Die Helmholtz Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung die Hermann von Helmholtz im Rahmen einer Studie uber Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden 1 1860 untersuchte in einer Zeit in der er sich mit heute sogenannten Helmholtz Resonatoren befasste Die Gleichung lautet D f l f displaystyle Delta varphi lambda cdot varphi in einem Gebiet W displaystyle Omega mit vorgegebenen Randbedingungen auf dem Rand W displaystyle partial Omega Darin ist D displaystyle Delta der Laplace Operator f displaystyle varphi die Losungsfunktion Eigenfunktion und l displaystyle lambda der Eigenwert Die Gleichung ist ein kontinuierliches Analogon zum diskreten Eigenwertproblem In der Regel wird die Gleichung von unendlich vielen Eigenwerten und zugehorigen Eigenfunktionen gelost In der haufig auftretenden Form D f k 2 f 0 displaystyle Delta varphi kappa 2 cdot varphi 0 beschreibt sie einen Schwingungsvorgang 1 2 oder auch Wirbelstromungen siehe Ebene Wellen in viskositatsfreien Fluiden Die Helmholtz Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung PDGL zweiter Ordnung aus der Klasse der elliptischen PDGL Sie ergibt sich z B aus der Wellengleichung nach Trennung der Variablen siehe Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz Gleichung Die Trennung der Variablen gelingt immer in Koordinatensystemen deren Koordinatenflachen konfokale Quadriken oder deren degenerierten Formen sind siehe Separation der Helmholtz Gleichung Im eindimensionalen Fall n 1 displaystyle n 1 ist die Gleichung vom Typ einer gewohnlichen Differentialgleichung Im Fall l 0 displaystyle lambda 0 entsteht die Laplace Gleichung die hier nur am Rand erwahnt wird Inhaltsverzeichnis 1 Reduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz Gleichung 2 Separation der Helmholtz Gleichung 2 1 Stackel Matrix 2 2 Beispiel 2 3 Herleitung 3 Ebene Wellen in viskositatsfreien Fluiden 4 Siehe auch 5 Weblinks 6 Literatur 7 EinzelnachweiseReduktion von partiellen Differentialgleichungen auf die Helmholtz Gleichung BearbeitenWie eingangs angedeutet konnen durch Trennung der Veranderlichen einige in der Physik vorkommende partielle Differentialgleichungen auf die Helmholtz Gleichung und eine Gewohnliche Differentialgleichung in der Zeit t displaystyle t nbsp zuruckgefuhrt werden 3 Diffusionsgleichung D ϕ 1 h 2 ϕ t displaystyle Delta phi frac 1 h 2 frac partial phi partial t nbsp Ungedampfte Wellengleichungen des Kontinuums oder das elektrische Potential des Vakuums D ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 displaystyle Delta phi frac 1 c 2 frac partial 2 phi partial t 2 nbsp oder Gedampfte Wellengleichungen D ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 R ϕ t displaystyle Delta phi frac 1 c 2 frac partial 2 phi partial t 2 R frac partial phi partial t nbsp und die Leitungsgleichung D ϕ 1 c 2 2 ϕ t 2 R ϕ t S ϕ displaystyle Delta phi frac 1 c 2 frac partial 2 phi partial t 2 R frac partial phi partial t S phi nbsp Dazu wird der Separationsansatz ϕ U r T t displaystyle phi U vec r T t nbsp mit einer nur vom Ort r displaystyle vec r nbsp abhangigen Funktion U displaystyle U nbsp und einer nur von der Zeit abhangigen Funktion T