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Zeitableitung Die ist eine Ableitung eines Wertes nach der Zeit Aus dem Ort eines sich bewegenden Körpers entstehen durc

Zeitableitung

Die Zeitableitung ist eine Ableitung eines Wertes nach der Zeit. Aus dem Ort eines sich bewegenden Körpers entstehen durch mehrfach hintereinander angewandte Zeitableitung die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und der Ruck. Allgemein entsteht durch Zeitableitung die Änderungsrate des Werts, der wie beim Ort eine physikalische Größe oder beispielsweise eine ökonomische Funktion sein kann.

Die Umkehrung der Zeitableitung ist die Zeit­integration, für die in Form der numerischen Simulation mächtige Lösungsverfahren zur Verfügung stehen. So können Vorhersagen über zukünftige Werte ermittelt werden, die bei einer Wertung und/oder Entscheidungsfindung helfen können. Insbesondere können die hinter der Zeitableitung stehenden Annahmen und Theorien validiert oder falsifiziert werden. In der Wissenschaftstheorie nach Karl Popper nimmt die Falsifizierbarkeit einer Theorie oder Hypothese eine zentrale Rolle ein.

Gewöhnlich ist von lateinisch tempus die Variable, die die Zeit bezeichnet.

Notation Bearbeiten

Für die Zeitableitung einer Funktion werden viele Notationen verwendet.

  • Hängt der Funktionswert nicht nur von der Zeit, sondern auch von anderen Größen ab, dann bedeutet die partielle Ableitung die Zeitableitung bei konstant gehaltenem :
  • Mehrfache Zeitableitungen, wie beispielsweise die zweite, werden notiert als
  • Analog werden auch Zeitableitungen für vektorielle Größen geschrieben:

Um die Ableitungen überhaupt durchführen zu können, wird die Zeit als kontinuierliche Größe angenommen. Diese Annahme wird im Artikel „Zeit“ diskutiert, siehe dort „Grenzen des physikalischen Zeitbegriffs“.

Besondere Zeitableitungen Bearbeiten

Relative Zeitableitung Bearbeiten

Auf der Erde werden die Geschwindigkeiten im Alltag relativ zur Umgebung gemessen. Beispielsweise misst der Tachometer im Auto die Geschwindigkeit relativ zum Untergrund. Zusätzlich dreht sich jedoch die Erde um sich selbst. Soll dies berücksichtigt werden, dann addiert sich zur ersteren lokalen oder relativen Geschwindigkeit auf der Erdoberfläche noch ein Anteil hinzu, der sich aus der Rotation der Erde ergibt:

Mathematisch lässt sich das mit einem rotierenden Bezugssystem darstellen.

Sei ein Vektor mit Komponenten bezüglich eines Basissystems . Nach der Produktregel lautet die Zeitableitung:

Darin ist

die relative Zeitableitung zum Basissystem , wo dieses als konstant angenommen wird.

Bei einem Orthonormalsystem kommt nur eine Rotation des Bezugssystems in Frage, bei der sich die Zeitableitung der Basisvektoren im dreidimensionalen Raum unserer Anschauung gemäß aus dem Kreuzprodukt mit der Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems errechnet. Damit ergibt sich

und die vollständige Zeitableitung

Lokale und materielle Zeitableitung Bearbeiten

Bei einem ausgedehnten Körper kann eine ihm zugeordnete Größe, beispielsweise die Temperatur , bei ungleichmäßiger Verteilung vom Ort oder vom betrachteten Partikel des Körpers abhängen. Die Zeitableitung einer solchen Größe kann entsprechend ausgewertet werden:

  • bei festgehaltenem Raumpunkt (lokale Zeitableitung) oder
  • bei festgehaltenem Teilchen (materielle oder substantielle Ableitung).

Weil sich die physikalischen Gesetze in der klassischen Mechanik auf materielle Punkte beziehen, ist dort die substantielle Zeitableitung bestimmend.

