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Beispiel von Lewy Das ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ohne glatte Lösungen obwohl alle Daten der

Beispiel von Lewy

Das Beispiel von Lewy ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ohne glatte Lösungen, obwohl alle Daten der Gleichung glatt sind.

Lange hatte man geglaubt, zumindest für lineare partielle Differentialgleichungen eine zur Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen analoge Existenz- und Eindeutigkeitstheorie aufbauen zu können. Der Satz von Cauchy-Kowalewskaja (1875) schien den Weg zu weisen: Jedes korrekt gestellte Cauchy-Problem mit analytischen Daten besitzt eine analytische Lösung. Seit Beginn des 20. Jahrhunderts konnten viele partielle Differentialgleichungen gelöst werden und die Erfahrung zeigte, dass Differenzierbarkeiteigenschaften der Daten der Gleichung zu eventuell durch den Gleichungsgrad beeinflusste Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösungen führen. Es lag daher nahe zu vermuten, dass eine zum Satz von Cauchy-Kowalewskaja analoge Aussage gilt, wenn man von analytischen Funktionen zu glatten Funktionen übergeht. Das überraschend einfache Beispiel von Lewy widerlegt diese Vermutung und Hans Lewy selbst schreibt dazu:

Das Beispiel von Lewy ist eine lineare, partielle Differentialgleichung erster Ordnung für komplexwertige Funktionen in drei Unbestimmten :

In einem ersten Schritt zeigte Lewy, dass wenn die rechte Seite gleich mit einer nur von abhängigen und einmal stetig differenzierbaren Funktion ist und wenn es in einer Umgebung von eine einmal stetig differenzierbare Lösung gibt, dann bei analytisch sein muss. Lewy verwendete dies, um unter Verwendung von Banachraum-Argumenten auf nicht-konstruktive Weise eine glatte Funktion zu finden, so dass obige Gleichung keine Lösung in hat, wobei letzteres der Raum aller Funktionen auf ist, deren erste partielle Ableitungen existieren und einer Hölder-Bedingung für alle Punktepaare mit Abstand genügen. Insbesondere hat die lineare partielle Differentialgleichung mit diesem als rechter Seite keine glatte Lösung.

Dieses Beispiel ist von erster Ordnung und nur der Koeffizient vor der Ableitung nach ist nicht-konstant, aber als Polynom (sogar ersten Grades) denkbar einfach. Daher belegt das Beispiel von Lewy auch, dass sich der Satz von Malgrange-Ehrenpreis nicht auf einfache Weise verallgemeinern lässt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis. Vom Zählstein zum Computer, Springer-Verlag 2011, Kapitel 10.8
  2. Sophie Kowalevski: "Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung", Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 80 (1875), Seiten 1–32
  3. Hans Lewy (1957), An example of a smooth linear partial differential equation without solution, The Annals of Mathematics, Vol. 66, No. 1: Seite 155–158
  4. G. B. Folland: Introduction to Partial Differential Equation, Princeton University Press 1995, ISBN 0-691-04361-2, Kapitel 1, Local Solvability, The Lewy Example
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Das Beispiel von Lewy ist ein Beispiel einer partiellen Differentialgleichung ohne glatte Losungen obwohl alle Daten der Gleichung glatt sind Lange hatte man geglaubt zumindest fur lineare partielle Differentialgleichungen eine zur Theorie der gewohnlichen Differentialgleichungen analoge Existenz und Eindeutigkeitstheorie aufbauen zu konnen 1 Der Satz von Cauchy Kowalewskaja 1875 2 schien den Weg zu weisen Jedes korrekt gestellte Cauchy Problem mit analytischen Daten besitzt eine analytische Losung Seit Beginn des 20 Jahrhunderts konnten viele partielle Differentialgleichungen gelost werden und die Erfahrung zeigte dass Differenzierbarkeiteigenschaften der Daten der Gleichung zu eventuell durch den Gleichungsgrad beeinflusste Differenzierbarkeitseigenschaften der Losungen fuhren Es lag daher nahe zu vermuten dass eine zum Satz von Cauchy Kowalewskaja analoge Aussage gilt wenn man von analytischen Funktionen zu glatten Funktionen ubergeht Das uberraschend einfache Beispiel von Lewy widerlegt diese Vermutung und Hans Lewy selbst schreibt dazu 3 It was therefore a matter of considerable surprise to this author to discover that this inference is in general erroneous deutsch Die Entdeckung dass dieser Schluss im Allgemeinen falsch ist war daher eine sehr grosse Uberraschung fur den Autor Das Beispiel von Lewy ist eine lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung fur komplexwertige Funktionen in drei Unbestimmten x 1 x 2 y 1 displaystyle x 1 x 2 y 1 x 1 i x 2 2 i x 1 i x 2 y 1 u F displaystyle Big frac partial partial x 1 i frac partial partial x 2 2i x 1 ix 2 frac partial partial y 1 Big u F In einem ersten Schritt zeigte Lewy dass wenn die rechte Seite gleich ps y 1 displaystyle psi y 1 mit einer nur von y 1 displaystyle y 1 abhangigen und einmal stetig differenzierbaren Funktion ist und wenn es in einer Umgebung von 0 0 y 0 displaystyle 0 0 y 0 eine einmal stetig differenzierbare Losung gibt dann ps displaystyle psi bei 0 0 y 0 displaystyle 0 0 y 0 analytisch sein muss 4 Lewy verwendete dies um unter Verwendung von Banachraum Argumenten auf nicht konstruktive Weise eine glatte Funktion F x 1 x 2 y 1 displaystyle F x 1 x 2 y 1 zu finden so dass obige Gleichung keine Losung in H 1 displaystyle H 1 hat wobei letzteres der Raum aller Funktionen auf R 3 displaystyle mathbb R 3 ist deren erste partielle Ableitungen existieren und einer Holder Bedingung fur alle Punktepaare mit Abstand 1 displaystyle textstyle leq 1 genugen Insbesondere hat die lineare partielle Differentialgleichung mit diesem F displaystyle F als rechter Seite keine glatte Losung Dieses Beispiel ist von erster Ordnung und nur der Koeffizient vor der Ableitung nach y 1 displaystyle y 1 ist nicht konstant aber als Polynom sogar ersten Grades denkbar einfach Daher belegt das Beispiel von Lewy auch dass sich der Satz von Malgrange Ehrenpreis nicht auf einfache Weise verallgemeinern lasst Einzelnachweise Bearbeiten Thomas Sonar 3000 Jahre Analysis Vom Zahlstein zum Computer Springer Verlag 2011 Kapitel 10 8 Sophie Kowalevski Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 80 1875 Seiten 1 32 Hans Lewy 1957 An example of a smooth linear partial differential equation without solution The Annals of Mathematics Vol 66 No 1 Seite 155 158 G B Folland Introduction to Partial Differential Equation Princeton University Press 1995 ISBN 0 691 04361 2 Kapitel 1 Local Solvability The Lewy Example Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Beispiel von Lewy amp oldid 218266663