).

Beispiele Bearbeiten

  • Das Faserprodukt ist ein spezieller Limes. Aufgrund der Stetigkeit des jeweiligen Vergissfunktors ist in den folgenden Kategorien – deren Objekten stets Mengen zugrunde liegen – die zugrunde liegende Menge des Faserproduktes (in dieser Kategorie) gleich dem Faserprodukt (in der Kategorie der Mengen) der zugrunde liegenden Mengen:

Faserprodukte in der algebraischen Geometrie Bearbeiten

Die obige kategorielle Definition wird insbesondere in der algebraischen Geometrie benutzt, um das Faserprodukt zweier Schemata mit gegebenen Morphismen zu definieren.

Wenn und affine Schemata sind, dann ist auch ein affines Schema. Aus folgt nämlich

Dies gibt eine explizite Beschreibung (und beweist insbesondere die Existenz) des Faserprodukts affiner Schemata.

Eine explizite Beschreibung für Faserprodukte beliebiger Schemata erhält man wie folgt. Sei eine Überdeckung durch affine Schemata, und für alle seien

jeweils Überdeckungen durch affine Schemata, dann ist

eine Überdeckung durch affine Schemata, insbesondere ist damit als Schema definiert.

Für einen Punkt eines Schemas bezeichne jeweils den zugehörigen lokalen Ring. Die Punkte des Faserprodukts entsprechen dann bijektiv den Tupeln mit und einem Primideal .