Lokale Zeitableitung Bearbeiten

Die lokale Zeitableitung, d. h. die Änderungsrate, die an einem festen Raumpunkt beobachtet wird, ist die partielle Zeitableitung:

Beispielsweise misst ein Außenthermometer die Temperatur am Ort seiner Anbringung.

Materielle Zeitableitung Bearbeiten

Die materielle Zeitableitung ist die Zeitableitung bei festgehaltenem Partikel . Das Thermometer würde hier nur die Temperatur und deren Rate beim Partikel messen.

In der Lagrange’schen Darstellung ist die materielle Zeitableitung die partielle Ableitung nach der Zeit:

In der Euler’schen Darstellung setzt sich die materielle Zeitableitung zusammen aus dem lokalen und einem zusätzlichen konvektiven Anteil:

mit

In der Euler’schen Darstellung bildet sich die materielle Zeitableitung also mit und dem Nabla-Operator 𝜵, was sich auch auf Vektor- und Tensorfelder anwenden lässt, siehe Vektorgradient.

Siehe auch: Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik

Objektive Zeitableitung Bearbeiten

Ein Insasse eines fahrenden Zuges wird die Geschwindigkeit eines vorbeifliegenden Vogels anders beurteilen als ein in der Nähe befindlicher Fußgänger. Die Geschwindigkeit ist demnach vom Standpunkt abhängig, sie ist genauer nicht bezugssysteminvariant oder kürzer nicht objektiv.

Für die Formulierung eines Materialmodells, in dem die Raten konstitutiver Variablen auftreten, wie beispielsweise beim newtonschen Fluid, werden jedoch objektive Zeitableitungen dieser Variablen benötigt. Denn es entspricht nicht der Erfahrung, dass ein bewegter Beobachter ein anderes Materialverhalten misst als ein ruhender.

Für ein objektives räumliches Vektorfeld ist beispielsweise die Zeitableitung:

wieder objektiv; darin ist der Geschwindigkeitsgradient.

Besonders elegante Formulierungen für objektive Zeitableitungen ergeben sich in konvektiven Koordinaten.

Verwendung Bearbeiten

Physik Bearbeiten

Zeitableitungen sind ein Schlüsselbegriff in der Physik, wo sie in vielen Grundgleichungen vorkommen, unter anderem:

Chemie Bearbeiten

Die grundlegende Größe der chemischen Kinetik ist die Reaktionsgeschwindigkeit, die die Zeitableitung der Umsatzvariable in einer chemischen Reaktion ist und die Dimension einer Stoffmenge pro Zeit besitzt.

Biologie Bearbeiten

Die Populationsdynamik ist die Veränderung der Größe biologischer Populationen in kürzeren oder längeren Zeiträumen. Die Zeitableitung der Populationsgröße ist die Differenz aus Geburtenrate und Sterberate, die wiederum von der Populationsgröße beeinflusst werden.

Wirtschaftswissenschaften Bearbeiten

In der Wirtschaftswissenschaft beschreiben theoretische Modelle, zum Beispiel das Solow-Modell, das Verhalten ökonomischer Variablen über der Zeit. Dabei treten Zeitableitungen der ökonomischen Variablen auf:

