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Satz von Heine Der nach Eduard Heine oder auch Cantor aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktione

Satz von Heine

Der Satz von Heine (nach Eduard Heine; oder auch Satz von Heine-Cantor) aus der reellen Analysis macht eine Aussage über stetige Funktionen. Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen und nach ihm benannt, nach Aussage von Jürgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstraß entdeckt.

Aussage Bearbeiten

Der Satz von Heine besagt:

Beweis Bearbeiten

Ein typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch. Ist nicht gleichmäßig stetig, so gibt es ein und zu jedem Punkte , so dass

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt die beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge , deren Grenzwert im Intervall enthalten ist. Dieser ist wegen

ebenfalls Grenzwert der Folge . Aus der Stetigkeit von folgt und . Daher gibt es ein , so dass und für alle . Daraus folgt nun

für alle , im Widerspruch zu für alle . Daher war die gemachte Annahme falsch und es folgt die gleichmäßige Stetigkeit.

Verallgemeinerung auf kompakte metrische Räume Bearbeiten

Mit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Räume:

Weitere Beweisskizze für metrische Räume Bearbeiten

Der Satz lässt sich – etwa nach Otto Forster – auch beweisen unter Zugrundelegung der Heine-Borel-Eigenschaft – und zwar ohne Widerspruchsbeweis!

Dieser Beweis lässt sich wie folgt skizzieren:

Zu dem kompakten metrischen Raum (mit der Metrik ), dem metrischen Raum (mit der Metrik ) und der stetigen Abbildung fixiert man ein beliebiges . Hierzu ist das für den Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit benötigte zu bestimmen.

Dies gewinnt man, indem man zunächst die Stetigkeitseigenschaft von heranzieht und aus ihr zu jedem ein festlegt derart, dass für mit stets erfüllt ist.

Dann betrachtet man die aus lauter Punktumgebungen bestehende offene -Überdeckung . Wegen der Kompaktheit von ergibt sich infolge der Heine-Borel-Eigenschaft, dass schon endlich viele dieser Umgebungen überdecken, etwa für ein gewisses .

Schließlich setzt man:

Den Nachweis der in der Definition der gleichmäßigen Stetigkeit auftretenden Ungleichung führt man unter Anwendung der Dreiecksungleichung.

Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffräume Bearbeiten

Der heinesche Satz lässt sich über die kompakten metrischen Räume hinaus sogar auf beliebige kompakte Hausdorffräume ausdehnen. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass der topologischen Struktur eines kompakten Hausdorffraums eine eindeutig bestimmte uniforme Struktur unterliegt. Deren Nachbarschaftssystem besteht aus allen Umgebungen der Diagonalen im zugehörigen Produktraum , wobei die in offenen Nachbarschaften ein Fundamentalsystem bilden, wodurch sogar eine vollständige uniforme Struktur gegeben ist.

Es gilt also:

Folgerung Bearbeiten

Aus dem Satz von Heine gewinnt man einen Fortsetzungssatz:

Gegenbeispiel Bearbeiten

Für nicht-kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch. Die Funktion , ist stetig, aber nicht gleichmäßig stetig. In der Tat gibt es zu kein , das die Bedingung der gleichmäßigen Stetigkeit erfüllt. Ist nämlich beliebig, so gibt es mit . Dann folgt

aber

Also kann nicht gleichmäßig stetig sein.