displaystyle T nbsp eingesetzt Bei der Diffusionsgleichung ergibt sich aus dem Ansatz D U T 1 h 2 U T D U U 1 h 2 T T displaystyle Delta U cdot T frac 1 h 2 U cdot dot T rightarrow frac Delta U U frac 1 h 2 frac dot T T nbsp wobei der aufgesetzte Punkt die Zeitableitung symbolisiert Weil die linke Seite nur vom Ort und die rechte Seite nur von der Zeit abhangt mussen auf beiden Seiten Konstanten stehen D U U k 2 D U k 2 U 0 T k 2 h 2 T 0 displaystyle frac Delta U U kappa 2 rightarrow Delta U kappa 2 U 0 dot T kappa 2 h 2 T 0 nbsp Somit ist die Diffusionsgleichung uberfuhrt in die Helmholtz Gleichung fur U displaystyle U nbsp und eine Gewohnliche Differentialgleichung erster Ordnung in der Zeit fur T displaystyle T nbsp In gleicher Weise entsteht aus der ungedampften Wellengleichung D U k 2 U 0 T k 2 c 2 T 0 displaystyle Delta U kappa 2 U 0 ddot T kappa 2 c 2 T 0 nbsp und aus der gedampften D U k 2 U 0 T R c 2 T k 2 c 2 T 0 displaystyle Delta U kappa 2 U 0 ddot T Rc 2 dot T kappa 2 c 2 T 0 nbsp Bei der Leitungsgleichung kommt noch der Term S ϕ S U T displaystyle S phi SUT nbsp hinzu mit dem Ergebnis D U k 2 U 0 T R c 2 T S k 2 c 2 T 0 displaystyle Delta U kappa 2 U 0 ddot T Rc 2 dot T S kappa 2 c 2 T 0 nbsp Die Losung der Helmholtz Gleichung D U k 2 U 0 displaystyle Delta U kappa 2 U 0 nbsp hangt vom Ort und den Randbedingungen ab wohingegen die Differentialgleichung fur T displaystyle T nbsp bei jedem Aufgabentyp immer dieselbe ist Die Losung der Diffusionsgleichung ist immer von der Form ϕ U r e k 2 h 2 t displaystyle phi U vec r rm e kappa 2 h 2 t nbsp wo e x displaystyle e x nbsp die e Funktion ist sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit abnimmt Die ungedampfte Wellengleichung setzt sich immer aus dem Sinus und Cosinus zusammen beispielsweise ϕ U r sin k c t displaystyle phi U vec r sin kappa ct nbsp So ergibt sich die Schwingung eines geraden Stabes siehe Navier Cauchy Gleichungen Bei der gedampften Schwingung lautet die Losung ϕ U r e a t a 2 k 2 c 2 t displaystyle phi U vec r rm e alpha t pm sqrt alpha 2 kappa 2 c 2 t nbsp mit a R 2 c 2 displaystyle alpha frac R 2 c 2 nbsp wobei drei Falle zu unterscheiden sind Bei uberkritischer Dampfung mit a gt k c displaystyle alpha gt kappa c nbsp hat die Losung die gleiche Gestalt wie beim Diffusionsproblem sodass die Funktion exponentiell mit der Zeit gegen null geht Bei unterkritischer Dampfung ist a lt k c displaystyle alpha lt kappa c nbsp die Losung eine exponentiell mit der Zeit abklingende Welle und die lasst sich mit Konstanten A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp beschreiben mit ϕ U r A e a t cos w t B e a t sin w t displaystyle phi U vec r A rm e alpha t cos omega t B rm e alpha t sin omega t nbsp und w k 2 c 2 a 2 displaystyle omega sqrt kappa 2 c 2 alpha 2 nbsp dd Bei kritischer Dampfung wird a k c displaystyle alpha kappa c nbsp sodass die Losung ϕ U r A B t e a t displaystyle phi U vec r A Bt rm e alpha t nbsp dd lautet deren Auslenkung schnell mit der Zeit abnimmt Die Laplace Gleichung ist der Spezialfall l 0 displaystyle lambda 0 nbsp Die Poisson Gleichung D ϕ f displaystyle Delta phi f nbsp kann durch Substitution auf die Laplace