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Fundamentallösung Eine ist ein mathematisches Objekt aus der Distributionentheorie Sie sind Lösungen einer bestimmten Kl

Fundamentallösung

Eine Fundamentallösung ist ein mathematisches Objekt aus der Distributionentheorie. Sie sind Lösungen einer bestimmten Klasse von inhomogenen partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe und dem Faltungstheorem können spezielle Lösungen ähnlicher Differentialgleichungen berechnet werden. Nach dem Satz von Malgrange-Ehrenpreis existiert zu jedem linearen partiellen Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallösung.

Der Erstbeschreiber der Distributionentheorie Laurent Schwartz definierte auch als erster den Begriff der Fundamentallösung. Sie kann als Weiterentwicklung des älteren Begriffs der Greenschen Funktion verstanden werden. Diese Funktionen sind im allgemeineren Sinne besondere Lösungen von Randwertproblemen, die ebenfalls mit Hilfe der Faltung in spezielle Lösungen entsprechender inhomogener Randwertprobleme transformiert werden können.

Definition Bearbeiten

Sei ein linearer Differentialoperator mit konstanten komplexen Koeffizienten. Dann heißt die Distribution Fundamentallösung von , falls sie eine distributionelle Lösung der Gleichung

ist, wobei mit die Dirac'sche Delta-Distribution gemeint ist.

Lösen von inhomogenen Differentialgleichungen Bearbeiten

Falls für einen linearen Differentialoperator eine Fundamentallösung bekannt ist, so erhält man eine Lösung der Gleichung

für alle durch Faltung der Fundamentallösung mit der rechten Seite

Methode zur Bestimmung der Fundamentallösung Bearbeiten

Um mithilfe der Fundamentallösung eine inhomogene Lösung eines Anfangswert- oder Randwertproblems zu bestimmen, muss die Fundamentallösung selbst bestimmt werden. Dies kann, falls der Differentialoperator konstante Koeffizienten hat, mit Hilfe der Fourier-Transformation

beziehungsweise ihrer Rücktransformation erreicht werden. Es gilt nämlich

wobei das Symbol von ist. Zusammen mit der Transferfunktion gilt

fast überall. Da zudem noch gilt, folgt

beziehungsweise

.