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Ökonomische Funktionen. Wikibooks, abgerufen am 27. November 2018.
  2. siehe beispielsweise
    • Nürnberger, D.: Implizite Zeitintegration für die Simulation von Turbomaschinenströmungen. DLR, Bibliotheks- und Informationswesen, 2004, abgerufen am 12. Mai 2019.
    • Marcus Wagner: Lineare und nichtlineare FEM. Springer-Verlag, Regensburg 2017, ISBN 978-3-658-17865-9, Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen, S. 223–246, doi:10.1007/978-3-658-17866-6.
    • Kuhl, D.: Robuste Zeitintegration in der nichtlinearen Elastodynamik. Hrsg.: Institut für Baumechanik und Numerische Mechanik, Universität Hannover. Hannover 1996 (dlr.de [abgerufen am 12. Mai 2019]).
  3. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik. Dynamik: Eine anschauliche Einführung. Springer-Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2011, ISBN 978-3-642-19837-3, S. 282 ff., doi:10.1007/978-3-642-19838-0 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 27. November 2018]).
  4. Greve (2003), S. 3 f., Altenbach (2012), S. 76 ff.
  5. Die Fréchet-Ableitung einer Funktion nach dem Vektor ist der beschränkte lineare Operator der – sofern er existiert – in alle Richtungen dem Gâteaux-Differential entspricht, also mit gilt. Dann wird auch geschrieben, was hier dem Gradient entspricht.
  6. Greve (2003), S. 42 ff., Altenbach (2012), S. 230 ff.