Literatur Bearbeiten

  • Nicolas Bourbaki: General Topology (= Elements of Mathematics. Part I). Addison-Wesley Publishing (u. a.), Reading MA (u. a.) 1966 (MR0205210).
  • Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn, gewöhnliche Differentialgleichungen (= Vieweg Studium). 6., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-528-47231-6.
  • Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
  • Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading MA (u. a.) 1970 (MR0264581).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Eduard Heine: Die Elemente der Functionenlehre. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Bd. 74, 1872, S. 172–188.
  2. Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2002, ISBN 3-486-24914-2.
  3. Otto Forster: Analysis 2. 2005, S. 34.
  4. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 128 ff.
  5. Nicolas Bourbaki: General Topology. Part I. 1966, S. 198 ff.
  6. ↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 129.
  7. ↑ Nicolas Bourbaki: General Topology. Part I. 1966, S. 201.
  8. Das Nachbarschaftssystem dieser auf induzierten uniformen Struktur rührt her von der Inklusionsabbildung und besteht aus den Schnittmengen von mit den Nachbarschaften aus (Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 110).
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Heine nach Eduard Heine oder auch Satz von Heine Cantor aus der reellen Analysis macht eine Aussage uber stetige Funktionen Er wurde 1872 von Eduard Heine bewiesen 1 und nach ihm benannt nach Aussage von Jurgen Heine wurde diese Tatsache jedoch schon zuvor von Karl Weierstrass entdeckt 2 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Beweis 3 Verallgemeinerung auf kompakte metrische Raume 3 1 Weitere Beweisskizze fur metrische Raume 4 Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffraume 4 1 Folgerung 5 Gegenbeispiel 6 Literatur 7 EinzelnachweiseAussage BearbeitenDer Satz von Heine besagt Ist eine Funktion f displaystyle f nbsp im kompakten Intervall a b displaystyle a b nbsp stetig dann ist sie dort sogar gleichmassig stetig Mit anderen Worten Zu einem beliebigen e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp existiert ein d d e gt 0 displaystyle delta delta varepsilon gt 0 nbsp derart dass fur zwei beliebige Stellen x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp aus dem Intervall a b displaystyle a b nbsp mit x 2 x 1 lt d displaystyle x 2 x 1 lt delta nbsp gilt f x 2 f x 1 lt e displaystyle f x 2 f x 1 lt varepsilon nbsp Beweis BearbeitenEin typischer Beweis erfolgt durch Widerspruch Ist f displaystyle f nbsp nicht gleichmassig stetig so gibt es ein e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp und zu jedem n N displaystyle n in mathbb N nbsp Punkte x n x n a b displaystyle x n x n in a b nbsp so dass x n x n lt 1 n displaystyle left x n x n right lt frac 1 n nbsp und f x n f x n e displaystyle left f x n f x n right geq varepsilon nbsp Nach dem Satz von Bolzano Weierstrass besitzt die beschrankte Folge x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp eine konvergente Teilfolge x n k k N displaystyle x n k k in mathbb N nbsp deren Grenzwert x displaystyle x nbsp im Intervall a b displaystyle a b nbsp enthalten ist Dieser ist wegen x n k x n k lt 1 n k displaystyle left x n k x n k right lt frac 1 n k nbsp ebenfalls Grenzwert der Folge x n k k N displaystyle x n k k in mathbb 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BearbeitenMit einem nahezu identischen Beweis verallgemeinert sich dieser Satz auf kompakte metrische Raume Ist K displaystyle K nbsp ein kompakter metrischer Raum M displaystyle M nbsp ein metrischer Raum und f K M displaystyle f K rightarrow M nbsp stetig so ist f displaystyle f nbsp gleichmassig stetig Weitere Beweisskizze fur metrische Raume Bearbeiten Der Satz lasst sich etwa nach Otto Forster 3 auch beweisen unter Zugrundelegung der Heine Borel Eigenschaft und zwar ohne Widerspruchsbeweis Dieser Beweis lasst sich wie folgt skizzieren Zu dem kompakten metrischen Raum K displaystyle K nbsp mit der Metrik d K displaystyle d K nbsp dem metrischen Raum M displaystyle M nbsp mit der Metrik d M displaystyle d M nbsp und der stetigen Abbildung f displaystyle f nbsp fixiert man ein beliebiges e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp Hierzu ist das fur den Nachweis der gleichmassigen Stetigkeit benotigte d e displaystyle delta varepsilon nbsp zu bestimmen Dies gewinnt man indem man zunachst die Stetigkeitseigenschaft von f displaystyle f nbsp heranzieht und aus ihr zu jedem a K displaystyle a in K nbsp ein d a gt 0 displaystyle delta a gt 0 nbsp festlegt derart dass fur b K displaystyle b in K nbsp mit d K a b lt d a displaystyle d K a b lt delta a nbsp stets d M f a f b lt e 2 displaystyle d M f a f b lt frac varepsilon 