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7, Kap. 3.13, S. 63 (englisch, Beschreibung von Pullbacks.).
  2. R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7, Kap. 3.11, S. 58 (englisch, Beschreibung von Limites und Co-Limites.).
  3. Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8, Def. 3.34, S. 60 (Definition von Pullbacks.).
  4. R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7, Kap. 3.6, S. 44 (englisch, Definition von Endobjekten.).
  5. Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8, Def. 1.25, S. 19 (Definition von Endobjekten.).
  6. R. Goldblatt u. a.: Topoi – The Categorial Analysis of Logic. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 98. North-Holland Publishing Company, Amsterdam / New York / Oxford 1979, ISBN 0-444-85207-7 (englisch).
  7. Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik: Kategorien und Automaten. Walter de Gruyter, Berlin / New York 1972, ISBN 3-11-003902-8.
  8. Saunders Mac Lane: Kategorien. Begriffssprache und mathematische Theorie. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1972, ISBN 3-540-05634-3 (amerikanisches Englisch: Categories. For the Working Mathematician. Übersetzt von Klaus Schürger).
  9. The Stacks Project Lemma 25.17.3
  10. The Stacks Project Lemma 25.6.7
  11. The Stacks Project Lemma 25.17.4
  12. The Stacks Project Lemma 25.17.5
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Das Faserprodukt auch Pullback kartesisches Quadrat oder Pullback Quadrat ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie Zentrale Bedeutung kommt dem Faserprodukt in der algebraischen Geometrie zu Der Begriff des Faserproduktes ist dual zum Begriff des Pushout Inhaltsverzeichnis 1 Faserprodukt von Mengen 2 Faserprodukte in beliebigen Kategorien 2 1 Definition uber Objekte 2 2 Definition uber Morphismen 2 3 Pullback Kegel 2 4 Eindeutigkeit 2 5 Bezeichnung 3 Eigenschaften 4 Beispiele 5 Faserprodukte in der algebraischen Geometrie 6 EinzelnachweiseFaserprodukt von Mengen BearbeitenSind 3 X S displaystyle xi colon X to S nbsp und y Y S displaystyle upsilon colon Y to S nbsp zwei Abbildungen von Mengen so ist das Faserprodukt von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp uber S displaystyle S nbsp die Teilmenge x y X Y 3 x y y displaystyle x y in X times Y mid xi x upsilon y nbsp des kartesischen Produktes von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Faserprodukte in beliebigen Kategorien BearbeitenDefinition uber Objekte Bearbeiten Sind Morphismen 3 X S displaystyle xi X rightarrow S nbsp und v Y S displaystyle v Y rightarrow S nbsp in einer Kategorie gegeben so heisst ein Objekt X S Y displaystyle X times S Y nbsp zusammen mit Morphismen p r 1 X S Y X displaystyle mathrm pr 1 colon X times S Y to X nbsp und p r 2 X S Y Y displaystyle mathrm pr 2 colon X times S Y to Y nbsp den sogenannten kanonischen Projektionen ein Faserprodukt von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp uber S displaystyle S nbsp wenn 3 p r 1 v p r 2 displaystyle xi circ mathrm pr 1 v circ mathrm pr 2 nbsp und die folgende universelle Eigenschaft erfullt ist Zu jedem Paar von Morphismen f T X g T Y displaystyle f T rightarrow X g T rightarrow Y nbsp von einem Testobjekt T displaystyle T nbsp nach X displaystyle X nbsp bzw Y displaystyle Y nbsp fur das3 f y g displaystyle xi f upsilon g nbsp als Morphismen T S displaystyle T rightarrow S nbsp dd gilt gibt es genau einen Morphismusc T X S Y displaystyle c colon T to X times S Y nbsp dd so dassf p r 1 c displaystyle f mathrm pr 1 circ c nbsp und g p r 2 c displaystyle g mathrm pr 2 circ c nbsp dd gilt Anders formuliert die Funktoren H o m T X S Y displaystyle mathrm Hom T X times S Y nbsp und H o m T X H o m T S H o m T Y displaystyle mathrm Hom T X times mathrm Hom T S mathrm Hom T Y nbsp sind via p r 1 displaystyle mathrm pr 1 nbsp und p r 2 displaystyle mathrm pr 2 nbsp naturlich aquivalent Definition uber Morphismen Bearbeiten Bei einer allgemeineren Herangehensweise werden derartige Paare von Morphismen f T X displaystyle f operatorname colon T rightarrow X nbsp und g T Y displaystyle g operatorname colon T rightarrow Y nbsp von einem Objekt T displaystyle T nbsp nach X displaystyle X nbsp bzw Y displaystyle Y nbsp als Faserprodukt Pullback kartesisches oder Pullback Quadrat bezeichnet fur die gilt 3 f y g displaystyle xi f upsilon g nbsp als Morphismen T S displaystyle T to S nbsp jedes weitere Paar von Morphismen f T X displaystyle f operatorname colon T rightarrow X nbsp und g T Y displaystyle g operatorname colon T rightarrow Y nbsp von einem Objekt T displaystyle T nbsp