Literatur Bearbeiten

  • Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 4, doi:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 230 ff., doi:10.1007/978-3-642-24119-2.
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Die Zeitableitung ist eine Ableitung eines Wertes nach der Zeit Aus dem Ort eines sich bewegenden Korpers entstehen durch mehrfach hintereinander angewandte Zeitableitung die Geschwindigkeit die Beschleunigung und der Ruck Allgemein entsteht durch Zeitableitung die Anderungsrate des Werts der wie beim Ort eine physikalische Grosse oder beispielsweise eine okonomische Funktion 1 sein kann Die Umkehrung der Zeitableitung ist die Zeit integration 2 fur die in Form der numerischen Simulation machtige Losungsverfahren zur Verfugung stehen So konnen Vorhersagen uber zukunftige Werte ermittelt werden die bei einer Wertung und oder Entscheidungsfindung helfen konnen Insbesondere konnen die hinter der Zeitableitung stehenden Annahmen und Theorien validiert oder falsifiziert werden In der Wissenschaftstheorie nach Karl Popper nimmt die Falsifizierbarkeit einer Theorie oder Hypothese eine zentrale Rolle ein Gewohnlich ist t displaystyle t von lateinisch tempus die Variable die die Zeit bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Besondere Zeitableitungen 2 1 Relative Zeitableitung 2 2 Lokale und materielle Zeitableitung 2 2 1 Lokale Zeitableitung 2 2 2 Materielle Zeitableitung 2 3 Objektive Zeitableitung 3 Verwendung 3 1 Physik 3 2 Chemie 3 3 Biologie 3 4 Wirtschaftswissenschaften 4 Weblinks 5 Einzelnachweise 6 LiteraturNotation Bearbeiten Hauptartikel Differentialrechnung Notationen Fur die Zeitableitung einer Funktion f displaystyle f nbsp werden viele Notationen verwendet Auf Gottfried Wilhelm Leibniz geht die Leibniz Notation zuruck d f d t displaystyle frac mathrm d f mathrm d t nbsp dd Isaac Newton benutzte den Uberpunkt Newton Notation der haufig in der Physik verwendet wird f displaystyle dot f nbsp dd Leonhard Eulers Notation benutzt die Operatoren Schreibweise mit einem D oder D f t D t f t f displaystyle mathrm D f t mathrm D t f partial t f nbsp dd Hangt der Funktionswert nicht nur von der Zeit sondern auch von anderen Grossen x displaystyle x nbsp ab dann bedeutet die partielle Ableitung die Zeitableitung bei konstant gehaltenem x displaystyle x nbsp f x t t d d t f x t x fest displaystyle frac partial f x t partial t left frac mathrm d mathrm d t f x t right x text fest nbsp dd Mehrfache Zeitableitungen wie beispielsweise die zweite werden notiert alsd 2 f d t 2 f 2 f t 2 t t f displaystyle frac mathrm d 2 f mathrm d t 2 ddot f frac partial 2 f partial t 2 partial tt f nbsp dd Analog werden auch Zeitableitungen fur vektorielle Grossen geschrieben v v 1 v 2 v 3 d v d t d v 1 d t d v 2 d t d v 3 d t b z w v v 1 v 2 v 3 displaystyle begin aligned vec v amp left v 1 v 2 v 3 ldots right rightarrow frac mathrm d vec v mathrm d t amp left frac mathrm d v 1 mathrm d t frac mathrm d v 2 mathrm d t frac mathrm d v 3 mathrm d t ldots right mathrm bzw rightarrow dot vec v amp left dot v 1 dot v 2 dot v 3 ldots right end aligned nbsp dd Um die Ableitungen uberhaupt durchfuhren zu konnen wird die Zeit als kontinuierliche Grosse angenommen Diese Annahme wird im Artikel Zeit diskutiert siehe dort Grenzen des physikalischen Zeitbegriffs Besondere Zeitableitungen BearbeitenRelative Zeitableitung Bearbeiten Hauptartikel Beschleunigtes Bezugssystem Auf der Erde werden die Geschwindigkeiten im Alltag relativ zur Umgebung gemessen Beispielsweise misst der Tachometer im Auto die Geschwindigkeit relativ zum Untergrund Zusatzlich dreht sich jedoch die Erde um sich selbst Soll dies berucksichtigt werden dann addiert sich zur ersteren lokalen oder relativen Geschwindigkeit auf der Erdoberflache noch ein Anteil hinzu der sich aus der Rotation der Erde ergibt d x d t x rel x rot displaystyle frac mathrm d vec x mathrm d t dot vec x text rel dot vec x text rot nbsp Mathematisch lasst sich das mit einem rotierenden Bezugssystem darstellen 3 Sei x i x i e i displaystyle textstyle vec x sum i x i hat e i nbsp ein Vektor mit Komponenten x i displaystyle x i nbsp bezuglich eines Basissystems e i displaystyle hat e i nbsp Nach der Produktregel lautet die Zeitableitung