2 nbsp erfullt ist Dann betrachtet man die aus lauter Punktumgebungen bestehende offene K displaystyle K nbsp Uberdeckung U d a 2 a K displaystyle U frac delta a 2 a in K nbsp Wegen der Kompaktheit von K displaystyle K nbsp ergibt sich infolge der Heine Borel Eigenschaft dass schon endlich viele dieser Umgebungen K displaystyle K nbsp uberdecken etwa U d a 1 2 U d a n 2 displaystyle U frac delta a 1 2 ldots U frac delta a n 2 nbsp fur ein gewisses n N displaystyle n in mathbb N nbsp Schliesslich setzt man d e min d a 1 2 d a n 2 displaystyle delta varepsilon min frac delta a 1 2 ldots frac delta a n 2 nbsp Den Nachweis der in der Definition der gleichmassigen Stetigkeit auftretenden Ungleichung fuhrt man unter Anwendung der Dreiecksungleichung Verallgemeinerung auf kompakte Hausdorffraume BearbeitenDer heinesche Satz lasst sich uber die kompakten metrischen Raume hinaus sogar auf beliebige kompakte Hausdorffraume ausdehnen Dies ist eine direkte Folge der Tatsache dass der topologischen Struktur eines kompakten Hausdorffraums X displaystyle X nbsp eine eindeutig bestimmte uniforme Struktur unterliegt Deren Nachbarschaftssystem F X displaystyle Phi X nbsp besteht aus allen Umgebungen der Diagonalen D x x x X displaystyle Delta x x x in X nbsp im zugehorigen Produktraum X X displaystyle X times X nbsp wobei die in X X displaystyle X times X nbsp offenen Nachbarschaften ein Fundamentalsystem bilden wodurch sogar eine vollstandige uniforme Struktur gegeben ist 4 5 Es gilt also 6 7 Eine stetige Abbildung f X Y displaystyle f X rightarrow Y nbsp des kompakten Hausdorffraums X displaystyle X nbsp in den uniformen Raum Y displaystyle Y nbsp ist stets auch gleichmassig stetig Folgerung Bearbeiten Aus dem Satz von Heine gewinnt man einen Fortsetzungssatz 6 7 Ist A X displaystyle A subseteq X nbsp eine dichte Teilmenge des kompakten Hausdorffraums X displaystyle X nbsp und ist f A Y displaystyle f A rightarrow Y nbsp eine Abbildung von A displaystyle A nbsp in den separierten und vollstandigen uniformen Raum Y displaystyle Y nbsp so ist f displaystyle f nbsp stetig und dabei fortsetzbar zu einer stetigen Abbildung auf ganz X displaystyle X nbsp genau dann wenn f displaystyle f nbsp bezuglich der von X displaystyle X nbsp auf A displaystyle A nbsp induzierten uniformen Struktur 8 gleichmassig stetig ist Gegenbeispiel BearbeitenFur nicht kompakte Intervalle ist der Satz von Heine falsch Die Funktion f 0 1 R displaystyle f 0 1 rightarrow mathbb R nbsp x 1 x displaystyle x mapsto tfrac 1 x nbsp ist stetig aber nicht gleichmassig stetig In der Tat gibt es zu e 1 displaystyle varepsilon 1 nbsp kein d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp das die Bedingung der gleichmassigen Stetigkeit erfullt Ist namlich d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp beliebig so gibt es n N displaystyle n in mathbb N nbsp mit 1 n lt d displaystyle tfrac 1 n lt delta nbsp Dann folgt 1 n 1 1 n 1 n n 1 lt d displaystyle left frac 1 n 1 frac 1 n right frac 1 n n 1 lt delta nbsp aber f 1 n 1 f 1 n n 1 n 1 e displaystyle left f left frac 1 n 1 right f left frac 1 n right right n 1 n 1 geq varepsilon nbsp Also kann f displaystyle f nbsp nicht gleichmassig stetig sein Literatur BearbeitenNicolas Bourbaki General Topology Elements of Mathematics Part I Addison Wesley Publishing u a Reading MA u a 1966 MR0205210 Otto Forster Analysis 2 Differentialrechnung im Rn gewohnliche Differentialgleichungen Vieweg Studium 6 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Vieweg Verlag Wiesbaden 2005 ISBN 3 528 47231 6 Jurgen Heine Topologie und Funktionalanalysis Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen 2 verbesserte Auflage Oldenbourg Verlag Munchen 2011 ISBN 978 3 486 70530 0 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277 Stephen Willard General Topology Addison Wesley Series in Mathematics Addison Wesley Reading MA u a 1970 MR0264581 Einzelnachweise Bearbeiten Eduard Heine Die Elemente der Functionenlehre In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Bd 74 1872 S 172 188 Jurgen Heine Topologie und Funktionalanalysis Oldenbourg Munchen 2002 ISBN 3 486 24914 2 Otto Forster Analysis 2 2005 S 34 Horst Schubert Topologie 1975 S 128 ff Nicolas Bourbaki General Topology Part I 1966 S 198 ff a b Horst Schubert Topologie 1975 S 129 a b Nicolas Bourbaki General Topology Part I 1966 S 201 Das Nachbarschaftssystem dieser auf A displaystyle A nbsp induzierten uniformen Struktur ruhrt her von der Inklusionsabbildung i A A A A X X displaystyle i A times A colon A times A rightarrow X times X nbsp und besteht aus den Schnittmengen von A A displaystyle A times A nbsp mit den Nachbarschaften aus F X displaystyle Phi X nbsp Horst Schubert Topologie 1975 S 110 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Heine amp oldid 232614358