Die Holderstetigkeit nach Otto Holder ist ein Konzept der Mathematik das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenSei U R displaystyle U subset mathbb R nbsp offen und 0 lt a 1 displaystyle 0 lt alpha leq 1 nbsp Eine Abbildung f U R displaystyle f colon U rightarrow mathbb R nbsp heisst holderstetig zum Exponenten a displaystyle alpha nbsp genau dann wenn eine positive reelle Zahl C displaystyle C nbsp existiert so dass fur alle x y U displaystyle x y in U nbsp gilt f x f y C x y a displaystyle vert f x f y vert leq C vert x y vert alpha nbsp Allgemeiner heisst eine Funktion f W E F displaystyle f colon Omega subset E rightarrow F nbsp zwischen zwei metrischen Raumen E d E displaystyle E d E nbsp und F d F displaystyle F d F nbsp holderstetig mit Exponent a displaystyle alpha nbsp und Konstante C displaystyle C nbsp falls fur alle x y W displaystyle x y in Omega nbsp d F f x f y C d E x y a displaystyle d F f x f y leq C d E x y alpha nbsp gilt Beispiel BearbeitenFur 0 lt a 1 displaystyle 0 lt alpha leq 1 nbsp ist die Funktion f 0 R displaystyle f colon 0 infty rightarrow mathbb R nbsp mit f x x a displaystyle f x x alpha nbsp holderstetig zum Exponenten a displaystyle alpha nbsp mit Konstante C 1 displaystyle C 1 nbsp denn fur 0 lt x lt y displaystyle 0 lt x lt y nbsp ergibt sich 1 x a y a 1 x y 1 x y a displaystyle 1 frac x alpha y alpha leq 1 frac x y leq bigg 1 frac x y bigg alpha nbsp also x a y a x y a displaystyle vert x alpha y alpha vert leq vert x y vert alpha nbsp Eigenschaften BearbeitenDie Definition ergibt im Spezialfall a 1 displaystyle alpha 1 nbsp die Lipschitzstetigkeit Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch holderstetig Holderexponenten ausserhalb von 0 1 displaystyle 0 1 nbsp werden ublicherweise nicht betrachtet Im Falle von a 0 displaystyle alpha 0 nbsp erhielte man so beschrankte aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen Im Falle a gt 1 displaystyle alpha gt 1 nbsp erfullen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition Jede holderstetige Funktion ist gleichmassig stetig Setze fur gegebenes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp etwa d e C 1 a displaystyle delta varepsilon C 1 alpha nbsp Dann folgt aus x y d displaystyle x y leq delta nbsp wie gewunscht f x f y e displaystyle f x f y leq varepsilon nbsp Nicht jede gleichmassig stetige Funktion ist holderstetig Dies zeigt folgendes Beispiel Sei a 0 1 displaystyle a in 0 1 nbsp eine beliebig gewahlte Konstante Die auf dem Intervall 0 a displaystyle 0 a nbsp gemassf x 1 ln x fur 0 lt x a 0 bei x 0 displaystyle f x left begin array cl 1 ln x amp text fur 0 lt x leq a 0 amp mbox bei x 0 end array right nbsp definierte Funktion f displaystyle f nbsp ist laut Satz von Heine gleichmassig stetig Ware sie auch holderstetig dann gabe es Konstanten C gt 0 displaystyle C gt 0 nbsp und a 0 1 displaystyle alpha in 0 1 nbsp mit f x C x a displaystyle f x leq Cx alpha nbsp fur alle x 0 a displaystyle x in 0 a nbsp also insbesondereC lim x 0 x a ln x lim x 0 a x a displaystyle C geq lim limits x downarrow 0 frac x alpha ln x lim limits x downarrow 0 alpha x alpha nbsp laut Regel von de L Hospital was einen Widerspruch ergibt Siehe auch BearbeitenHolderraum Lokale HolderstetigkeitLiteratur BearbeitenHans Wilhelm Alt Lineare Funktionalanalysis Springer Berlin 2002 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Holderstetigkeit amp oldid 219241490