d x d t i d x i d t e i x rel i x i d e i d t x rot displaystyle frac mathrm d vec x mathrm d t underbrace sum i frac mathrm d x i mathrm d t hat e i dot vec x text rel underbrace sum i x i frac mathrm d hat e i mathrm d t dot vec x text rot nbsp Darin ist x rel d x d t d r x d t displaystyle dot vec x text rel frac mathrm d vec x mathrm d t frac mathrm d r vec x mathrm d t nbsp dd die relative Zeitableitung zum Basissystem e i displaystyle hat e i nbsp wo dieses als konstant angenommen wird Bei einem Orthonormalsystem kommt nur eine Rotation des Bezugssystems in Frage bei der sich die Zeitableitung der Basisvektoren im dreidimensionalen Raum unserer Anschauung gemass e i w e i displaystyle dot hat e i vec omega times hat e i nbsp aus dem Kreuzprodukt displaystyle times nbsp mit der Winkelgeschwindigkeit w displaystyle vec omega nbsp des Bezugssystems errechnet Damit ergibt sich x rot w x displaystyle dot vec x text rot vec omega times vec x nbsp dd und die vollstandige Zeitableitung d x d t d x d t w x displaystyle frac mathrm d vec x mathrm d t frac mathrm d vec x mathrm d t vec omega times vec x nbsp Lokale und materielle Zeitableitung Bearbeiten Bei einem ausgedehnten Korper kann eine ihm zugeordnete Grosse beispielsweise die Temperatur T displaystyle T nbsp bei ungleichmassiger Verteilung vom Ort x displaystyle vec x nbsp oder vom betrachteten Partikel P displaystyle mathcal P nbsp des Korpers abhangen Die Zeitableitung einer solchen Grosse kann entsprechend ausgewertet werden 4 bei festgehaltenem Raumpunkt lokale Zeitableitung oder bei festgehaltenem Teilchen materielle oder substantielle Ableitung Weil sich die physikalischen Gesetze in der klassischen Mechanik auf materielle Punkte beziehen ist dort die substantielle Zeitableitung bestimmend Lokale Zeitableitung Bearbeiten Die lokale Zeitableitung d h die Anderungsrate die an einem festen Raumpunkt x displaystyle vec x nbsp beobachtet wird ist die partielle Zeitableitung T x t t d d t T x t x fest displaystyle frac partial T vec x t partial t left frac mathrm d mathrm d t T vec x t right vec x text fest nbsp Beispielsweise misst ein Aussenthermometer die Temperatur am Ort seiner Anbringung Materielle Zeitableitung Bearbeiten Hauptartikel Substantielle Ableitung Die materielle Zeitableitung ist die Zeitableitung bei festgehaltenem Partikel P displaystyle mathcal P nbsp Das Thermometer wurde hier nur die Temperatur und deren Rate beim Partikel P displaystyle mathcal P nbsp messen In der Lagrange schen Darstellung ist die materielle Zeitableitung die partielle Ableitung nach der Zeit D D t T 0 P t d d t T 0 P t P fest t T 0 P t displaystyle frac mathrm D mathrm D t T 0 mathcal P t left frac mathrm d mathrm d t T 0 mathcal P t right mathcal P text fest frac partial partial t T 0 mathcal P t nbsp In der Euler schen Darstellung setzt sich die materielle Zeitableitung zusammen aus dem lokalen und einem zusatzlichen konvektiven Anteil D D t T x t t T x t grad T x t v x t displaystyle frac mathrm D mathrm D t T vec x t frac partial partial t T vec x t operatorname grad bigl T vec x t bigr cdot vec v vec x t nbsp mit dem Temperaturgradienten 5 grad T x t x T x t displaystyle operatorname grad bigl T vec x t bigr tfrac partial partial vec x T vec x t nbsp der Geschwindigkeit v x t x P t displaystyle vec v vec x t dot vec chi mathcal P t nbsp des zur Zeit t displaystyle t nbsp am Ort x displaystyle vec x nbsp befindlichen Teilchens P displaystyle mathcal P nbsp mit der Bewegungsfunktion x x P t displaystyle vec x vec chi mathcal P t nbsp In der Euler schen Darstellung bildet sich die materielle Zeitableitung also mit D D t t v displaystyle tfrac mathrm D mathrm D t tfrac partial partial t vec v cdot nabla nbsp und dem Nabla Operator was sich auch auf Vektor und Tensorfelder anwenden lasst siehe Vektorgradient Siehe auch Abweichender Gebrauch der Begriffe partielle und totale Ableitung in der Physik Objektive Zeitableitung Bearbeiten Hauptartikel Euklidische Transformation Ein Insasse eines fahrenden Zuges wird die Geschwindigkeit eines vorbeifliegenden Vogels anders beurteilen als ein in der Nahe befindlicher Fussganger Die Geschwindigkeit ist demnach vom Standpunkt abhangig sie ist genauer nicht bezugssysteminvariant