und Helmholtz Gleichung zuruckgefuhrt werden wenn f ϕ W displaystyle f phi Omega nbsp gefunden wird sodass D W 0 displaystyle Delta Omega 0 nbsp ist 3 Separation der Helmholtz Gleichung BearbeitenDie Wahl eines orthogonalen Koordinatensystems in dem die Randbedingungen eine einfache Form annehmen erleichtert die Losung der Helmholtz Gleichung 3 1 Die Losung wird weiter erleichtert wenn eine Trennung der Variablen gelingt was in Koordinatensystemen deren Koordinatenflachen konfokale Quadriken oder deren degenerierte Formen sind immer moglich ist 3 7 4 511 Stackel Matrix Bearbeiten Das allgemeine Vorgehen zur Trennung der Variablen hangt von den Eigenschaften der Stackel Matrix ab die mit den Koordinaten u 1 2 3 displaystyle u 1 2 3 nbsp assoziiert ist 4 509 S F 11 u 1 F 12 u 1 F 13 u 1 F 21 u 2 F 22 u 2 F 23 u 2 F 31 u 3 F 32 u 3 F 33 u 3 displaystyle mathbf S begin pmatrix Phi 11 u 1 amp Phi 12 u 1 amp Phi 13 u 1 Phi 21 u 2 amp Phi 22 u 2 amp Phi 23 u 2 Phi 31 u 3 amp Phi 32 u 3 amp Phi 33 u 3 end pmatrix nbsp In jeder ihrer Zeilen stehen Ansatzfunktionen nur einer Variablen oder Konstanten Die Stackel Determinante ist die Determinante S d e t S F 11 u 1 F 12 u 1 F 13 u 1 F 21 u 2 F 22 u 2 F 23 u 2 F 31 u 3 F 32 u 3 F 33 u 3 displaystyle S mathrm det mathbf S begin vmatrix Phi 11 u 1 amp Phi 12 u 1 amp Phi 13 u 1 Phi 21 u 2 amp Phi 22 u 2 amp Phi 23 u 2 Phi 31 u 3 amp Phi 32 u 3 amp Phi 33 u 3 end vmatrix nbsp mit den Minoren M 11 u 2 u 3 F 22 F 23 F 32 F 33 M 21 u 1 u 3 F 12 F 13 F 32 F 33 M 31 u 1 u 2 F 12 F 13 F 22 F 23 displaystyle M 11 u 2 u 3 begin vmatrix Phi 22 amp Phi 23 Phi 32 amp Phi 33 end vmatrix M 21 u 1 u 3 begin vmatrix Phi 12 amp Phi 13 Phi 32 amp Phi 33 end vmatrix M 31 u 1 u 2 begin vmatrix Phi 12 amp Phi 13 Phi 22 amp Phi 23 end vmatrix nbsp Weil nur die Minoren der ersten Spalte benotigt werden wird der zweite Index Eins im Folgenden weggelassen Die notwendige und hinreichende Bedingung fur eine einfache Separierbarkeit der skalaren Helmholtz Gleichung ist g i i S M i i 1 2 3 g S f 1 u 1 f 2 u 2 f 3 u 3 displaystyle g ii frac S M i i 1 2 3 frac sqrt g S f 1 u 1 cdot f 2 u 2 cdot f 3 u 3 nbsp Darin sind g i i g i g i displaystyle g ii vec g i cdot vec g i nbsp Metrikkoeffizienten die das Betragsquadrat der kovarianten Basisvektoren g i r u i displaystyle vec g i tfrac partial vec r partial u i nbsp des Koordinatensystems sind g g 11 g 22 g 33 displaystyle g g 11 cdot g 22 cdot g 33 nbsp und f 1 2 3 displaystyle f 1 2 3 nbsp irgendwelche Funktionen nur einer Koordinate Die erste Bedingung bedeutet dass es moglich sein muss eine Stackel Determinante zu bilden die in der angegebenen Weise mit den Metrikkoeffizienten zusammenhangt Die zweite Bedingung ist die Robertson Bedingung 4 510 die besagt dass g S displaystyle tfrac sqrt g S nbsp ein separierbares Produkt ist Wenn das gewahrleistet ist dann bestimmen sich die Faktoren U i u i displaystyle U i u i nbsp fur die Losungsfunktion ϕ u 1 u 2 u 3 U 1 u 1 U 2 u 2 U 3 u 3 displaystyle phi u 1 u 2 u 3 U 1 u 1 U 2 u 2 U 3 u 3 nbsp und die Trennungskonstanten a j displaystyle alpha j nbsp aus 1 f i u i f i U i u i U i j 1 3 a j F i j 0 i 1 2 3 displaystyle frac 1 f