Kronecker Paarung Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die eine Paarung zwischen Homologie und

Kronecker-Paarung

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die Kronecker-Paarung eine Paarung zwischen Homologie und Kohomologie.

Definition Bearbeiten

Es sei ein topologischer Raum, eine natürliche Zahl, eine Homologieklasse und eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe . Dann ist die Kronecker-Paarung von und durch

definiert, wobei ein die Kohomologieklasse repräsentierender Kozykel und ein die Homologieklasse repräsentierender Zykel ist.

Man kann zeigen, dass die Kronecker-Paarung wohldefiniert ist, dass also der Wert von nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse repräsentierenden Kozykels oder des die Homologieklasse repräsentierenden Zykels abhängt.

Surjektivität Bearbeiten

Aus dem Universellen Koeffiziententheorem folgt, dass der durch die Kronecker-Paarung definierte Homomorphismus

ein Epimorphismus ist.

Literatur Bearbeiten

Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. Zweite Auflage. Mathematische Leitfäden. B. G. Teubner, Stuttgart, 1994. ISBN 3-519-12226-X.

Weblinks Bearbeiten

Kronecker pairing (nLab)

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Veröffentlichungsdatum: November 28, 2023, 08:38 am

Im mathematischen Gebiet der algebraischen Topologie definiert die Kronecker Paarung eine Paarung zwischen Homologie und Kohomologie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Surjektivitat 3 Literatur 4 WeblinksDefinition BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum k displaystyle k nbsp eine naturliche Zahl h H k X Z displaystyle h in H k X mathbb Z nbsp eine Homologieklasse und b H k X A displaystyle beta in H k X A nbsp eine Kohomologieklasse mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe A displaystyle A nbsp Dann ist die Kronecker Paarung von b displaystyle beta nbsp und h displaystyle h nbsp durch b h c z A displaystyle langle beta h rangle c z in A nbsp definiert wobei c C k X A displaystyle c in C k X A nbsp ein die Kohomologieklasse b displaystyle beta nbsp reprasentierender Kozykel und z C k X displaystyle z in C k X nbsp ein die Homologieklasse h displaystyle h nbsp reprasentierender Zykel ist Man kann zeigen dass die Kronecker Paarung wohldefiniert ist dass also der Wert von c z displaystyle c z nbsp nicht von der Auswahl des die Kohomologieklasse reprasentierenden Kozykels c displaystyle c nbsp oder des die Homologieklasse reprasentierenden Zykels z displaystyle z nbsp abhangt Surjektivitat BearbeitenAus dem Universellen Koeffiziententheorem folgt dass der durch die Kronecker Paarung definierte Homomorphismus H k X A Hom H k X A displaystyle H k X A to operatorname Hom H k X A nbsp ein Epimorphismus ist Literatur BearbeitenRalph Stocker Heiner Zieschang Algebraische Topologie Eine Einfuhrung Zweite Auflage Mathematische Leitfaden B G Teubner Stuttgart 1994 ISBN 3 519 12226 X Weblinks BearbeitenKronecker pairing nLab Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kronecker Paarung amp oldid 156181151