oder kurzer nicht objektiv Fur die Formulierung eines Materialmodells in dem die Raten konstitutiver Variablen auftreten wie beispielsweise beim newtonschen Fluid werden jedoch objektive Zeitableitungen dieser Variablen benotigt Denn es entspricht nicht der Erfahrung dass ein bewegter Beobachter ein anderes Materialverhalten misst als ein ruhender Fur ein objektives raumliches Vektorfeld y x t displaystyle vec y vec x t nbsp ist beispielsweise die Zeitableitung y y l y displaystyle stackrel nabla vec y dot vec y mathbf l cdot vec y nbsp wieder objektiv darin ist l displaystyle mathbf l nbsp der Geschwindigkeitsgradient 6 Besonders elegante Formulierungen fur objektive Zeitableitungen ergeben sich in konvektiven Koordinaten Verwendung BearbeitenPhysik Bearbeiten Zeitableitungen sind ein Schlusselbegriff in der Physik wo sie in vielen Grundgleichungen vorkommen unter anderem Die Kraft ist die Zeitableitung des Impulses Die Leistung ist die Zeitableitung der Energie und der elektrische Strom ist die Zeitableitung der elektrischen Ladung Chemie Bearbeiten Die grundlegende Grosse der chemischen Kinetik ist die Reaktionsgeschwindigkeit die die Zeitableitung der Umsatzvariable in einer chemischen Reaktion ist und die Dimension einer Stoffmenge pro Zeit besitzt Biologie Bearbeiten Die Populationsdynamik ist die Veranderung der Grosse biologischer Populationen in kurzeren oder langeren Zeitraumen Die Zeitableitung der Populationsgrosse ist die Differenz aus Geburtenrate und Sterberate die wiederum von der Populationsgrosse beeinflusst werden Wirtschaftswissenschaften Bearbeiten In der Wirtschaftswissenschaft beschreiben theoretische Modelle zum Beispiel das Solow Modell das Verhalten okonomischer Variablen uber der Zeit Dabei treten Zeitableitungen der okonomischen Variablen auf Zur Vorratsinvestition zahlen die Vorratsveranderungen der Lagerbestande und Betriebsstoffe also deren Zeitableitungen Die Umlaufgeschwindigkeit des Geldes ist der Quotient aus dem nominalen Bruttoinlandsprodukt und der Geldmenge selbst Weblinks BearbeitenJohannes Strommer Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Ruck 8 November 2018 abgerufen am 1 Mai 2019 Einzelnachweise Bearbeiten Mathematik fur Wirtschaftswissenschaftler Okonomische Funktionen Wikibooks abgerufen am 27 November 2018 siehe beispielsweise Nurnberger D Implizite Zeitintegration fur die Simulation von Turbomaschinenstromungen DLR Bibliotheks und Informationswesen 2004 abgerufen am 12 Mai 2019 Marcus Wagner Lineare und nichtlineare FEM Springer Verlag Regensburg 2017 ISBN 978 3 658 17865 9 Zeitintegration von nichtlinearen dynamischen Problemen S 223 246 doi 10 1007 978 3 658 17866 6 Kuhl D Robuste Zeitintegration in der nichtlinearen Elastodynamik Hrsg Institut fur Baumechanik und Numerische Mechanik Universitat Hannover Hannover 1996 dlr de abgerufen am 12 Mai 2019 Rolf Mahnken Lehrbuch der Technischen Mechanik Dynamik Eine anschauliche Einfuhrung Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 19837 3 S 282 ff doi 10 1007 978 3 642 19838 0 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 27 November 2018 Greve 2003 S 3 f Altenbach 2012 S 76 ff Die Frechet Ableitung einer Funktion f displaystyle f nbsp nach dem Vektor x displaystyle vec x nbsp ist der beschrankte lineare Operator A displaystyle mathcal A nbsp der sofern er existiert in alle Richtungen h displaystyle vec h nbsp dem Gateaux Differential entspricht also mit s R displaystyle s in mathbb R nbsp A h d d s f x s h s 0 lim s 0 f x s h f x s fur alle h displaystyle mathcal A vec h left frac mathrm d mathrm d s f vec x s vec h right s 0 lim s rightarrow 0 frac f vec x s vec h f vec x s quad text fur alle quad vec h nbsp gilt Dann wird auch A f x displaystyle mathcal A frac partial f partial vec x nbsp geschrieben was hier dem Gradient entspricht Greve 2003 S 42 ff Altenbach 2012 S 230 ff Literatur BearbeitenRalf Greve Kontinuumsmechanik Springer 2003 ISBN 978 3 642 62463 6 S 4 doi 10 1007 978 3 642 55485 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Holm Altenbach Kontinuumsmechanik Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 230 ff doi 10 1007 978 3 642 24119 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zeitableitung amp oldid 237022365