i frac partial partial u i left f i frac partial U i partial u i right U i sum j 1 3 alpha j Phi ij 0 i 1 2 3 nbsp Bei der Helmholtz Gleichung ist a 1 l displaystyle alpha 1 lambda nbsp und bei der Laplace Gleichung ist entsprechend a 1 0 displaystyle alpha 1 0 nbsp 3 6 In zylindrischen Koordinatensystemen ist die Zylinderachse als 3 oder z Koordinate zu nehmen wodurch im separierbaren Fall immer eine Stackel Matrix in der Form S 0 F 12 u 1 F 13 u 1 0 F 22 u 2 F 23 u 2 1 0 1 displaystyle mathbf S begin pmatrix 0 amp Phi 12 u 1 amp Phi 13 u 1 0 amp Phi 22 u 2 amp Phi 23 u 2 1 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp gefunden werden kann In axialsymmetrischen Koordinatensystemen ist die Symmetrieachse die z 3 Achse und der Drehwinkel um sie ist ps displaystyle psi nbsp Dort ist immer eine Matrix der Form S F 11 u 1 F 12 u 1 F 13 u 1 F 21 u 2 F 22 u 2 F 23 u 2 0 0 1 displaystyle mathbf S begin pmatrix Phi 11 u 1 amp Phi 12 u 1 amp Phi 13 u 1 Phi 21 u 2 amp Phi 22 u 2 amp Phi 23 u 2 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp ermittelbar 3 7 Beispiel Bearbeiten nbsp Koordinatenflachen der parabolischen Koordinaten Das rote Paraboloid entspricht m 2 das blaue n 1 und die gelbe Halbebene ps 60 Als Beispiel diene die Helmholtz Gleichung in parabolischen Koordinaten 3 6 m n ps displaystyle mu nu psi nbsp mit r m n ps x y z m n cos ps m n sin ps 1 2 m 2 n 2 m n ps r z r z a t a n 2 y x r r x 2 y 2 z 2 displaystyle begin aligned vec r mu nu psi amp begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix mu nu cos psi mu nu sin psi frac 1 2 mu 2 nu 2 end pmatrix begin pmatrix mu nu psi end pmatrix amp begin pmatrix sqrt r z sqrt r z rm atan2 y x end pmatrix r amp vec r sqrt x 2 y 2 z 2 end aligned nbsp siehe Bild Darin ist atan2 eine Umkehrfunktion des Tangens Die kovarianten Basisvektoren sind g 1 r m n cos ps n sin ps m g 2 r n m cos ps m sin ps n g 3 r ps m n sin ps m n cos ps 0 displaystyle g 1 frac partial vec r partial mu begin pmatrix nu cos psi nu sin psi mu end pmatrix g 2 frac partial vec r partial nu begin pmatrix mu cos psi mu sin psi nu end pmatrix g 3 frac partial vec r partial psi begin pmatrix mu nu sin psi mu nu cos psi 0 end pmatrix nbsp aus denen sich die Metrik Koeffizienten g 11 g 22 m 2 n 2 2 r g 33 m 2 n 2 x 2 y 2 displaystyle g 11 g 22 mu 2 nu 2 2r g 33 mu 2 nu 2 x 2 y 2 nbsp ergeben Eine mogliche Stackel Matrix ist hier S m 2 1 1 m 2 n 2 1 1 n 2 0 0 1 displaystyle mathbf S begin pmatrix mu 2 amp 1 amp 1 mu 2 nu 2 amp 1 amp 1 nu 2 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp mit der Determinante S m 2 n 2 displaystyle S mu 2 nu 2 nbsp und den Minoren M 1 1 1 n 2 0 1 1 M 2 1 1 m 2 0 1 1 M 3 1 1 m 2 1 1 n 2 m 2 n 2 m 2 n 2 displaystyle M 1 begin vmatrix 1 amp 1 nu 2 0 amp 1 end vmatrix 1 M 2 begin vmatrix 1 amp 1 mu 2 0 amp 1 end vmatrix 1 M 3 begin vmatrix 1 amp 1 mu 2 1 amp 1 nu 2 end vmatrix frac mu 2 nu 2 mu 2 nu 2 nbsp Die Bedingungen g 11 S M 1 m 2 n 2 g 22 S M 2 m 2 n 2 g 33 S M 3 m 2 n 2 displaystyle g 11 frac S M 1 mu 2 nu 2 g 22 frac S M 2 mu 2 nu 2 g 33 frac S M 3 mu 2 nu 2 nbsp sind erfullt und g S m n m 2 n 2 m 2 n 2 m n f 1 m f 2 n f 3 ps displaystyle frac sqrt g