nach X displaystyle X nbsp bzw Y displaystyle Y nbsp fur die 3 f y g displaystyle xi f upsilon g nbsp gilt ist uber einen eindeutig bestimmten Morphismus e T T displaystyle e operatorname colon T rightarrow T nbsp mit dem ersten Paar von Morphismen vertauschbar d h g g e displaystyle g ge nbsp und f f e displaystyle f fe nbsp Die Morphismen von Pullbacks bilden ein kommutatives Diagramm T f X g 3 Y v S displaystyle begin array rcl T amp xrightarrow f amp X g downarrow amp amp downarrow xi Y amp xrightarrow v amp S end array nbsp Dieses Diagramm stellt einen Kegel uber dem Diagramm X 3 S y Y displaystyle X xrightarrow xi S xleftarrow upsilon Y nbsp dar bei dem der mittlere Pfeil der zwischen T displaystyle T nbsp und S displaystyle S nbsp weggelassen wurde Die zweite Bedingung druckt aus dass das Pullback ein Limes aller solchen Kegel ist Man sagt f displaystyle f nbsp entstehe durch Zuruckziehen engl pull back von y displaystyle upsilon nbsp entlang 3 displaystyle xi nbsp und g displaystyle g nbsp entstehe durch Zuruckziehen von 3 displaystyle xi nbsp entlang y displaystyle upsilon nbsp 1 2 3 nbsp Pullback Kegel Bearbeiten Gelegentlich werden auch derartige Paare von Morphismen f T X g T Y displaystyle f colon T to X g colon T to Y nbsp von einem Objekt T displaystyle T nbsp nach X displaystyle X nbsp bzw Y displaystyle Y nbsp fur die lediglich 3 f y g displaystyle xi f upsilon g nbsp als Morphismen T S displaystyle T to S nbsp gilt als Pullback Kegel bezeichnet Morphismen von Pullback Kegeln sind uber entsprechende kommutative Diagramme definiert Das Faserprodukt ist dann ein Endobjekt der Kategorie der moglichen Pullback Kegel uber dem Diagramm X 3 S y Y displaystyle X xrightarrow xi S xleftarrow upsilon Y nbsp 4 5 Eindeutigkeit Bearbeiten Die Komponenten T f displaystyle T f nbsp und g displaystyle g nbsp des Faserproduktes aus der Definition uber Morphismen mussen nicht eindeutig bestimmt sein sind aber eindeutig bis auf Isomorphie D h ist T displaystyle T nbsp zusammen mit Abbildungen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp ein weiteres derartiges Faserprodukt so sind T displaystyle T nbsp und T displaystyle T nbsp isomorph und f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp eindeutig durch f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp bestimmt Fur ein und dasselbe Objekt T displaystyle T nbsp kann es ebenfalls verschiedene Moglichkeiten fur die Morphismen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp geben Die verschiedenen Varianten sind dann aber wiederum durch einen Isomorphismus von T displaystyle T nbsp auf sich selbst eindeutig durch einander bestimmt Auch X S Y displaystyle X times S Y nbsp aus der Definition uber Objekte ist im Allgemeinen nur ein Symbol fur mehrere mogliche jeweils zueinander isomorphe Objekte Es wird jedoch gewohnlich eine Standarddarstellung fur X S Y displaystyle X times S Y nbsp angegeben z B in der Kategorie der Mengen die Menge D x y x X y Y u n d 3 x y y X S Y displaystyle D x y x in X y in Y mathrm und xi x upsilon y cong X times S Y nbsp 1 Bezeichnung Bearbeiten Die Bezeichnungen werden nicht ganz einheitlich verwendet Gemeinhin wird in mathematischen Texten mit Faserprodukt eher das sich ergebende Objekt der Produktbildung bezeichnet wahrend mit Pullback das sich ergebende Paar von Abbildungen bezeichnet wird Hinzu kommt noch die verallgemeinerte Bezeichnung des Faserproduktes als Produkt uber Mit kartesisches oder Pullback Quadrat wird dann auch eher die Gesamtkonstruktion oder das Pullback Diagramm bezeichnet Letztlich werden die Bezeichnungen jedoch synonym gedeutet und werden nur unterschiedlich eingesetzt um jeweils einen bestimmten Aspekt des Faserproduktes ins Zentrum der Betrachtung zu rucken 6 7 8 Eigenschaften BearbeitenIst X Y displaystyle X to Y nbsp ein beliebiger Morphismus so istX Y Y X displaystyle X times Y Y cong X nbsp dd Sind 3 displaystyle xi nbsp und y displaystyle upsilon nbsp injektive Mengenabbildungen allgemein Monomorphismen so ist das Faserprodukt der Schnitt der Bilder von X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp Ist S displaystyle S nbsp eine einelementige Menge so ist das Faserprodukt isomorph zum kartesischen Produkt Die Standarddarstellung s o des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist dann identisch mit dem kartesischen Produkt Ist allgemein S displaystyle S nbsp ein Endobjekt so ist das Faserprodukt isomorph zum allgemeinen kategoriellen Produkt Die Standarddarstellung s o des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist eine Untermenge des kartesischen Produktes Allgemein gibt