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Satz von Malgrange Ehrenpreis Der ist ein Existenzsatz aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Er sichert

Satz von Malgrange-Ehrenpreis

Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis ist ein Existenzsatz aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Er sichert die Existenz einer Greenschen Funktion für lineare partielle Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten. Der Satz wurde Mitte der 1950er Jahre unabhängig von Bernard Malgrange und Leon Ehrenpreis gefunden.

Begriffe Bearbeiten

Ein linearer, partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten entsteht aus einem Polynom in Unbestimmten, indem für die -te Unbestimme die partielle Ableitung eingesetzt wird. Ist

mit Koeffizienten , wobei die obere Summationsgrenze eine feste natürliche Zahl ist, so ist

und die partielle Differentialgleichung

bei vorgegebener rechter Seite heißt lineare, partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, da die Koeffizienten keine Funktionen der Variablen, sondern Konstanten sind. Die Wellengleichung und die Poisson-Gleichung sind typische Beispiele.

Obige Differentialgleichung ist nun nicht nur für Funktionen, sondern auch für Distributionen sinnvoll. Nimmt man als rechte Seite die Delta-Distribution, so heißt eine Distributionslösung der Gleichung eine Greensche Funktion, auch wenn es sich nicht um eine klassische Funktion handelt. Ist nun irgendeine rechte Seite und kann man die Faltung bilden, so ist wegen der konstanten Koeffizienten eine Lösung von .

Daher gilt die Differentialgleichung mit dem Auffinden einer Greenschen Funktion als gelöst. Das unterstreicht die Bedeutung des folgenden Satzes:

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Satz von Malgrange-Ehrenpreis: Es sei ein linearer, partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten. Dann besitzt die zugehörige partielle Differentialgleichung eine Greensche Funktion.

Bemerkungen Bearbeiten

Die ursprünglichen Beweise verwendeten den Satz von Hahn-Banach und waren daher nicht-konstruktiv. Mittlerweile sind auch konstruktive Beweise bekannt.

Naheliegende Verallgemeinerungen auf lineare, partielle Differentialgleichungen mit nicht-konstanten Koeffizienten gelten nicht, wie das Beispiel von Lewy belegt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Bernard Malgrange: Existence et approximation des solutions des équations aux dérivées partielles et des équations de convolution., Ann. Inst. Fourier, Band 6 (1955–1956), Seiten 271–355
  2. Leon Ehrenpreis: Solution of some problems of division. I. Division by a polynomial of derivation., Amer. J. Math., Band 76 (1954), Seiten 883–903
  3. Leon Ehrenpreis: Solution of some problems of division. II. Division by a punctual distribution., Amer. J. Math., Band 77 (1955), Seiten 286–292
  4. Milan Miklavcic: Applied Functional Analysis and Partial Differential Equations, World Scientific Pub Co (1998), ISBN 981-02-3535-6, Theorem 3.3.4
  5. Kosaku Yosida: Functional Analysis. Classics in Mathematics., Springer-Verlag (1995), ISBN 3-540-58654-7, Kapitel VI, Abschnitt 10: The Malgrange-Ehrenpreis Theorem
  6. Peter Wagner: A new constructive proof of the Malgrange-Ehrenpreis theorem, Amer. Math. Monthly, Band 116 (2009), Seiten 457–462
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Malgrange Ehrenpreis ist ein Existenzsatz aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen Er sichert die Existenz einer Greenschen Funktion fur lineare partielle Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten Der Satz wurde Mitte der 1950er Jahre unabhangig von Bernard Malgrange 1 und Leon Ehrenpreis 2 3 gefunden Inhaltsverzeichnis 1 Begriffe 2 Formulierung des Satzes 3 Bemerkungen 4 EinzelnachweiseBegriffe BearbeitenEin linearer partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten entsteht aus einem Polynom P displaystyle P nbsp in n displaystyle n nbsp Unbestimmten indem fur die i displaystyle i nbsp te Unbestimme die partielle Ableitung D i x i displaystyle D i tfrac partial partial x i nbsp eingesetzt wird Ist P P x 1 x n j 1 j n 0 N b j 1 j n x 1 j 1 x n j n displaystyle P P x 1 ldots x n sum j 1 ldots j n 0 N beta j 1 ldots j n x 1 j 1 ldots x n j n nbsp mit Koeffizienten b j 1 j n C displaystyle beta j 1 ldots j n in mathbb C nbsp wobei die obere Summationsgrenze N displaystyle N nbsp eine feste naturliche Zahl ist so ist P D P D 1 D n j 1 j n 0 N b j 1 j n j 1 x 1 j 1 j n x n j n displaystyle P D P D 1 ldots D n sum j 1 ldots j n 0 N beta j 1 ldots j n frac partial j 1 partial x 1 j 1 ldots frac partial j n partial x n j n nbsp und die partielle Differentialgleichung P D u f displaystyle P D u f nbsp bei vorgegebener rechter Seite f displaystyle f nbsp heisst lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten da die Koeffizienten b j 1 j n displaystyle beta j 1 ldots j n nbsp keine Funktionen der Variablen sondern Konstanten sind Die Wellengleichung und die Poisson Gleichung sind typische Beispiele Obige Differentialgleichung ist nun nicht nur fur Funktionen sondern auch fur Distributionen sinnvoll Nimmt man als rechte Seite die Delta Distribution so heisst eine Distributionslosung G displaystyle G nbsp der Gleichung eine Greensche Funktion auch wenn es sich nicht um eine klassische Funktion handelt Ist nun f displaystyle f nbsp irgendeine rechte Seite und kann man die Faltung G f displaystyle G f nbsp bilden so ist u G f displaystyle u G f nbsp wegen der konstanten Koeffizienten eine Losung von P D u f displaystyle P D u f nbsp Daher gilt die Differentialgleichung mit dem Auffinden einer Greenschen Funktion als gelost Das unterstreicht die Bedeutung des folgenden Satzes Formulierung des Satzes BearbeitenSatz von Malgrange Ehrenpreis Es sei P D displaystyle P D nbsp ein linearer partieller Differentialoperator mit konstanten Koeffizienten Dann besitzt die zugehorige partielle Differentialgleichung eine Greensche Funktion 4 5 Bemerkungen BearbeitenDie ursprunglichen Beweise verwendeten den Satz von Hahn Banach und waren daher nicht konstruktiv Mittlerweile sind auch konstruktive Beweise bekannt 6 Naheliegende Verallgemeinerungen auf lineare partielle Differentialgleichungen mit nicht konstanten Koeffizienten gelten nicht wie das Beispiel von Lewy belegt Einzelnachweise Bearbeiten Bernard Malgrange Existence et approximation des solutions des equations aux derivees partielles et des equations de convolution Ann Inst Fourier Band 6 1955 1956 Seiten 271 355 Leon Ehrenpreis Solution of some problems of division I Division by a polynomial of derivation Amer J Math Band 76 1954 Seiten 883 903 Leon Ehrenpreis Solution of some problems of division II Division by a punctual distribution Amer J Math Band 77 1955 Seiten 286 292 Milan Miklavcic Applied Functional Analysis and Partial Differential Equations World Scientific Pub Co 1998 ISBN 981 02 3535 6 Theorem 3 3 4 Kosaku Yosida Functional Analysis Classics in Mathematics Springer Verlag 1995 ISBN 3 540 58654 7 Kapitel VI Abschnitt 10 The Malgrange Ehrenpreis Theorem Peter Wagner A new constructive proof of the Malgrange Ehrenpreis theorem Amer Math Monthly Band 116 2009 Seiten 457 462 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Malgrange Ehrenpreis amp oldid 187056039