S frac mu nu mu 2 nu 2 mu 2 nu 2 mu nu f 1 mu cdot f 2 nu cdot f 3 psi nbsp stimmt mit f 1 m f 2 n f 3 1 displaystyle f 1 mu f 2 nu f 3 1 nbsp Die Funktionen die U m n ps M m N n PS ps displaystyle U mu nu psi M mu cdot N nu cdot Psi psi nbsp ergeben berechnen sich aus den Differentialgleichungen 1 m d d m m d M d m M a 1 m 2 a 2 a 3 m 2 0 1 n d d n n d N d n N a 1 n 2 a 2 a 3 n 2 0 d 2 PS d ps 2 PS a 3 0 displaystyle begin aligned frac 1 mu frac mathrm d mathrm d mu left mu frac mathrm d M mathrm d mu right M left alpha 1 mu 2 alpha 2 frac alpha 3 mu 2 right amp 0 frac 1 nu frac mathrm d mathrm d nu left nu frac mathrm d N mathrm d nu right N left alpha 1 nu 2 alpha 2 frac alpha 3 nu 2 right amp 0 frac mathrm d 2 Psi mathrm d psi 2 Psi alpha 3 amp 0 end aligned nbsp Herleitung Bearbeiten Die Laplace Ableitung in orthogonalen Koordinaten schreibt sich D ps i 1 3 1 h 1 h 2 h 3 u i h 1 h 2 h 3 h i 2 ps u i displaystyle Delta psi sum i 1 3 frac 1 h 1 h 2 h 3 frac partial partial u i left frac h 1 h 2 h 3 h i 2 frac partial psi partial u i right nbsp Darin sind h i g i i displaystyle h i sqrt g ii nbsp die metrischen Faktoren die gleich den Betragen der kovarianten Basisvektoren im orthogonalen Koordinatensystem sind Multiplikation der Differentialgleichungen mit M 1 U 2 U 3 S M 2 U 1 U 3 S displaystyle tfrac M 1 U 2 U 3 S tfrac M 2 U 1 U 3 S nbsp bzw M 3 U 1 U 2 S displaystyle tfrac M 3 U 1 U 2 S nbsp mit den Minoren M 1 2 3 displaystyle M 1 2 3 nbsp und der Determinante S displaystyle S nbsp einer Stackel Matrix liefert summiert 0 M 1 U 2 U 3 S f 1 u 1 f 1 U 1 u 1 M 1 U 2 U 3 S U 1 a 1 F 11 a 2 F 12 a 3 F 13 M 2 U 1 U 3 S f 2 u 2 f 2 U 2 u 2 M 2 U 1 U 3 S U 2 a 1 F 21 a 2 F 22 a 3 F 23 M 3 U 1 U 2 S f 3 u 3 f 3 U 3 u 3 M 3 U 1 U 2 S U 3 a 1 F 31 a 2 F 32 a 3 F 33 displaystyle begin aligned 0 amp frac M 1 U 2 U 3 Sf 1 frac partial partial u 1 left f 1 frac partial U 1 partial u 1 right frac M 1 U 2 U 3 S U 1 alpha 1 Phi 11 alpha 2 Phi 12 alpha 3 Phi 13 amp frac M 2 U 1 U 3 Sf 2 frac partial partial u 2 left f 2 frac partial U 2 partial u 2 right frac M 2 U 1 U 3 S U 2 alpha 1 Phi 21 alpha 2 Phi 22 alpha 3 Phi 23 amp frac M 3 U 1 U 2 Sf 3 frac partial partial u 3 left f 3 frac partial U 3 partial u 3 right frac M 3 U 1 U 2 S U 3 alpha 1 Phi 31 alpha 2 Phi 32 alpha 3 Phi 33 end aligned nbsp Weil U 2 u 2 U 3 u 3 displaystyle U 2 u 2 U 3 u 3 nbsp nicht von u 1 displaystyle u 1 nbsp abhangt ist mit dem Separationsansatz ps U 1 U 2 U 3 displaystyle psi U 1 U 2 U 3 nbsp U 2 U 3 u 1 f 1 U 1 u 1 u 1 f 1 U 1 u 1 U 2 U 3 u 1 f 1 ps u 1 displaystyle U 2 U 3 frac partial partial u 1 left f 1 frac partial U 1 partial u 1 right frac partial partial u 1 left f 1 frac partial U 1 partial u 1 U 2 U 3 right frac partial partial u 1 left f 1 frac partial psi partial u 1 right nbsp und entsprechend fur die anderen Summanden sodass umgestellt 0 M 1 S f 1 u 1 f 1 ps u 1 M 2 S f 2 u 2 f 2 ps u 2 M 3 S f 3 u 3 f 3 ps u 3 a 1 ps M 1 F 11 M 2 F 21 M 3 F 31 S a 2 ps M 1 F 12 M 2 F 22 M 3 F 32 S a 3 ps M 1 F 13 M 2 F 23 M 3 F 33 S displaystyle begin aligned 0 amp frac M 1 Sf 1 frac partial partial u 1 left f 1 frac partial psi partial u 1 right frac M 2 Sf 