es stets einen Monomorphismus vom Faserprodukt in das allgemeine kategorielle ProduktX S Y X Y displaystyle X times S Y to X times Y nbsp dd falls beide Konstruktionen existieren Fur eine asymmetrische Sichtweise des Faserproduktes siehe Basiswechsel Faserprodukt Beispiele BearbeitenDas Faserprodukt ist ein spezieller Limes Aufgrund der Stetigkeit des jeweiligen Vergissfunktors ist in den folgenden Kategorien deren Objekten stets Mengen zugrunde liegen die zugrunde liegende Menge des Faserproduktes in dieser Kategorie gleich dem Faserprodukt in der Kategorie der Mengen der zugrunde liegenden Mengen Gruppen abelsche Gruppen Ringe Moduln Vektorraume topologische Raume Banachraume dd In der Kategorie der Schemata ist das Faserprodukt lokal durch Tensorprodukte gegeben Es ist i A nicht das Faserprodukt der zugrundeliegenden topologischen Raume Der Gleichheitsverbund in der relationalen Algebra Faserprodukte in der algebraischen Geometrie BearbeitenDie obige kategorielle Definition wird insbesondere in der algebraischen Geometrie benutzt um das Faserprodukt X S Y displaystyle X times S Y nbsp zweier Schemata mit gegebenen Morphismen 3 X S n Y S displaystyle xi colon X to S nu colon Y to S nbsp zu definieren Wenn X Y displaystyle X Y nbsp und S displaystyle S nbsp affine Schemata sind dann ist auch X S Y displaystyle X times S Y nbsp ein affines Schema 9 Aus X S p e c A Y S p e c B S S p e c R displaystyle X Spec A Y Spec B S Spec R nbsp folgt namlich X S Y S p e c A R B displaystyle X times S Y Spec A otimes R B nbsp 10 Dies gibt eine explizite Beschreibung und beweist insbesondere die Existenz des Faserprodukts affiner Schemata Eine explizite Beschreibung fur Faserprodukte beliebiger Schemata erhalt man wie folgt Sei S i U i displaystyle textstyle S bigcup i U i nbsp eine Uberdeckung durch affine Schemata und fur alle i displaystyle i nbsp seien 3 1 U i j V i j n 1 U i k W i k displaystyle xi 1 U i bigcup j V ij nu 1 U i bigcup k W ik nbsp jeweils Uberdeckungen durch affine Schemata dann ist X S Y i j k V i j U i W i k displaystyle X times S Y bigcup i bigcup j k V ij times U i W ik nbsp eine Uberdeckung durch affine Schemata insbesondere ist damit X S Y displaystyle X times S Y nbsp als Schema definiert 11 Fur einen Punkt x displaystyle x nbsp eines Schemas bezeichne jeweils k x displaystyle kappa x nbsp den zugehorigen lokalen Ring Die Punkte des Faserprodukts X S Y displaystyle X times S Y nbsp entsprechen dann bijektiv den Tupeln x y s p displaystyle x y s mathfrak p nbsp mit 3 x n y s displaystyle xi x nu y s nbsp und einem Primideal p k x k s k y displaystyle mathfrak p subset kappa x otimes kappa s kappa y nbsp 12 Einzelnachweise Bearbeiten a b R Goldblatt u a Topoi The Categorial Analysis of Logic Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Vol 98 North Holland Publishing Company Amsterdam New York Oxford 1979 ISBN 0 444 85207 7 Kap 3 13 S 63 englisch Beschreibung von Pullbacks R Goldblatt u a Topoi The Categorial Analysis of Logic Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Vol 98 North Holland Publishing Company Amsterdam New York Oxford 1979 ISBN 0 444 85207 7 Kap 3 11 S 58 englisch Beschreibung von Limites und Co Limites Hartmut Ehrig Michael Pfender und Studenten der Mathematik Kategorien und Automaten Walter de Gruyter Berlin New York 1972 ISBN 3 11 003902 8 Def 3 34 S 60 Definition von Pullbacks R Goldblatt u a Topoi The Categorial Analysis of Logic Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Vol 98 North Holland Publishing Company Amsterdam New York Oxford 1979 ISBN 0 444 85207 7 Kap 3 6 S 44 englisch Definition von Endobjekten Hartmut Ehrig Michael Pfender und Studenten der Mathematik Kategorien und Automaten Walter de Gruyter Berlin New York 1972 ISBN 3 11 003902 8 Def 1 25 S 19 Definition von Endobjekten R Goldblatt u a Topoi The Categorial Analysis of Logic Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Vol 98 North Holland Publishing Company Amsterdam New York Oxford 1979 ISBN 0 444 85207 7 englisch Hartmut Ehrig Michael Pfender und Studenten der Mathematik Kategorien und Automaten Walter de Gruyter Berlin New York 1972 ISBN 3 11 003902 8 Saunders Mac Lane Kategorien Begriffssprache und mathematische Theorie Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1972 ISBN 3 540 05634 3 amerikanisches Englisch Categories For the Working Mathematician Ubersetzt von Klaus Schurger The Stacks Project Lemma 25 17 3 The Stacks Project Lemma 25 6 7 The Stacks Project Lemma 25 17 4 The Stacks Project Lemma 25 17 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Faserprodukt amp oldid 234118323