Tabelle von Fundamentallösungen Bearbeiten

Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über Fundamentallösungen von häufig auftretenden Differentialoperatoren, wobei den Flächeninhalt der Oberfläche der -dimensionalen Einheitskugel und die Heavisidesche Sprungfunktion bezeichnen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. einige Beispiele aus Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Frankfurt am Main: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6
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Eine Fundamentallosung ist ein mathematisches Objekt aus der Distributionentheorie Sie sind Losungen einer bestimmten Klasse von inhomogenen partiellen Differentialgleichungen Mit ihrer Hilfe und dem Faltungstheorem konnen spezielle Losungen ahnlicher Differentialgleichungen berechnet werden Nach dem Satz von Malgrange Ehrenpreis existiert zu jedem linearen partiellen Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten eine Fundamentallosung Der Erstbeschreiber der Distributionentheorie Laurent Schwartz definierte auch als erster den Begriff der Fundamentallosung Sie kann als Weiterentwicklung des alteren Begriffs der Greenschen Funktion verstanden werden Diese Funktionen sind im allgemeineren Sinne besondere Losungen von Randwertproblemen die ebenfalls mit Hilfe der Faltung in spezielle Losungen entsprechender inhomogener Randwertprobleme transformiert werden konnen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Losen von inhomogenen Differentialgleichungen 3 Methode zur Bestimmung der Fundamentallosung 4 Tabelle von Fundamentallosungen 5 Siehe auch 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSei L displaystyle L nbsp ein linearer Differentialoperator mit konstanten komplexen Koeffizienten Dann heisst die Distribution G D R n displaystyle G in mathcal D mathbb R n nbsp Fundamentallosung von L displaystyle L nbsp falls sie eine distributionelle Losung der Gleichung L G d displaystyle LG delta nbsp ist wobei mit d displaystyle delta nbsp die Dirac sche Delta Distribution gemeint ist Losen von inhomogenen Differentialgleichungen BearbeitenFalls fur einen linearen Differentialoperator L displaystyle L nbsp eine Fundamentallosung G displaystyle G nbsp bekannt ist so erhalt man eine Losung u x displaystyle u x nbsp der Gleichung L u x f x displaystyle Lu x f x nbsp fur alle x R n displaystyle x in mathbb R n nbsp durch Faltung der Fundamentallosung G displaystyle G nbsp mit der rechten Seite f displaystyle f nbsp u x G f x R n G x y f y d y displaystyle u x G f x int mathbb R n G x y f y dy nbsp Methode zur Bestimmung der Fundamentallosung BearbeitenUm mithilfe der Fundamentallosung eine inhomogene Losung eines Anfangswert oder Randwertproblems zu bestimmen muss die Fundamentallosung selbst bestimmt werden Dies kann falls der Differentialoperator konstante Koeffizienten hat mit Hilfe der Fourier Transformation f w 1 2 p R n f t e i t w d t displaystyle hat f omega frac 1 sqrt 2 pi int mathbb R n f t e mathrm i t omega mathrm d t nbsp beziehungsweise ihrer Rucktransformation erreicht werden Es gilt namlich 1 2 p R n f w e i w t d w f t L y t L 1 2 p R n y w e i w t d w 1 2 p R n L i w y w e i w t d w displaystyle begin aligned frac 1 sqrt 2 pi int mathbb R n hat f omega mathrm e mathrm i omega t mathrm d omega f t amp Ly t amp L frac 1 sqrt 2 pi int mathbb R n hat y omega mathrm e mathrm i omega t mathrm d omega amp frac 1 sqrt 2 pi int mathbb R n L mathrm i omega hat y omega mathrm e mathrm i omega t mathrm d omega end aligned nbsp wobei L w displaystyle L omega nbsp das Symbol von L displaystyle L nbsp ist Zusammen mit der Transferfunktion Y i w 1 L i w displaystyle Y mathrm i omega tfrac 1 L mathrm i omega nbsp gilt y Y i w f displaystyle hat y Y mathrm i omega hat f nbsp fast uberall Da zudem noch y 2 p 1 2 G f displaystyle hat y 2 pi frac 1 2 hat G hat f nbsp gilt folgt G w 1 2 p Y i w displaystyle hat G omega frac 1 sqrt 2 pi cdot Y mathrm i omega nbsp beziehungsweiseG t 1 2 p R n Y i w e i w t d w displaystyle G t frac 1 2 pi int mathbb R n Y mathrm i omega mathrm e mathrm i omega t mathrm d omega nbsp Tabelle von Fundamentallosungen BearbeitenDie folgende Tabelle gibt einen Uberblick uber Fundamentallosungen von haufig auftretenden Differentialoperatoren wobei w n 2 p n 2 G n 2 displaystyle omega n tfrac 2 pi frac n 2 Gamma frac n 2 nbsp den Flacheninhalt der Oberflache der n displaystyle n nbsp dimensionalen Einheitskugel und 8 displaystyle theta nbsp die Heavisidesche Sprungfunktion bezeichnen 1 Differentialoperator Fundamentallosung Anwendungsfall t displaystyle partial t nbsp Zeitableitung 8 t displaystyle theta t nbsp vgl Delta Distribution Ableitung der Heaviside Distribution t g displaystyle partial t gamma nbsp 8 t displaystyle theta t nbsp e g t displaystyle mathrm e gamma t nbsp konventionelle Langevin Gleichung t g 2 displaystyle left partial t gamma right 2 nbsp 8 t t e g t displaystyle theta t t mathrm e gamma t nbsp t 2 2 g t w 0 2 displaystyle partial t 2 2 gamma partial t omega 0 2 nbsp 8 t e g t 1 w sin w t displaystyle theta t mathrm e gamma t frac 1 omega sin omega t nbsp mit w w 0 2 g 2 displaystyle omega sqrt omega 0 2 gamma 2 nbsp eindimensionaler gedampfter harmonischer OszillatorD displaystyle Delta nbsp Laplace Operator 1 2 p ln x n 2 1 n 2 w n 1 x n 2 n gt 2 displaystyle left begin array rl frac 1 2 pi ln x amp n 2 frac 1 n 2 omega n frac 1 x n 2 amp n gt 2 end array right nbsp Poisson GleichungD k 2 displaystyle Delta k 2 nbsp Helmholtz Operator e i k x 4 p x displaystyle frac mathrm e ik x 4 pi x nbsp stationare Schrodinger Gleichung n 3 displaystyle n 3 nbsp 1 c 2 t 2 D displaystyle square frac 1 c 2 partial t 2 Delta nbsp D Alembert Operator d t x c 4 p x displaystyle frac delta left t frac x c right 4 pi x nbsp Wellengleichung n 3 displaystyle n 3 nbsp t a D displaystyle partial t a Delta nbsp Warmeleitungsoperator 8 t 1 4 p a t n 2 e r 2 4 a t displaystyle theta t left frac 1 4 pi at right n 2 mathrm e r 2 4at nbsp Warmeleitungsgleichung displaystyle bar partial nbsp Cauchy Riemann Operator 1 p 1 z displaystyle frac 1 pi frac 1 z nbsp als Distribution Cauchy Riemannsche DifferentialgleichungenSiehe auch BearbeitenParametrix als Verallgemeinerung der Fundamentallosung Greensche Funktion als Analogon zur Fundamentallosung fur Anfangs beziehungsweise RandwertproblemeLiteratur BearbeitenLars Hormander The Analysis of Linear Partial Differential Operators Band 1 Distribution Theory and Fourier Analysis Second Edition Springer Verlag Berlin u a 1990 ISBN 3 540 52345 6 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 Einzelnachweise Bearbeiten einige Beispiele aus Schulz Hermann Physik mit Bleistift Frankfurt am Main Deutsch 2001 ISBN 3 8171 1661 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fundamentallosung amp oldid 233285264