2 frac partial partial u 2 left f 2 frac partial psi partial u 2 right frac M 3 Sf 3 frac partial partial u 3 left f 3 frac partial psi partial u 3 right amp alpha 1 psi frac M 1 Phi 11 M 2 Phi 21 M 3 Phi 31 S alpha 2 psi frac M 1 Phi 12 M 2 Phi 22 M 3 Phi 32 S amp alpha 3 psi frac M 1 Phi 13 M 2 Phi 23 M 3 Phi 33 S end aligned nbsp entsteht Die Minoren der ersten Spalte und die Determinante der Stackel Matrix haben die Eigenschaften M 1 S F 11 M 2 S F 21 M 3 S F 31 1 M 1 S F 12 M 2 S F 22 M 3 S F 32 0 M 1 S F 13 M 2 S F 23 M 3 S F 33 0 displaystyle begin aligned frac M 1 S Phi 11 frac M 2 S Phi 21 frac M 3 S Phi 31 1 frac M 1 S Phi 12 frac M 2 S Phi 22 frac M 3 S Phi 32 0 frac M 1 S Phi 13 frac M 2 S Phi 23 frac M 3 S Phi 33 0 end aligned nbsp was allgemein auf alle 3 3 Matrizen mit Determinante ungleich null ubertragbar ist also keine spezielle Eigenschaft der Stackel Matrix ist Deswegen verschwinden die letzten beiden Summanden in obiger Summe und der drittletzte reduziert sich zu a 1 ps displaystyle alpha 1 psi nbsp sodass mit den Bedingungen h i 2 S M i i 1 2 3 displaystyle h i 2 frac S M i i 1 2 3 nbsp aus der Summe 1 h 1 2 f 1 u 1 f 1 ps u 1 1 h 2 2 f 2 u 2 f 2 ps u 2 1 h 3 2 f 3 u 3 f 3 ps u 3 a 1 ps 0 displaystyle frac 1 h 1 2 f 1 frac partial partial u 1 left f 1 frac partial psi partial u 1 right frac 1 h 2 2 f 2 frac partial partial u 2 left f 2 frac partial psi partial u 2 right frac 1 h 3 2 f 3 frac partial partial u 3 left f 3 frac partial psi partial u 3 right alpha 1 psi 0 nbsp wird Fur Separierbarkeit der Helmholtz Gleichung muss es Funktionen p i u j u k displaystyle p i u j u k nbsp geben sodass f i u i p i u j u k h 1 h 2 h 3 h i 2 displaystyle f i u i p i u j u k frac h 1 h 2 h 3 h i 2 nbsp mit zyklischen i j k 1 2 3 2 3 1 3 1 2 displaystyle i j k in 1 2 3 2 3 1 3 1 2 nbsp gilt Das liefert fur den ersten Summanden beispielsweise 1 h 1 2 f 1 u 1 f 1 ps u 1 p 1 h 1 2 f 1 p 1 u 1 f 1 ps u 1 h 1 2 h 1 2 h 1 h 2 h 3 u 1 f 1 p 1 ps u 1 1 h 1 h 2 h 3 u 1 h 1 h 2 h 3 h 1 2 ps u 1 1 h 1 h 2 h 3 u 1 h 2 h 3 h 1 ps u 1 displaystyle begin aligned frac 1 h 1 2 f 1 frac partial partial u 1 left f 1 frac partial psi partial u 1 right amp frac p 1 h 1 2 f 1 p 1 frac partial partial u 1 left f 1 frac partial psi partial u 1 right frac h 1 2 h 1 2 h 1 h 2 h 3 frac partial partial u 1 left f 1 p 1 frac partial psi partial u 1 right amp frac 1 h 1 h 2 h 3 frac partial partial u 1 left frac h 1 h 2 h 3 h 1 2 frac partial psi partial u 1 right frac 1 h 1 h 2 h 3 frac partial partial u 1 left frac h 2 h 3 h 1 frac partial psi partial u 1 right end aligned nbsp und fur die anderen Summanden entsprechendes sodass die Helmholtz Gleichung entsteht Die Robertson Bedingung h 1 h 2 h 3 S f 1 f 2 f 3 displaystyle tfrac h 1 h 2 h 3 S f 1 f 2 f 3 nbsp folgt aus den Bedingungen f i p i h 1 h 2 h 3 h i 2 displaystyle f i p i tfrac h 1 h 2 h 3 h i 2 nbsp und h i 2 S M i displaystyle h i 2 tfrac S M i nbsp 4 510Ebene Wellen in viskositatsfreien Fluiden Bearbeiten nbsp Stromungsbild mit Wirbeln Rotgelbe Gebiete werden gegen den Uhrzeigersinn grunblaue im Uhrzeigersinn umstromt Die Helmholtz Gleichung wird in der xy Ebene von Wellenfunktionen der Form ps x y A cos k r displaystyle psi x y A cos vec k cdot vec r nbsp mit beliebigem Wellenvektor k r x y displaystyle vec k vec r x y nbsp und beliebiger Amplitude A displaystyle A nbsp gelost 5 Diese Losung hat im Fall der Stromfunktion die Bedeutung eines verwirbelten ebenen Stromungsfelds Eine Uberlagerung von N displaystyle N nbsp solchen Wellen mit k n c cos a n sin a n displaystyle vec k n c cos alpha n sin alpha n nbsp beliebiger Konstante c und a n p n 1 N displaystyle alpha n pi n 1 N nbsp sowie gleichen Amplituden A displaystyle A nbsp ergibt parallele Streifen periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei N gt 3 displaystyle N gt 3 nbsp kompliziertere Strukturen die eine 2 N displaystyle 2N nbsp zahlige Rotationssymmetrie aufweisen Erhalt jede der summierten Wellen eine eigene zufallig gewahlte Amplitude A displaystyle A nbsp dann konnen sich unregelmassige Wirbelstrukturen ergeben siehe Bild Die Funktionen sin und cos berechnen den Sinus und Cosinus Die allgemeine Struktur dieser Losung ist ps r C 1 e i k r C 2 e i k r displaystyle psi vec r C 1 cdot rm e rm i vec k cdot vec r C 2 cdot rm e rm i vec k cdot vec r nbsp mit der e Funktion ex der imaginaren Einheit i und Konstanten C 1 2 displaystyle C 1 2 nbsp Siehe auch BearbeitenBessel StrahlWeblinks BearbeitenHelmholtzgleichung bei Wolfram MathWorld englisch Literatur BearbeitenRichard Courant David Hilbert Methoden der mathematischen Physik I Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen Band XII Julius Springer Berlin 1924 450 S online Siehe Kapitel V Schwingungen und Eigenwertprobleme der mathematischen Physik ab S 221 Der hier behandelte Gleichungstyp wird explizit u a im Abschnitt 7 dieses Kapitels unter der Uberschrift Die schwingende Membran ab S 245 behandelt Der Name Helmholtz Gleichung tritt nicht auf Richard Courant David Hilbert Methoden der mathematischen Physik II Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berucksichtigung der Anwendungsgebiete Band XLVIII Julius Springer Berlin 1937 549 S online In diesem Band werden praktische Losungsmethoden von Gleichungen auch dieses Typs erlautert Insbesondere sei auf das Kapitel VII Losungen der Rand und Eigenwertprobleme auf Grund der Variationsrechnung ab S 471 verwiesen Einzelnachweise Bearbeiten a b Hermann von Helmholtz Theorie der Luftschwingungen in Rohren mit offenen Enden In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 57 Nr 1 1860 S 1 72 deutschestextarchiv de Helmholtz Gleichung In Lexikon der Mathematik Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2017 spektrum de a b c d e f g P Moon D E Spencer Field Theory Handbook Including Coordinate Systems Differential Equations and Their Solutions 2 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 1971 ISBN 3 540 02732 7 S 3 ff a b c d P M Morse H Feshbach Methods of Theoretical Physics Part I McGraw Hill New York 1953 archive org M Bestehorn Hydrodynamik und Strukturbildung Springer Berlin Heidelberg u a 2006 ISBN 978 3 540 33796 6 S 74 f Normdaten Sachbegriff GND 4159528 2 lobid OGND AKS LCCN sh85060070 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Helmholtz Gleichung amp oldid 245185734
